משפט תאלס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, קיימים שני משפטים המכונים בשם 'משפט תאלס' על שמו של תאלס איש מילטוס.

המשפט הראשון[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט תאלס הפשוט

בגאומטריה האוקלידית, משפט תאלס קובע שישרים מקבילים חותכים מצד אחד של שוקי זווית קטעים בעלי יחסים שווים. למשל, בציור שמשמאל, אם  DE \| BC , אז \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}

על פי חוקי פרופורציה, ניתן להגיע לשוויונות נוספים, כמו \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC} או \frac{AB}{DB}=\frac{AC}{EC}

הרחבות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הרחבה ראשונה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הרחבה שנייה

כאמור, משפט תאלס הפשוט מתייחס רק למקרה שבו הישרים המקבילים נמצאים מאותו צד של קודקוד הזווית. ההרחבה הראשונה קובעת שמשפט תאלס נכון גם אם הישרים אינם מאותו צד של קודקוד הזווית (כמו בציור משמאלה).

הרחבה שנייה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההרחבה השנייה קובעת שגם היחס בין הקטעים שהזווית חותכת מהישרים המקבילים, שווה ליחס בין החלקים שהישרים המקבילים חותכים משוקי הזווית, כלומר \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}

הוכחת המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

המשפט עצמו[עריכת קוד מקור | עריכה]

מעבירים את \ BE ואת \ CD.

בוחנים את המשולש \ BDE ואת המשולש \ CDE.

בשני משולשים אלו, \ DE צלע, והגובה מ-\ B ל-\ DE שווה לגובה מ-\ C ל-\ DE. (כי DE\|BC)

לכן, שטחי משולשים אלו שווים, כלומר \ S_{BDE}=S_{CDE}

אם מוסיפים לשני האגפים את שטח המשולש \ ADE, מקבלים \ S_{ABE}=S_{ACD}

מחלקים את שני האגפים בשטח המשולש \ ADE, ומקבלים \frac{S_{ABE}}{S_{ADE}}=\frac{S_{ACD}}{S_{ADE}}

מורידים גובה \ h_1 מ-\ E ל-\ AB, וגובה \ h_2 מ-\ D ל-\ AC.

מכיוון ששטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לה, נקבל: 
\frac
{\frac{h_1AB}{2}}
{\frac{h_1AD}{2}}
=
\frac
{\frac{h_2AC}{2}}
{\frac{h_2AE}{2}}

לאחר צמצום, מקבלים: \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}

הרחבה ראשונה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מעבירים את \ BE ואת \ CD.

בוחנים את המשולש \ BDE ואת המשולש \ CDE.

בשני משולשים אלו, \ DE צלע, והגובה מ-\ B ל-\ DE שווה לגובה מ-\ C ל-\ DE. (כי DE\|BC)

לכן, שטחי משולשים אלו שווים, כלומר \ S_{BDE}=S_{CDE}

אם מורידים משני האגפים את שטח המשולש \ ADE, מקבלים \ S_{ABE}=S_{ACD}

מחלקים את שני האגפים בשטח המשולש \ ADE, ונקבל \frac{S_{ABE}}{S_{ADE}}=\frac{S_{ACD}}{S_{ADE}}

מורידים גובה \ h_1 מ-\ E ל-\ AB, וגובה \ h_2 מ-\ D ל-\ AC.

מכיוון ששטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לה, מקבלים: 
\frac
{\frac{h_1AB}{2}}
{\frac{h_1AD}{2}}
=
\frac
{\frac{h_2AC}{2}}
{\frac{h_2AE}{2}}

לאחר צמצום, מקבלים: \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}

הרחבה שנייה[עריכת קוד מקור | עריכה]

על הקטע \ BC, מסמנים נקודה \ M, כך ש-\ DE=MC. מכיוון ש-\ DE=MC וש-DE\|MC,‏ \ DECM מקבילית, ולכן DM\|EC

לכן, על פי משפט תאלס, (כאשר מתייחסים לזווית \angle ABC) \frac{BC}{MC}=\frac{AB}{AD}

נציב\ DE=MC, ונקבל \frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}

המשפט השני[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט תאלס: \ B היא זווית ישרה

בגאומטריה האוקלידית, משפט תאלס קובע שהזווית המונחת על קוטר במעגל היא זווית ישרה: אם הנקודות \ A ,\ B ו-\ C מונחות על מעגל והקו \ AC עובר דרך מרכז המעגל, אז הזווית \ \angle ABC שווה לתשעים מעלות.

משפט זה היה ידוע ככל הנראה באופן אמפירי כבר למצרים והבבלים, אבל הם לא עסקו בהוכחות גאומטריות, וממילא לא סיפקו הוכחה גם למשפט זה. ההוכחה הראשונה מיוחסת לפילוסוף והגאומטרן היווני תאלס ממילטוס, שעל-שמו קרוי המשפט.

הוכחת המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההוכחה מסתמכת על שתי עובדות ידועות, שגם אותן מייחס אוקלידס בספרו, "יסודות", לתלס.

  • זוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים, שוות זו לזו.
  • סכום הזוויות במשולש שווה למאה ושמונים מעלות.
הוכחת משפט תלס

נסמן ב-\ O את מרכז המעגל. מכיוון שהנקודות \ A ,\ B ו-\ C מונחות על המעגל, מתקיים \ OA=OB=OC, ולכן המשולשים \ OAB ו-\ OBC שניהם שווי-שוקיים. לפי העובדה הראשונה שהוזכרה לעיל, \ \angle OBC=\angle OCB וכן \ \angle BAO=\angle ABO. נסמן את הזווית הראשונה באות \ \delta, ואת השנייה באות \ \gamma. סכום הזויות במשולש ABC הוא \ 2\delta+2\gamma=180^{\circ}, ואם נחלק את שני האגפים בשניים ונקבל \ \gamma+\delta=90^{\circ}.

ניסוח סימטרי והכללה[עריכת קוד מקור | עריכה]

המשפט, כפי שהוצג כאן, קובע שאם משולש חסום במעגל באופן שאחת מצלעותיו היא קוטר, אז המשולש הוא ישר-זווית. גם ההיפך נכון, וכך אפשר לנסח את המשפט באופן סימטרי:

משפט תאלס הוא מקרה פרטי של המשפט שלפיו זווית מרכזית המונחת על מיתר במעגל כפולה תמיד מן הזווית ההיקפית.