מכנה משותף

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה מכנה משותף של שני שברים הוא מספר המתחלק בשני המכנים. הכפלת המונה והמכנה בכל שבר במספר שלם (באופן שערך השבר אינו משתנה) מאפשרת להביא את שניהם לצורה שבה יש להם אותו מכנה, וכך לבצע בקלות פעולות של חיבור וחיסור. המכנה המשותף הקטן ביותר הוא הכפולה המשותפת המינימלית של המכנים, וכל מכנה משותף אחר הוא כפולה של זה בקבוע. המושג ניתן להכללה לכל קבוצה סופית של שברים.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

המכנה המשותף המינימלי של \ \frac{2}{15} ו- \ \frac{3}{10} הוא 30. אפשר לכתוב \ \frac{2}{15} = \frac{4}{30} ו- \ \frac{3}{10} = \frac{9}{30} , ולכן \ \frac{3}{10} - \frac{2}{15} = \frac{9}{30} - \frac{4}{30} = \frac{9-4}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}.

בדרך כלל אין צורך במכנה המשותף המינימלי דווקא, וכל מכנה משותף - מספר המתחלק בשני המכנים - יתאים. כך מתקבלת הנוסחה הכללית לחיבור שברים: \ \frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd} = \frac{ad+bc}{bd}, גם אם bd אינו המכנה המשותף המינימלי של b ו-d (כמו בדוגמה הקודמת, שבה \ bd = 10 \cdot 15 = 150).

בחוגים אחרים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בכל תחום שלמות אפשר להביא קבוצה סופית של שברים לידי מכנה משותף (למשל על ידי הכפלת כל המכנים זה בזה). מאידך, המכנה המשותף המינימלי (כזה המחלק כל מכנה משותף אחר) מוגדר היטב רק בתחומי שלמות מיוחדים, כגון תחומי פריקות יחידה (ובפרט גם תחומים ראשיים).