משפט תאלס
במתמטיקה, קיימים שני משפטים המכונים בשם 'משפט תאלס' על שמו של תאלס איש מילטוס.
תוכן עניינים |
[עריכה] המשפט הראשון
בגאומטריה האוקלידית, משפט תאלס קובע שישרים מקבילים חותכים מצד אחד של שוקי זווית קטעים בעלי יחסים שווים. למשל, בציור שמשמאל, אם
, אז 
על פי חוקי פרופורציה, ניתן להגיע לשוויונות נוספים, כמו
או 
[עריכה] הרחבות
[עריכה] הרחבה ראשונה
כאמור, משפט תאלס הפשוט מתייחס רק למקרה שבו הישרים המקבילים נמצאים מאותו צד של קודקוד הזווית. ההרחבה הראשונה קובעת שמשפט תאלס נכון גם אם הישרים אינם מאותו צד של קודקוד הזווית (כמו בציור משמאל).
[עריכה] הרחבה שנייה
ההרחבה השנייה קובעת שגם היחס בין הקטעים שהזווית חותכת מהישרים המקבילים, שווה ליחס בין החלקים שהישרים המקבילים חותכים משוקי הזווית, כלומר 
[עריכה] הוכחת המשפט
[עריכה] המשפט עצמו
מעבירים את
ואת
.
בוחנים את המשולש
ואת המשולש
.
בשני משולשים אלו,
צלע, והגובה מ-
ל-
שווה לגובה מ-
ל-
. (כי
)
לכן, שטחי משולשים אלו שווים, כלומר 
אם מוסיפים לשני האגפים את שטח המשולש
, מקבלים 
מחלקים את שני האגפים בשטח המשולש
, ומקבלים 
מורידים גובה
מ-
ל-
, וגובה
מ-
ל-
.
מכיוון ששטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לה, נקבל: 
לאחר צמצום, מקבלים: 
[עריכה] הרחבה ראשונה
מעבירים את
ואת
.
בוחנים את המשולש
ואת המשולש
.
בשני משולשים אלו,
צלע, והגובה מ-
ל-
שווה לגובה מ-
ל-
. (כי
)
לכן, שטחי משולשים אלו שווים, כלומר 
אם מורידים משני האגפים את שטח המשולש
, מקבלים 
מחלקים את שני האגפים בשטח המשולש
, ונקבל 
מורידים גובה
מ-
ל-
, וגובה
מ-
ל-
.
מכיוון ששטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לה, מקבלים: 
לאחר צמצום, מקבלים: 
[עריכה] הרחבה שנייה
על הקטע
, מסמנים נקודה
, כך ש-
. מכיוון ש-
וש-
,
מקבילית, ולכן 
לכן, על פי משפט תאלס, (כאשר מתייחסים לזווית
) 
נציב
, ונקבל 
[עריכה] המשפט השני
בגאומטריה האוקלידית, משפט תאלס קובע שהזווית המונחת על קוטר במעגל היא זווית ישרה: אם הנקודות
,
ו-
מונחות על מעגל והקו
עובר דרך מרכז המעגל, אז הזווית
שווה לתשעים מעלות.
משפט זה היה ידוע ככל הנראה באופן אמפירי כבר למצרים והבבלים, אבל הם לא עסקו בהוכחות גאומטריות, וממילא לא סיפקו הוכחה גם למשפט זה. ההוכחה הראשונה מיוחסת לפילוסוף והגאומטרן היווני תאלס ממילטוס, שעל-שמו קרוי המשפט.
[עריכה] הוכחת המשפט
ההוכחה מסתמכת על שתי עובדות ידועות, שגם אותן מייחס אוקלידס (ב"יסודות") לתלס.
- זוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים, שוות זו לזו.
- סכום הזוויות במשולש שווה למאה ושמונים מעלות.
נסמן ב-
את מרכז המעגל. מכיוון שהנקודות
,
ו-
מונחות על המעגל, מתקיים
, ולכן המשולשים
ו-
שניהם שווי-שוקיים. לפי העובדה הראשונה שהוזכרה לעיל,
וכן
. נסמן את הזווית הראשונה באות
, ואת השנייה באות
. סכום הזויות במשולש ABC הוא
, ואם נחלק את שני האגפים בשניים ונקבל
.
[עריכה] ניסוח סימטרי והכללה
המשפט, כפי שהוצג כאן, קובע שאם משולש חסום במעגל באופן שאחת מצלעותיו היא קוטר, אז המשולש הוא ישר-זווית. גם ההיפך נכון, וכך אפשר לנסח את המשפט באופן סימטרי:
משפט תאלס הוא מקרה פרטי של המשפט שלפיו זווית מרכזית המונחת על מיתר במעגל כפולה תמיד מן הזווית ההיקפית.