כלל השרשרת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בחשבון אינפיניטסימלי, כלל השרשרת הוא כלל המאפשר למצוא את הנגזרת של פונקציה שמורכבת ממספר פונקציות אחרות.

ניסוח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

המקרה הפרטי של פונקציות סקלריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגרסה הנפוצה ביותר של כלל השרשרת היא זו שעוסקת בהרכבה של פונקציה סקלרית ממשית במשתנה יחיד על פונקציה סקלרית ממשית נוספת במשתנה יחיד.

תהיינה \ f(x),g(x):\mathbb{R}\rarr\mathbb{R} פונקציות, כך שתחום ההגדרה של \ f מקיים שהטווח של \ g חלקי לו, וכך ששתיהן גזירות בתחום ההגדרה שלהן. אז גם הפונקציה המורכבת \ h(x)=f(g(x)) גזירה בתחום ההגדרה שלה, ומתקיים \ h'(x)=f'(g(x)) \cdot g'(x) .

כלומר, הנגזרת של \ h בנקודה כלשהי היא מכפלת הנגזרות של \ f,g , כאשר \ g' מחושבת בנקודה, ואילו \ f' מחושבת בתמונת הנקודה על פי \ g .

סגנון כתיבה מקובל אחר (שמיוחס ללייבניץ) לכלל השרשרת הוא באמצעות הסימון \ \frac{dh}{dx} : ניתן לכתוב \ \frac{dh}{dx}=\frac{dh}{dg}\cdot\frac{dg}{dx} . כלומר, לכאורה "מצמצמים" דיפרנציאלים (אולם בפועל מדובר בסימון בלבד, שמקל על זכירת הנוסחה).

מקרה כללי של פונקציות ממשיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בצורתו הכללית, שתקפה גם לפונקציות וקטוריות של מספר משתנים, כלל השרשרת בעצם אומר: שהדיפרנציאל של פונקציה מורכבת - היא הרכבת הדיפרנציאלים של הפונקציות שמרכיבות אותה. זאת תחת דרישת הדיפרנציאביליות.

אם הפונקציה \ f דיפרנציאבילית בנקודה \ x והפונקציה \ g דיפרנציאבילית בנקודה \ f(x) , אז:

\mbox{D}_x\left(g \circ f\right) = \mbox{D}_{f\left(x\right)}\left(g\right) \circ \mbox{D}_x\left(f\right)


כאשר \ D_x פירושו הדיפרנציאל בנקודה \ x .

כלל השרשרת בנוגע לפונקציות מרובות משתנים[עריכת קוד מקור | עריכה]

\ \frac{\partial f\left(x(t),y(t) \right)}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

לפי הגדרת הנגזרת, עלינו לחשב את \lim_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{x - x_0}

נניח קודם כל, כי יש סביבה של x_0 בה מתקיים לכל x, g(x) \neq g(x_0). נכפיל מונה ומכנה בביטוי g(x) - g(x_0) ונקבל:

\lim_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{g(x) - g(x_0)} \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}

על פי הגדרת הנגזרת, המוכפל השמאלי שווה לנגזרת של f לפי g והמוכפל הימני לנגזרת של g.

ההוכחה הזו לא עובדת למשל בפונקציה g(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x}) בנקודה x_0 = 0. במקרה הזה, למרות שהפונקציה g גזירה בנקודה 0, בכל סביבה של 0 יש נקודה t בה g(0) = g(t) = 0.

כדי לטפל במקרה הכללי נגדיר פונקציית עזר Q. הערך של Q יהיה שונה מהמוכפל השמאלי רק במקרים בהם g(x) = g(x_0):

Q(y) = \begin{cases}
\frac{f(y) - f(g(x_0))}{y - g(x_0)}, & y \neq g(x_0), \\
f'(g(x_0)), & y = g(x_0).
\end{cases}

כעת נחשב את הגבול:

\lim_{x \to x_0} Q(g(x)) \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}

חישוב זה ייתן לנו את התוצאה הרצוייה כיוון שמתקיים תמיד:

Q(g(x)) \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = \frac{ f( g(x)) - f (g(x_0))}{x - x_0}

ניתן לראות זאת על ידי פירוק לשני מקרים - במקרה בו g(x) = g(x_0) שני צדדי המשוואה מתאפסים, ואחרת המכנה בהגדרת Q מצטמצם עם המונה בשבר הימני.

כיוון ש-f גזירה בנקודה g(x_0), Q רציפה באותה נקודה, ולכן מתוך אריתמטיקה של גבולות, נקבל את התוצאה הרצויה.

דוגמה לשימוש בכלל[עריכת קוד מקור | עריכה]

נרצה לגזור את הפונקציה h(x) = (x2 + 1)3.

נשים לב כי \ h(x) = f(g(x)) עם \ g(x) = 1+x^2 ו- \ f(x) = x^3 ולכן מכלל השרשרת:

\ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

\ f'(g(x)) = 3(1+x^2)^2

\ g'(x) = 2x

וע"י הצבה נקבל:


\ h'(x)=3(1+x^2)^2 \cdot 2x