משולש

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

ערך זה עוסק במצולע הקרוי משולש. אם התכוונתם לפירושים ומושגים אחרים ל"משולש", ראו משולש (פירושונים).

משולש

בגאומטריה אוקלידית, משולש הוא מצולע בעל שלוש צלעות. במשולש שלוש זוויות, הקרויות קודקודי המשולש. בגאומטריה אוקלידית, סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות. בגאומטריות אחרות סכום הזוויות שונה - גדול מ-180 מעלות או קטן מ-180 מעלות.

[עריכה] קווים ונקודות מיוחדים במשולש

[עריכה] קטעים וישרים מיוחדים

אנך אמצעי (בצהוב), תיכון (כחול), חוצה זווית (סגול), אנך (ירוק) וקטע אמצעים (חום)

הקטע המחבר קודקוד של המשולש עם הצלע שממולו וחוצה את הזווית שבקודקוד לשניים קרוי חוצה זווית.
הקטע המחבר קודקוד של המשולש עם אמצע הצלע שמולו קרוי תיכון.
הקו היוצא מאמצע הצלע ומאונך לה, נקרא אנך אמצעי.
הקטע היוצא מקודקוד של המשולש ומאונך לצלע שממולו קרוי גובה.
הקטע המחבר אמצעי שתי צלעות קרוי קטע אמצעים, והוא מקביל לצלע השלישית, ושווה באורכו למחציתה.

במשולש שווה צלעות, התיכון, הגובה, האנך האמצעי וחוצה הזווית מתלכדים לקטע אחד.

[עריכה] נקודות מרכזיות

לקטעים אלה, ובעיקר לשלושת הראשונים, יש תפקיד מרכזי בחקירת תכונות המשולש, בעיקר דרך הנקודות שהם מגדירים:

שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת. נקודה זו היא מרכז המעגל החסום, ולכן היא מצויה במרחק שווה משלוש הצלעות.
שלושת האנכים האמצעיים במשולש נפגשים בנקודה אחת. נקודה זו היא מרכז המעגל החוסם, כלומר - היא מצויה במרחק שווה משלושת הקודקודים.
שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת, המצויה בשני-שליש הדרך מן הקודקוד לצלע, לאורך כל אחד מן התיכונים. נקודה זאת נקראת מרכז הכובד של המשולש.
גם שלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת.

ישר אוילר, באדום; אנכים אמצעיים בצהוב, תיכונים בכחול, ואנכים בירוק

בשנת 1765 הוכיח לאונרד אוילר שמפגש האנכים האמצעיים (U), מפגש התיכונים (S) ומפגש הגבהים (O) נמצאים על ישר אחד, הקרוי ישר אוילר של המשולש, ומסודרים באופן ש-S נמצאת בשני-שליש הדרך מ-O ל-U.

[עריכה] מעגל פיירבך

מעגל פיירבך, באדום; תשע הנקודות מסומנות בכחול

באותה שנה גילה אוילר גם שתשע נקודות מיוחדות במשולש מצויות כולן על מעגל אחד: אמצעי שלוש הצלעות, הנקודות מהן עולים הגבהים, ואמצעי הקטעים המחברים את הקודקודים עם מפגש הגבהים. את המעגל גילה מחדש (Karl Feuerbach (1800-1834 ב- 1822, והוא קרוי בדרך כלל על-שמו, מעגל פיירבך.

[עריכה] חפיפת משולשים

ערך מורחב – חפיפת משולשים

משולשים חופפים הם זוג משולשים זהים שניתן להזיז, לסובב ולשקף אותם כך שהם יתלכדו זה עם זה, כלומר שלוש הצלעות שלהם ושלוש הזוויות שלהם שוות בהתאמה. היכולת לזהות משולשים חופפים היא כלי בסיסי בגאומטריה האוקלידית, כיוון שמשולשים חופפים הם בעלי תכונות זהות. כך, שטח שני משולשים חופפים הוא שווה, אורכי האנכים שווים, וכן גם רדיוסי המעגל החסום והחוסם, וכו'.

משולשים חופפים הם מקרה פרטי של משולשים דומים.

[עריכה] דמיון משולשים

משולשים דומים הם שני משולשים ששלוש הזוויות שלהם שוות בהתאמה, ובין אורכי הצלעות של המשולש האחד ואורכי הצלעות של המשולש השני קיים יחס קבוע. משולשים חופפים הם גם משולשים דומים, אך משולשים דומים אינם בהכרח חופפים.

הדמיון נקבע לפי כל אחת מן התכונות הבאות:

שתי זוויות (כלומר - שני משולשים בעלי אותן שתי זוויות, דומים זה לזה)
שני יחסים בין הצלעות
יחס אחד בין צלעות וזווית אחת, בתנאי שהזווית בין הצלעות או מול הצלע הגדולה.

[עריכה] מדידת גדלים במשולש

אם במשולש, אורכי הצלעות הן a, b ו-c, אז:

אורך הגובה לצלע c הוא $\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}{2c}$
אורך התיכון לצלע c הוא $\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}$
אורך חוצה הזווית שמול הצלע c הוא $\sqrt{ab(1-(\frac{c}{a+b})^2)}$

ישנן כמה נוסחאות לחישוב שטח המשולש, שהידועה בהן משתמשת באורך b של אחת הצלעות, ובאורך h של הגובה היורד אל אותה צלע: $\ S=\frac{1}{2}bh$ (האיור המצורף מוכיח נוסחה זו).

המחשת הנוסחה לחישוב שטח המשולש, באמצעות מעבר ממשולש למקבילית וממנה למלבן

אם ידועים אורכים a ו- b של שתי צלעות וגודלה $\ \gamma$ של הזווית ביניהן,
אז השטח שווה ל- $\ S=\frac{1}{2}ab\sin(\gamma)$ .

נוסחת הרון משמשת לחישוב שטח המשולש לפי אורכי שלוש צלעותיו.

[עריכה] משולשים מיוחדים

[עריכה] משולש ישר זווית

משולש ישר זווית

משולש שאחת מזוויותיו שווה ל-90° נקרא משולש ישר זווית. במשולש זה, הצלע שמול הזווית בת ה-90° נקראת יתר ואילו שתי הצלעות האחרות נקראות ניצבים.

משפט פיתגורס קובע את הקשר בין אורכי הצלעות במשולש ישר זווית.
התיכון ליתר במשולש ישר זווית שווה למחצית היתר (ולהפך, משולש בעל תכונה זו הוא ישר זווית)
הגובה ליתר במשולש ישר זווית מחלק אותו לשני משולשים הדומים זה לזה ולמשולש המקורי. מכאן נובע משפט אוקלידס - אורך הניצב הוא הממוצע הגאומטרי של היתר של היטלו של הניצב על היתר.
הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגאומטרי של היטלי הניצבים על היתר. (ולהפך, משולש בעל תכונה זו הוא ישר זווית)
במשולש ישר-זווית שאחת מזוויותיו שווה ל30°, הניצב שמולה שווה לחצי היתר (ולהפך, במשולש ישר זווית שבו אחד הניצבים שווה למחצית היתר, הזווית שמול ניצב זה היא בת 30 מעלות).

[עריכה] משולש שווה שוקיים

משולש שווה שוקיים

משולש שווה שוקיים הוא משולש ששתיים מצלעותיו שוות זו לזו. הצלעות השוות נקראות שוקיים, והצלע השלישית נקראת בסיס.

במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות, ולהיפך - משולש ששתיים מזוויותיו שוות הוא שווה שוקיים. במשולש שווה שוקיים, חוצה הזווית של זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים, ולהיפך: משולש בו שניים מהם מתלכדים הוא שווה שוקיים.

משולש שווה צלעות הוא משולש שמהווה מצולע משוכלל, כלומר- מצולע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו שוות, במשולש גדל כל אחת מהן 60 מעלות. כל משולש כזה הוא שווה שוקיים (בשלוש דרכים שונות).

[עריכה] "משולש הזהב"

בשם "משולש זהב" נקרא משולש שווה שוקיים בעל זווית בסיס של 72 מעלות, מכיוון שבמשולש זה מתקיימת התכונה הבאה: היחס בין הצלע לבסיס הוא יחס הזהב. עם זאת, בישראל השתרש השימוש בשם "משולש זהב" על מנת לתאר דווקא משולש ישר זווית, שזוויותיו הן בנות 90, 60 ו-30 מעלות.