משפט צ'בה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מקרה 1: כל החלוקות פנימיות
מקרה 2: שתיים מהחלוקות חיצוניות

בגאומטריה האוקלידית, משפט צ'בה קובע שאם מחברים כל קודקוד במשולש לנקודה על הצלע שמולו, ושלושת הקטעים נפגשים בנקודה, אז מכפלת יחסי החלוקה היא 1; ולהיפך - אם מכפלת יחסי החלוקה היא 1, אז הקטעים נפגשים בנקודה. במשפט זה, יחס החלוקה מחושב עם סימן, והוא נכון גם לגבי חלוקה חיצונית. עבור הישרים AD, BE ו-CF (ראו ציור), המכפלה היא \frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{CD}\cdot\frac{CE}{EA}=1.

העובדה ששלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה היא מקרה פרטי, שבו כל היחסים שווים לאחד.

[עריכה] הוכחה

מכיוון שהנקודות A,B,C אינן על קו ישר אחד, כל נקודה במישור, ובפרט O (ראו ציור) היא ממוצע משוקלל שלהן, כלומר, קיימים משקלים α,β,γ, שסכומם 1, כך שמתקיים: αA + βB + γC = O.

מכיוון שהנקודה D נמצאת על ישר אחד עם O ו-A, ועל ישר אחר עם B ו-C, מתקיים: D=\frac{\beta}{\beta+\gamma}B+\frac{\gamma}{\beta+\gamma}C

לכן, מתקיים \frac{BD}{CD}=\frac{\gamma}{\beta}, ובאופן דומה, \frac{AF}{FB}=\frac{\beta}{\alpha}, וכן, \frac{CE}{EA}=\frac{\alpha}{\gamma}

לכן, מה שמשפט צ'בה אומר, הוא שמתקיים \frac{\beta}{\alpha}\cdot\frac{\gamma}{\beta}\cdot\frac{\alpha}{\gamma}=1, והטענה הזו היא טריוויאלית.

[עריכה] קישורים חיצוניים


מקור: http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%A6%27%D7%91%D7%94