משפט צ'בה

משפט צ'בה הוא משפט יסודי בגאומטריה האוקלידית, הנותן תנאי לכך ששלושה קטעים היוצאים מקודקודי משולש ייפגשו בנקודה משותפת. היינו: במשולש ABC, אם בוחרים נקודות F,D,E על הצלעות AB,BC,CA (או המשכיהן) בהתאמה, אז הקטעים AD, BE ו-CF נפגשים בנקודה אם ורק אם מכפלת יחסי החלוקה ${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{CD}}\cdot {\frac {CE}{EA}}$ שווה ל-1. לצורך זה יחס החלוקה מחושב עם סימן; המשפט נכון גם לגבי חלוקה חיצונית, כאשר היחס שלילי.

ניסוח נוסף של המשפט מספק תנאי שקול המכונה "משפט צ'בה הזוויתי": ${\frac {\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}}\cdot {\frac {\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}}\cdot {\frac {\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE}}=1.$ . ניתן להוכיח שהניסוחים שקולים בעזרת שימוש במשפט הסינוסים.

משפטים ידועים על נקודות מיוחדות של משולש הם מסקנות ממשפט צ'בה:

העובדה ששלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה היא מקרה פרטי, שבו כל היחסים שווים לאחד.
העובדה ששלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה נובעת ממשפט צ'בה באמצעות משפט חוצה הזווית (חוצה זווית מחלק את הצלע שמול הזווית ביחס ששווה ליחס בין שוקי הזווית).
העובדה ששלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה נובעת ממשפט צ'בה שכן היחס שבו מחלק הגובה את הצלע אליה הוא מורד שווה ליחס הטנגנסים של הזוויות האחרות במשולש.

שלשה של נקודות F,D,E כמתואר במשפט נקראת שלשת צ'בה. לדוגמה, אמצעי הצלעות מהווים שלשת צ'בה (זהו המשפט על מפגש התיכונים בנקודה). גם נקודות ההשקה של המעגל החסום מהוות שלשת צ'בה (מפגש הקטעים האלה נקרא נקודת גרגון (אנ') של המשולש).

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יש למשפט כמה וכמה הוכחות גאומטריות, אבל ההוכחה בשיטות של גאומטריה אנליטית היא כנראה הפשוטה מכולן. מכיוון שהנקודות A,B,C אינן על קו ישר אחד, כל נקודה במישור, ובפרט O (ראו ציור) היא ממוצע משוקלל שלהן, כלומר, קיימים משקלים $\ \alpha ,\beta ,\gamma$ , שסכומם 1, כך שמתקיים: $\ \alpha A+\beta B+\gamma C=O$ .

מכיוון שהנקודה D נמצאת על ישר אחד עם O ו-A, ועל ישר אחר עם B ו-C, מתקיים: $D={\frac {\beta }{\beta +\gamma }}B+{\frac {\gamma }{\beta +\gamma }}C$ . לכן ${\frac {BD}{CD}}={\frac {\gamma }{\beta }}$ , ובאופן דומה, ${\frac {AF}{FB}}={\frac {\beta }{\alpha }}$ , ו- ${\frac {CE}{EA}}={\frac {\alpha }{\gamma }}$ . כלומר, טענת המשפט היא ש- ${\frac {\beta }{\alpha }}\cdot {\frac {\gamma }{\beta }}\cdot {\frac {\alpha }{\gamma }}=1$ , והטענה הזו טריוויאלית.