כלל לייבניץ

כלל לייבניץ (מכונה גם כלל המכפלה), שקרוי על שמו גוטפריד וילהלם לייבניץ, הוא כלל העוסק בגזירת מכפלות של פונקציות.

הכלל המקורי עוסק בנגזרת ראשונה של מכפלת פונקציות: $\left(fg\right)'=f'g+fg'$ לכל שתי פונקציות $\!\, f$ ו-$\!\, g$.

מכלל לייבניץ הבסיסי אפשר לפתח את נוסחת האינטגרציה בחלקים:

$\ \int { f g' dx} = f \cdot g - \int{ f' g dx}$

הוכחה

ניתן להוכיח את כלל לייבניץ ישירות על ידי חישוב הנגזרת:

$\ ( f \cdot g)^\prime(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}$

$\ = \lim_{h \to 0} \frac{ (f(x+h) - f(x) ) g(x+h) + f(x) (g(x+h)-g(x) )}{h}$

$\ = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot \lim_{h \to 0} g(x+h) + \lim_{h \to 0} f(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h}$

$\ = f^\prime(x) g(x) + f(x) g^\prime (x)$

לפונקציות חיוביות, ניתן להוכיח את הכלל על ידי שימוש בכלל השרשרת ובתכונות של הלוגריתם הטבעי:
לכל שתי פונקציות חיוביות $\ f , g$ מתקיים $\ \ln \ (fg) = \ln \ f + \ln \ g$.
אם נגזור את שני האגפים ונשתמש בכלל השרשרת נקבל:

$\ \frac { (fg)' }{fg} = \frac{f'}{f} + \frac{g'}{g}$

הכללות

גזירה חוזרת

לייבניץ הכליל את הנוסחה לנגזרת ה-n-ית:

$(f \cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)} g^{(n-k)}$

כאשר ${n \choose k}$ הוא המקדם הבינומי. הביטוי דומה מאוד לבינום של ניוטון:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^k b^{n-k}$

הדמיון אינו מקרי, כי את שתי הנוסחאות מוכיחים בצורה זהה באמצעות אינדוקציה.

מכפלה של כמה פונקציות

ניתן להשתמש בכלל כדי לגזור מכפלה של כמה פונקציות. לדוגמה:

$\ (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$ וכן

$\ (uvwz)' = u'vwz + uv'wz + uvw'z + uvwz'$ וכו'.

באופן כללי, אם הפונקציה היא $f(x) = \prod_{i=1}^n f_i(x)$ הנגזרת היא:

$f'= \sum_{i=1}^n f_i' \prod_{k=1 \atop k\neq i}^n f_k$.

אם אף אחת מהפונקציות לא שווה ל-0, אפשר לכתוב את זה גם כך:

$\frac{(f_1\cdots f_n)'}{f_1\cdots f_n}=\frac{f_1'}{f_1}+\cdots+\frac{f_n'}{f_n}$

ראו גם

• נגזרת
• אינטגרציה בחלקים