תחום ראשי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה, תחום ראשי (או תחום אידאלים ראשיים) הוא תחום שלמות שכל האידאלים שלו הם ראשיים (אידאל ראשי של חוג קומוטטיבי הוא אידאל מהצורה \ Ra = \{xa : x\in R\}). בתחומים ראשיים יש התאמה הדוקה בין אידאלים לאיברים, ולכן קל יחסית לחשב בהם.

תחומים ראשיים מקיימים תכונה של חוג המספרים השלמים שהיא מהותית לתורת המספרים האלמנטרית: לכל זוג איברים מחלק משותף מקסימלי שאפשר להציג כצירוף שלהם.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל חוג אוקלידי הוא חוג ראשי, ולכן חוג המספרים השלמים \mathbb{Z}, חוג השלמים של גאוס \mathbb{Z}[i], וכל חוג פולינומים במשתנה יחיד מעל שדה נתון, הם חוגים ראשיים. חוג השלמים של השדה הריבועי \ \mathbb{Q}[\sqrt{D}], כאשר D מספר שלם שלילי, הוא ראשי בתשעה מקרים: \ D=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163[1] (מאלה רק חמשת הראשונים הם אוקלידיים; \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\right], לדוגמה, ראשי ואינו אוקלידי).

חוג השלמים \ \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] אינו ראשי; לדוגמה, האידאל \ \langle 2,1+\sqrt{-5} \rangle אינו ראשי.

חוג הפולינומים במשתנה אחד k[X] הוא חוג אוקלידי ולכן חוג ראשי אך חוג הפולינומים ביותר ממשתנה אחד אינו חוג ראשי: האידאל \ \langle x,y\rangle אינו ראשי כי אין פולינום המחלק את שני היוצרים שלו (והוא אינו שווה לכל החוג, כי הוא לא מכיל פולינומים ממעלה 0).

כל תחום הערכה דיסקרטית הוא תחום ראשי.

זיהוי של חוגים ראשיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציה \ \delta : D \rightarrow \mathbb{N} היא "נורמת הסה-דדקינד" אם לכל a,b שונים מאפס כך ש- b אינו מחלק את a, קיים צירוף לינארי d שונה מאפס, עבורו \ \delta(d) < \delta(b). בחוג אוקלידי פונקציית הדרגה מקיימת דרישות חזקות יותר. מתברר שתחום שלמות הוא ראשי אם ורק אם יש לו נורמת הסה-דדקינד‏[2].

כאשר החוג הוא חוג השלמים של שדה מספרים, אפשר לבדוק אם הוא חוג ראשי באמצעות שדה המחלקה של הילברט.

תכונות של תחומים ראשיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

את ההגדרה, הדורשת שלכל אידאל יש יוצר יחיד, אפשר לפרק באופן טבעי לשני חלקים: כל אידאל צריך להיות נוצר סופית (היינו, החוג נותרי), וכל אידאל נוצר סופית נוצר על ידי איבר אחד (היינו, זהו תחום בזו).

ברמה האלמנטרית, של תכונות האיברים, התכונה הבולטת של תחומים ראשיים היא עובדת קיומו של פירוק יחיד לגורמים; בפרט, לכל שני איברים יש מחלק משותף מקסימלי.

כל חוג ראשי הוא תחום דדקינד. בפרט, לחוג יש מימד קרול 1 (כלומר, כל אידאל ראשוני לא טריוויאלי הוא מקסימלי). המנה של תחום ראשי ביחס לאידאל ראשוני, גם היא תחום ראשי.

תחום ראשי מקומי הוא רגולרי. כל חוג מקומי סופי, שבו כל האידאלים ראשיים, הוא חוג מנה של חוג שלמים בשדה מקומי.


מודולים מעל תחום ראשי[עריכת קוד מקור | עריכה]

מעל תחומים ראשיים מתקיימת גרסה של משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית: כל מודול נוצר סופית מעל תחום ראשי \ R הוא סכום ישר של מודולים ציקליים. משפט המיון אינו אלא המקרה \ R = \mathbb{Z}. מעל תחום ראשי, כל תת-מודול של מודול חופשי הוא מודול חופשי, וכל תת-מודול של סכום ישר של מודולים ציקליים, הוא סכום ישר של מודולים ציקליים ‏[3].

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ מאז 1934 היה ידוע שיש לכל היותר ערך אחד נוסף של D שעבורו החוג ראשי (ושאם קיים כזה ערך, השערת רימן המוכללת אינה נכונה). ב- 1955 הוכיח Heegner שהרשימה מלאה, אלא שבנימוקיו נמצאו פערים. הבעיה נסגרה ב-1962 בעבודות של Baker ו- Stark.
  2. ^ Zariski-Samuel, Cor. IV.15.2
  3. ^ Carl Faith: Rings and Things and a Fine Array of Twentieth Century Associative Algebra, Math. Surv. Mon 65, AMS; section 1.15