הסתברות מותנית

הסתברות מותנית היא ההסתברות של מאורע כלשהו $\ A$, בהינתן שמאורע אחר $\ B$ קרה. הסתברות מותנית נכתבת בתור $\ P(A\,|\,B)$ונקראת ההסתברות של $\ A$ בהינתן $\ B$. בהסתברות מותנית אין התייחסות לקשר אפשרי בין שני המאורעות, לא סיבתי ואף לא כרונולוגי.

ניתן לחשב הסתברות מותנית באמצעות הנוסחה:

$\ P(A\,|\,B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

אם רק ההסתברות ההפוכה ידועה ($\ B$ בהינתן $\ A$), ניתן להשתמש בחוק בייס.

כשל לוגי נפוץ הוא לחשוב שהסדר לא משנה וכי הסתברות $\ A$ בהינתן $\ B$ שווה להסתברות $\ B$ בהינתן $\ A$. נמחיש את ההבדל בעזרת הדוגמה הבאה: $\ A$ הוא המאורע של זכייה בלוטו ואילו $\ B$ הוא המאורע של זכייה בכסף. בהינתן שזכית בלוטו בהכרח זכית בכסף אך אם זכית בכסף לא סביר שזכית בלוטו.

משתנה מקרי מותנה

אם X הוא משתנה מקרי המוגדר על מרחב $\ \Omega$, ו- $\ A \sub \Omega$ הוא מאורע בעל הסתברות חיובית, אפשר להגדיר את המשתנה המותנה $\ X|A$, שההסתברויות שלו הן $\ P(X=x\,|\,A) = \frac{P(\{X=x\}\cap A)}{P(A)}$. המשתנה הזה מתקבל מצמצום ההתפלגות של המשתנה X אל המאורע A, כלומר, משינוי מרחב ההתפלגות על ידי הוספת הנחה ש- A אירע.

דוגמה

מכונית תקועה בצד הדרך. מחצית מהאנשים העוברים בדרך יבחינו במכונית; מחצית מהאנשים אכפתיים מספיק כדי לעצור ליד המכונית; ולמחצית מהאנשים יש ידע טכני מספיק כדי לסייע. ידוע שאין קשר בין ידע טכני, מידת אכפתיות או הבחנה. אדם שעבר בדרך לא חילץ את המכונית. מה ההסתברות לכך שזהו אדם אכפתי?

פתרון

המאורע $\ A$ הוא "עבר אדם אכפתי", והמאורע $\ B$ הוא "המכונית לא חולצה". המאורע $\ A\cap B$ הוא "עבר אדם אכפתי, והמכונית לא חולצה". מאורע זה יקרה אם: עבר אדם אכפתי שלא מבחין במכונית (הסתברות 1/4, שכן חצי מהאנשים אכפתיים וחצי מהאנשים אינם מבחינים); או שעבר אדם אכפתי שהבחין במכונית אך איננו בעל כישורים טכניים (הסתברות 1/8, שכן רבע מהאנשים האכפתיים גם מבחינים במכוניות וגם בעלי כישורים טכניים). לכן ההסתברות שעבר אדם אכפתי שלא עזר היא $\ P(A\cap B)=\frac{3}{8}$. בחישוב הסתברות המאורע $\ B$, נחשב ראשית את ההסתברות שאדם אקראי יעזור (כלומר יבחין, יהיה אכפתי ויהיה בעל כישורים טכניים), שהיא 1/8=1/2x1/2x1/2, ולכן ההסתברות שאדם אקראי לא יעזור היא 7/8, כלומר $\ P(B)=\frac{7}{8}$, ומכאן בהתאם לנוסחה:

$\ P(A\,|\,B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{3}{8}}{\frac{7}{8}}=\frac{3}{7}$.

קישורים חיצוניים

• יוסי לוי, הכוכב, הסמים והכומר - סקירה של משפט בייס, באתר "נסיכת המדעים"