תורת ההסתברות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תורת ההסתברות היא ענף של המתמטיקה המשמש לניתוח כמותי של מאורעות שיש בהם אקראיות וחוסר ודאות, כגון ההסתברות שבהטלת שתי קוביות יצא הצירוף שש-שש.

לתורת ההסתברות חשיבות רבה כבסיס לסטטיסטיקה, לתורת המשחקים, לעיבוד אותות, לאלגוריתמיקה, לתורת התורים, לכלכלה, לתורת האינפורמציה ולתחומים רבים נוספים.

רקע היסטורי[עריכת קוד מקור | עריכה]

במאה ה-16 החל העיסוק בהסתברות בעבודתו של המתמטיקאי האיטלקי ג'ירולמו קרדאנו, שהיה מהמר נלהב. עם זאת מקובל לראות את שנת 1654 כתאריך הלידה של תורת ההסתברות. בשנה זו התנהלה תכתובת בין פייר דה פרמה לבין בלז פסקל, בעניין הדרכים לחישוב ההסתברות במשחקי מזל מסוימים. הצעדים הבאים נעשו על ידי כריסטיאן הויגנס, שכתב ספר על הסתברות והגדיר את מושג התוחלת. יאקוב ברנולי כתב ספר רב השפעה בשם "ars conjectandi" (אמנות הניחוש), שפורסם ב-1713 לאחר מותו. לספר היו ארבעה חלקים: הערות מקיפות על ספרו של הויגנס; טיפול יסודי בקומבינטוריקה ותמורות; משחקי מזל מנקודת מבט מתמטית; ויישומים לכלכלה ופוליטיקה. החלק האחרון כלל הוכחה של החוק החלש של המספרים הגדולים עבור משתני ברנולי.

דה-מואבר הגדיר את מושג האי-תלות ב-1718. ספרו על תורת הסיכויים (1738) כולל הוכחה למשפט הגבול המרכזי עבור משתני ברנולי. פואסון וגאוס תרמו תרומה חשובה לנושא כשפיתחו את ההתפלגויות הקרויות על שמם. בשנת 1812 פרסם פייר סימון לפלס את ספרו "תאוריה אנליטית של ההסתברות", שהיווה ביסוס שיטתי ראשון של תורת ההסתברות. בשנת 1867 הוכיח צ'בישב את חוק המספרים הגדולים, ולאחר מכן הוכיח תלמידו ליאפונוב את משפט הגבול המרכזי. לאחר ניסיונות מוקדמים של פון מיזס, ביסוס אקסיומטי לתורת ההסתברות ניתן בשנת 1933, באמצעות האקסיומות של קולמוגורוב.

מושגי יסוד[עריכת קוד מקור | עריכה]

מושג בסיסי בתורת ההסתברות הוא מאורע פשוט, שהוא תוצאה אפשרית אחת מתוך כלל התוצאות האפשריות במרחב המדגם. מאורע הוא קבוצה כלשהי של תוצאות (תת-קבוצה מתאימה של מרחב המדגם). בהטלת מטבע בודד מרחב המדגם כולל שתי תוצאות אפשריות: "עץ" או "פלי". כל הטלה של מטבע היא מאורע פשוט, שניתן לשייך לו הסתברות. אם נניח שמרחב המדגם הוא סימטרי, נקבל שההסתברות למאורע הפשוט בו המטבע נופל על הצד "עץ" היא בדיוק חצי.

בהטלת קובייה יש שש תוצאות אפשריות (הערכים 1 עד 6 המתקבלים בצד העליון של הקובייה). במקרה זה תוצאות אלה הן מאורעות זרים (כלומר אינם יכולים להתרחש בבת אחת) ושווי הסתברות, בהנחה שהקובייה סימטרית. מאורעות נחשבים כבלתי תלויים אם ההסתברות להתרחשות של כל אחד מהם אינה מושפעת מהעובדה שהאחר כבר קרה. שתי הטלות נפרדות של קובייה, למשל, הן מאורעות בלתי תלויים.

אחת התכונות הבסיסיות של מרחבי הסתברות היא שההסתברות של איחוד מאורעות זרים שווה לסכום ההסתברויות של כל אחד מהמאורעות. תכונה זו מתאימה להנחה האינטואיטיבית שהסיכוי שלפחות אחד משני מאורעות יתרחש הוא סכום הסיכויים שכל אחד מהם יתרחש בנפרד, כל עוד אין ביניהם חפיפה. לדוגמה, בהטלת קובייה סימטרית ההסתברות לכל תוצאה אפשרית היא שישית. למאורע "תתקבל תוצאה זוגית", שהוא איחוד של המאורעות הזרים יתקבל 2, 4, או 6, יש הסתברות של חצי - שלוש שישיות.

ההסתברות של חיתוך של מאורעות בלתי תלויים, כלומר ההסתברות שכל המאורעות הללו יקרו יחדיו, שווה למכפלת ההסתברויות של כל אחד מהמאורעות. דוגמה: מה ההסתברות שבשלוש הטלות רצופות של מטבע התוצאה "עץ" תופיע לפחות פעם אחת? המאורע המשלים למאורע זה הוא שבכל שלוש הזריקות הופיעה התוצאה "פלי". ההסתברות של מאורע זה שווה למכפלת ההסתברויות של התוצאה "פלי" בכל אחת משלוש הזריקות, כלומר ההסתברות של המאורע המשלים היא חצי כפול חצי כפול חצי, שהיא שמינית. לפיכך ההסתברות שבשלוש הטלות רצופות של מטבע התוצאה "עץ" תופיע לפחות פעם אחת היא שבע שמיניות.
הסיכויים שהקובייה תיפול על המספר 6, הם 1/6. הסיכוי שבשתי קוביות יתקבל המספר 6 הוא 1/36 והסיכוי שבשלוש קוביות יתקבל 6 הוא 1/216. כלומר, ככל שמספר הקוביות גדל, הסיכוי שכולן יפלו על אותו המספר קטן. לצורך חישוב הסתברויות של מאורעות מורכבים יותר במרחבים בדידים וסימטריים, נעשה שימוש בשיטות קומבינטוריות.

הצגה לא מדויקת של בעיות בהסתברות עלולה להביא לתוצאות פרדוקסליות. דוגמה בולטת לכך היא פרדוקס המעטפות.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]