משפט מנלאוס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בגאומטריה אוקלידית, משפט מנלאוס נותן תנאי הכרחי ומספיק לכך ששלוש נקודות על צלעות משולש, או המשכיהן, תהיינה מונחות על ישר אחד.

מקרה 1: שתי נקודות על הצלעות ונקודה שלישית בהמשך הצלע השלישית
מקרה 2: כל הנקודות על המשכי הצלעות

המשפט קובע (לפי הסימונים שבשרטוטים בצד שמאל) שהנקודות D,E,F על ישר אחד (בשרטוט - הישר הסגול) אם ורק אם מתקיים: \frac{AF}{FB}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1 (כאשר היחסים מסומנים על-פי הכיוון).

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נטיל את שלוש הנקודות לישר המאונך לישר DE; נסמן כל נקודה בהיטל באות של הנקודה המקורית עם תג ('). על-פי משפט תאלס, משפט מנלאוס שאנו רוצים להוכיח שקול לקביעה ש-D',ו-F' מתלכדות אם ורק אם \frac{A'F'}{F'B'}  \cdot \frac{B'D'}{D'C'} \cdot \frac{C'D'}{D'A'} = 1, ונוסחה זו שקולה ל \frac{A'F'}{F'B'}  \cdot \frac{B'D'}{D'A'} = 1, השקולה ל- \frac{A'F'}{F'B'}  = \frac{A'D'}{D'B'}. ברור שזה מתקיים אם ורק אם D',ו-F' מתלכדות.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]