מרחב הסתברות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת ההסתברות, מרחב הסתברות הוא שלשה \ \left( \Omega , \mathbb{F} , P \right) שאיבריה הם מרחב מדגם, שדה מאורעות ומידת הסתברות. לפי האקסיומטיקה שהציע אנדריי קולמוגורוב, דורשים מרכיבי השלשה לקיים את הדרישות הבאות:

  • מרחב המדגם \Omega: קבוצת כל התוצאות האפשריות בניסוי. מרחב המדגם יכול להיות סופי, כמו בדוגמת הקובייה להלן, או אינסופי, כמו בדוגמה של בחירת מספר רציונלי להלן. על אף שבהטלת קובייה אוסף התצפיות האפשרי נראה ברור מאליו, יש למרחב המדגם חשיבות בעריכת ניסויים מסובכים יותר. לרוב, חוקר ייקח את מרחב המדגם ויחלק אותו לקבוצות על מנת להסיק מסקנות כלשהן.
  • שדה המאורעות \mathbb{F}: זוהי סיגמא-אלגברה של תת-קבוצות של מרחב המדגם ומשמעותה היא כל המאורעות שאפשר לבדוק האם התקיימו כתלות בתוצאה הניסוי. כלומר: שדה זה מכיל את השאלות שאפשר לשאול על הניסוי.
  • מידת הסתברות P: הפונקציה P היא פונקציית מידה משדה המאורעות אל הקטע [0,1] שמהווה הסתברות.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • הטלת קובייה הוגנת בעלת 6 פאות:
    • מרחב המדגם \Omega הוא { 1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 }.
    • מידת ההסתברות P היא זו המתאימה לכל פאה את ההסתברות 1/6.
    • שדה המאורעות \mathbb{F} יכיל את השאלות שאפשר לשאול על הניסוי. כגון: מה ההסתברות שהתוצאה זוגית? מה ההסתברות שהתוצאה גדולה מ-2? מה ההסתברות שיצא 6 או 1 בקובייה? מה ההסתברות שלא יצאו 3 או 5 בקובייה?
  • בחירת מספר ממשי בין 0 ל-100:
    • מרחב המדגם \Omega הוא קבוצת כל המספרים הממשיים בין 0 ל-100.
    • מידת ההסתברות P היא זו המתאימה לכל קטע את מידת ההסתברות שלו
    • שדה המאורעות \mathbb{F} יכיל את השאלות שאפשר לשאול על הניסוי. כגון: מה ההסתברות שנבחר מספר שלם? מה ההסתברות שהתוצאה גדולה מ-25?