הוכחה
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
- ערך זה עוסק במונח המתמטי והלוגי. אם התכוונתם לסרט בשם זה, ראו הוכחה (סרט).
במתמטיקה ובלוגיקה הוכחה היא סדרה (בדרך כלל סופית) של אקסיומות וכללי היסק, המראה שטענה מסוימת נכונה. הפרכה של טענה מהווה גם היא הוכחה - הוכחה שטענה זו אינה נכונה (כלומר ששלילתה של הטענה היא נכונה). טענה שטרם זכתה להוכחה קרויה השערה, וטענה שזכתה להוכחה קרויה משפט או תאורמה.
ההוכחה היא מרכז עולמה של המתמטיקה, כפי שאפשר ללמוד מהערתו של המתמטיקאי פאול ארדש: "מתמטיקאי הוא מכונה להפיכת קפה למשפטים".
תוכן עניינים |
[עריכה] מאפיינים של הוכחות
הוכחה משתמשת בכללים להסקת מסקנות, אך יש בה גם שימוש נרחב בשפה טבעית, ולכן עלולה להיות בה עמימות הנובעת מעמימותה של השפה. כדי להימנע מעמימות זו ניתן להשתמש בהוכחה פורמלית.
להוכחה משמשות טכניקות אחדות:
- הוכחה ישירה, שבה המסקנה נובעת ישירות מהאקסיומות וממשפטים קודמים.
- הוכחה באינדוקציה: תחילה בודקים את נכונות הטענה למקרה מסוים, ומכאן ממשיכים להוכחתה לקבוצה אינסופית של מקרים.
- הוכחה בדרך השלילה: מניחים שהטענה שיש להוכיח אינה נכונה, ומראים שהנחה זו מובילה לסתירה. דוגמה להוכחה כזו היא הוכחתו של אוקלידס בדבר קיום מספר אינסופי של מספרים ראשוניים.
ניתן להבדיל בין שני סוגים של הוכחות:
- הוכחת קיום: הוכחה שמראה את קיומו של עצם מסוים, בלי להראות כיצד ליצור עצם זה.
- הוכחה קונסטרוקטיבית: הוכחה שמראה כיצד ליצור עצם בעל תכונה מסוימת.
משפט ארבעת הצבעים, שהוכח בשנת 1976, היה המשפט הראשון שלהוכחתו נדרשה הסתייעות מהותית במחשב, ולכן התעורר פולמוס בין המתמטיקאים, האם הוכחה כזו, שאדם אינו יכול לבדוק אותה בכוחות עצמו, היא בגדר הוכחה במשמעותו עתיקת היומין של מושג זה במתמטיקה.
פעמים רבות ניתן להוכיח טענה מסוימת בדרכים שונות, ולעתים אף דרכים רבות למדי. משפט פיתגורס נודע בעשרות הוכחות שניתנו לו. למשפט הקובע שהמספרים הרציונליים הם קבוצה בת מניה מופיעות בוויקיפדיה העברית שלוש הוכחות שונות, בערכים: קבוצה בת מנייה, מספר רציונלי ועוצמה.
[עריכה] השערה
טענות לא מעטות דרשו מאות רבות של שנים עד להוכחתן או להפרכתן. דוגמאות לכך הן המשפט האחרון של פרמה שזכה להוכחה כשלוש מאות וחמישים שנה לאחר שהועלה, ושלוש הבעיות של ימי קדם, שהופרכו כאלפיים שנה לאחר שהוצגו. בעיות פתוחות (כאלה שטרם זכו להוכחה או להפרכה) רבות ממשיכות ללוות את המתמטיקה, ובין המפורסמות שבהן ניתן למנות את השערת גולדבך והשערת רימן.
האם כל השערה ניתנת להוכחה או להפרכה? ברור שהאקסיומות אינן ניתנות להוכחה ואף לא להפרכה. אם נוכיח שהשערה מסוימת אינה ניתנת להוכחה ואף לא להפרכה, כפי שהוכח לגבי השערת הרצף, נוכל לצרף את ההשערה הזו (או את שלילתה) לאוסף האקסיומות שלנו. האם בדרך זו נוכל להרחיב את אוסף האקסיומות, כך שנגיע למצב שבו כל טענה תהיה ניתנת להוכחה או להפרכה? תשובה לשאלה זו לגבי המתמטיקה ניתנה בשנת 1931 במשפט אי השלמות של גדל: תמיד יהיו השערות שאינן ניתנות להוכחה ואף לא להפרכה. מבחינת תחשיב הפסוקים, הבסיס של הלוגיקה המתמטית, היא שלמה, ולכן לא יהיו בה מקרים כאלו.
[עריכה] ראו גם
[עריכה] קישורים חיצוניים
- מרכוס דה סוטוי, חובת ההוכחה, באתר ynet (תיקוני טעויות מופיעים בטוקבק)
