אינטגרציה בחלקים

באנליזה מתמטית, אינטגרציה בחלקים היא שיטת אינטגרציה שמתבססת על שימוש בכלל המכפלה עבור נגזרות. בשיטת האינטגרציה בחלקים ניתן להפוך את הבעיה של אינטגרל של מכפלה של שתי פונקציות לבעיה של מציאת אינטגרל של מכפלת שתי פונקציות אחרות, נגזרת הראשונה והפונקציה הקדומה של השנייה. באמצעות המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, ניתן להשתמש גם בשיטה זו כדי לחשב במדויק אינטגרלים מסוימים.

ניסוח פורמלי

בהינתן שתי פונקציות גזירות ובעלות נגזרות רציפות $\ f,g$, מתקיים:

$\ \int f(x)\cdot g'(x)\,dx=f(x)\cdot g(x)-\int f'(x) g(x)\,dx$

כדי להראות את נכונות הטענה די לבצע אינטגרציה על שני האגפים של כלל המכפלה האומר כי $\ \left(f(x)\cdot g(x)\right)'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$.

בחירת הפונקציה הקדומה והנגזרת

למרות שהכלל תקף תמיד, הוא לא בהכרח מפשט את האינטגרל שאותו אנו רוצים למצוא, ולכן יעיל לשימוש רק במקרים מסוימים. מכיוון שלרוב, ישנן מספר דרכים לפרק כל פונקציה למכפלה של שתי פונקציות, בחירה חכמה של פונקציות יכולה להיות הכרחית להצלחת השיטה.

ככלל אצבע לא מחייב, כדאי לבחור את הפונקציה הקדומה על פי הרשימה הבאה, בסדר יורד:

• פונקציות לוגריתמיות כדוגמת lnx, logx
• פונקציות טריגונומטריות הפוכות כדוגמת arctanx, arcsecx
• פונקציות פולינומיליות כדוגמת $x^2\!$ , $3x^{50}\!$
• פונקציות טריגונומטריות כדוגמת sinx, cosx
• פונקציות מעריכיות כדוגמת $e^x\!$ , $13^x\!$

נשים לב שככל שהפונקציות נמצאות בתחתית הרשימה, יותר קל לגלות עבורן את הפונקציה הקדומה שלהן, צעד אשר הכרחי במהלך ביצוע האינטגרציה בחלקים. יחד עם זאת, לא קיים אלגוריתם לביצוע אינטגרציה בחלקים וקיימים מקרים בהם עדיף לא לעקוב אחרי הסדר ברשימה. לכן יש להתייחס לרשימה זאת אך ורק בגדר כלל אצבע.

דוגמאות לשימושים

אנו רוצים לחשב את האינטגרל $\ \int \arctan(x)\, dx$. כאן נדמה כי הפונקציה שאנו מוצאים לה אינטגרל היא יחידה ואין כאן מכפלה של פונקציות, ולכן אין דרך להשתמש בשיטת האינטגרציה בחלקים, אולם ניתן להסתכל על אינטגרל זה כעל האינטגרל $\ \int 1\cdot \arctan(x)\,dx$.

כעת, נבחר את הפונקציות של המכפלה כך: $\ g'(x)=1,f(x)=\arctan(x)$. פונקציה קדומה של $\ 1$ קל לחשב: למשל $\ x$. גם הנגזרת של $\ \arctan(x)$ ידועה: $\ \frac{1}{1+x^2}$ לכן נקבל:

$\ \int 1\cdot \arctan(x)\, dx=x\cdot\arctan(x)-\int\frac{x}{1+x^2}\,dx =x\cdot\arctan(x)-\frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right)+C$

מימדים גבוהים

ניתן להרחיב את הנוסחה של אינטגרציה בחלקים עבור משתנים מרובים. במקום לבצע אינטגרל על אינטרבל, יש לבצע אינטגרציה על קבוצה n-מימדית. כמו כן, יש להחליף את הנגזרת בנגזרת חלקית.

באופן מדוייק יותר, נניח כי Ω היא תת-קבוצה פתוחה וחסומה של $\R^n$ עם שפה חלקה Γ. אם u ו v הן דיפרנציאביליות ברציפות ב סגור של Ω אז הנוסחה של אינטגרציה החלקים ניתנת ע"י:

$\int_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial x_i} v \,d\Omega = \int_{\Gamma} u v \, \nu_i \,d\Gamma - \int_{\Omega} u \frac{\partial v}{\partial x_i} \, d\Omega,$

כאשר $\hat{\mathbf{\nu}}$ הוא הנורמל היוצא כלפי חוץ ל $\Gamma$ ו: $\mathbf{\nu}_i$ הוא הרכיב הi-י של $\nu$ כאשר i נע בין 1 ל n.

ראו גם

• אינטגרל
• כלל לייבניץ
• שיטות אינטגרציה