מספר פריק במיוחד

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מספר פריק במיוחד הוא מספר שלם חיובי שמספר המחלקים שלו עולה על זה של כל מספר קטן ממנו. עשרים המספרים הראשונים מסוג זה הם:

1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560 ו-10080.

ישנם אינסוף מספרים פריקים במיוחד. כדי להוכיח עובדה זו, נניח ש-n הוא מספר פריק במיוחד כלשהו. ל-2n יש יותר מחלקים מאשר ל-n (כי 2n מתחלק בעצמו ובכל המחלקים של n), ולכן קיים מספר גדול מ-n אך לא גדול מ-2n שהוא מספר פריק במיוחד.

מבחינה לא פורמלית, כדי שמספר יהיה פריק במיוחד הוא צריך שיהיו לו גורמים ראשוניים קטנים ככל האפשר, ושיהיו שונים זה מזה.

אם נפרק מספר n לגורמים ראשוניים בצורה הבאה:

n = p_1^{c_1} \times p_2^{c_2} \times \cdots \times p_k^{c_k}

כאשר p_1 < p_2 < \cdots < p_k הם ראשוניים, המעריכים c_i הם מספרים שלמים וחיוביים, אז מספר המחלקים של n הוא בדיוק:

(c_1 + 1) \times (c_2 + 1) \times \cdots \times (c_k + 1).

ולכן כדי ש-n יהיה מספר פריק במיוחד:

  • k המספרים הראשוניים הנתונים p_i חייבים להיות k המספרים הראשוניים הראשונים (2, 3, 5...); אחרת, נוכל להחליף אחד הראשוניים הנתונים בראשוני קטן יותר, ובכך להשיג מספר קטן יותר מ-n שלו אותו מספר מחלקים (לדוגמה, את 10=2*5 ניתן להחליף ל- 6=2*3 לשניהם יש 4 מחלקים).
  • סדרת המעריכים צריכה להיות יורדת במובן החלש, כלומר c_1 \geq c_2 \geq \cdots \geq c_k; אחרת על ידי החלפת שני מעריכים החורגים מכלל זה ניתן לבנות מספר קטן יותר מ-n עם אותו מספר מחלקים (לדוגמה, את 18=21x32 ניתן להחליף ב-12=22x31, לשניהם 6 מחלקים).

תנאים אלה אינם מספיקים (מספר המחלקים של 900=2^2\cdot 3^2\cdot 5^2 שווה לזה של 840=2^2\cdot 3\cdot 5 \cdot 7 הקטן ממנו).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]