כלל לייבניץ

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

כלל לייבניץ (מכונה גם כלל המכפלה), שקרוי על שמו גוטפריד וילהלם לייבניץ, הוא כלל העוסק בגזירת מכפלות של פונקציות.

הכלל המקורי עוסק בנגזרת ראשונה של מכפלת פונקציות:  \left(fg\right)'=f'g+fg' לכל שתי פונקציות \!\, f ו-\!\, g.

מכלל לייבניץ הבסיסי אפשר לפתח את נוסחת האינטגרציה בחלקים:

\ \int { f g' dx} = f \cdot g - \int{ f' g dx}

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להוכיח את כלל לייבניץ ישירות על ידי חישוב הנגזרת:

\ ( f \cdot g)^\prime(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}
\ = \lim_{h \to 0} \frac{ (f(x+h) - f(x) ) g(x+h) + f(x) (g(x+h)-g(x) )}{h}
\ = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot \lim_{h \to 0} g(x+h) + \lim_{h \to 0} f(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h}
\ = f^\prime(x) g(x) + f(x) g^\prime (x)

לפונקציות חיוביות, ניתן להוכיח את הכלל על ידי שימוש בכלל השרשרת ובתכונות של הלוגריתם הטבעי:
לכל שתי פונקציות חיוביות \ f , g מתקיים \ \ln \ (fg) = \ln \ f + \ln \ g.
אם נגזור את שני האגפים ונשתמש בכלל השרשרת נקבל:

\ \frac { (fg)' }{fg} = \frac{f'}{f} + \frac{g'}{g}

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]

גזירה חוזרת[עריכת קוד מקור | עריכה]

לייבניץ הכליל את הנוסחה לנגזרת ה-n-ית:

(f \cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)} g^{(n-k)}

כאשר {n \choose k} הוא המקדם הבינומי. הביטוי דומה מאוד לבינום של ניוטון:

(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^k b^{n-k}

הדמיון אינו מקרי, כי את שתי הנוסחאות מוכיחים בצורה זהה באמצעות אינדוקציה.

מכפלה של כמה פונקציות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להשתמש בכלל כדי לגזור מכפלה של כמה פונקציות. לדוגמה:

\ (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw' וכן
\ (uvwz)' = u'vwz + uv'wz + uvw'z + uvwz' וכו'.

באופן כללי, אם הפונקציה היא  f(x) = \prod_{i=1}^n f_i(x) הנגזרת היא:

f'= \sum_{i=1}^n f_i' \prod_{k=1 \atop k\neq i}^n f_k .

אם אף אחת מהפונקציות לא שווה ל-0, אפשר לכתוב את זה גם כך:

\frac{(f_1\cdots f_n)'}{f_1\cdots f_n}=\frac{f_1'}{f_1}+\cdots+\frac{f_n'}{f_n}

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]