משתמש:Roniyanoos/אפקט פוקלס

אפקט פוקלס (Pockels effect), מוכר גם בתור האפקט האלקטרו-אופטי הלינארי, קרוי על שמו של פרידריך קארל אלווין פוקלס, שחקר את האפקט בשנת 1893. אפקט פוקלס הוא שינוי לינארי במקדם השבירה בהשפעת שדה חשמלי חיצוני. הפעלת שדה חשמלי גורמת לשינוי התפלגות המטענים בגביש, ובכך לשינוי הטנזור הדיאלקטרי. ניתן להבחין בתופעה רק בגבישים בהם אין סימטרית היפוך.

התפשטות אלקטרומגנטית בתווך לינארי לא איזוטרופי

הטנזור הדיאלקטרי

תכונות ההתפשטות של גל אלקטרומגנטי בתווך לא איזוטרופי, נקבעות על ידי הטנזור הדיאלקטרי, $\varepsilon _{ij}$, המייצג את הקשר בין וקטור ההעתקה החשמלי, D, לוקטור השדה החשמלי, E:

${\vec {D}}=\varepsilon \cdot {\vec {E}}$

בחומרים לינאריים, הטנזור הוא מדרגה שנייה, כלומר הינו מטריצה בגודל 3x3 (בהתאם לצירים), ועבור חומרים שקופים ולא מגנטיים, הוא יהיה ממשי וסימטרי, $\varepsilon _{i,j}=\varepsilon _{j,i}$.

נבחר את מערכת הצירים כך שתתלכד עם הצירים העיקריים של הגביש, נסמנם ב-x, y ו-z, ונקבל את הטנזור הדיאלקטרי הבא:

$\varepsilon =\varepsilon _{0}{\begin{pmatrix}n_{x}^{2}&0&0\\0&n_{y}^{2}&0\\0&0&n_{z}^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{x}&0&0\\0&\varepsilon _{y}&0\\0&0&\varepsilon _{z}\end{pmatrix}}$

כאשר $\varepsilon _{x},\varepsilon _{y},\varepsilon _{z}$ הם הקבועים הדיאלקטריים העיקריים, ו- $n_{x},n_{y},n_{z}$ הם אינדקסי השבירה העיקריים.

הטנזור הדיאלקטרי הוא פונקציה של מספר הגל, והוא תלוי בהתפלגות המטענים בגביש.

נגדיר גם את הטנזור ההופכי (קרוי טנזור ה- impermeability):

$\eta =\varepsilon _{0}\varepsilon ^{-1}$

גל מישורי בתווך הומוגני

ממשוואות מקסוול (במערכת הצירים העיקריים והצבת הטנזור הדיאלקטרי), ניתן לקבל את מערכת המשוואות הבאה:

${\begin{pmatrix}\omega ^{2}\mu \varepsilon _{x}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}&k_{x}k_{y}&k_{x}k_{z}\\k_{x}k_{y}&\omega ^{2}\mu \varepsilon _{y}-k_{x}^{2}-k_{z}^{2}&k_{z}k_{y}\\k_{x}k_{z}&k_{z}k_{y}&\omega ^{2}\mu \varepsilon _{z}-k_{y}^{2}-k_{x}^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}E_{x}\\E_{y}\\E_{z}\end{pmatrix}}={\vec {0}}$

כדי שיתקיים פתרון שאינו טריוויאלי, נדרוש כי הדטרמיננטה של המטריצה תתאפס, ומכך נקבל את משוואת הדיספרסיה, הקושרת בין מספר הגל לתדר הגל, $\omega (k)$. משוואה זו ניתנת לייצוג גאומטרי ע"י 2 משטחים, ומכך נובע כי ישנם שני פתרונות של גלים מישוריים המתפשטים בכיוון ${\hat {k}}$ כלשהו, הנבדלים זה מזה בקיטוב. בתווך דו-צירי, המשטחים הם שני אליפסואידים.

index ellipsoid

באופטיקה של גבישים, ה- index ellipsoid הוא ייצוג גיאומטרי של מקדמי השבירה והקיטובים של גלים שונים המתקדמים בגביש, כפונקציות של כיוון ההתקדמות. הצירים העיקריים של האליפסואיד מייצגים את מקדמי השבירה העיקריים (אורכם כפול ממקדמי השבירה).

משוואת האלפיסואיד הכללית, הנובעת מיחס הדיספרסיה שתואר בסעיף הקודם:

$\sum _{i}\sum _{j}\eta _{ij}x_{i}x_{j}=1$

כאשר $i,j=1,2,3$ ו- $x_{i},x_{j}\in \{x,y,z\}$.

משוואת האליפסואיד אשר ציריו העיקריים מקבילים לצירים העיקריים של הגביש היא:

${\frac {x^{2}}{n_{x}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{n_{y}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{n_{z}^{2}}}=1$

תווך חד-צירי (uniaxial) ולא איזוטרופי

עבור גביש חד-צירי, משוואת הדיספרסיה (המתקבלת מאיפוס הדטרמיננטה של המטריצה שקיבלנו עבור גל מישורי), היא:

$\left({\frac {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}{n_{e}^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{o}^{2}}}-k_{o}^{2}\right)\left({\frac {k^{2}}{n_{o}^{2}}}-k_{o}^{2}\right)$

$n_{o}$ ו- $n_{e}$ הם מקדמי השבירה בצירים ה- ordinary וה- extraordinary של הגביש, בהתאמה.

גל המתפשט בכיוון הציר הרגיל (ordinary) מיוצג ע"י ספירה. כיוון ההתפשטות אינו משפיע על מספר הגל (במילים אחרות, אורך הגל אינו תלוי בכיוון ההתקדמות):

$n=n_{o}$

$k_{x}=k_{y}=nk_{0}sin(\theta )$

גל המתפשט בכיוון הציר יוצא הדופן (extraordinary) מיוצג ע"י אליפסואיד. מספר הגל תלוי בכיוון ההתקדמות:

${\frac {1}{n^{2}}}={\frac {cos^{2}(\theta )}{n_{o}^{2}}}+{\frac {sin^{2}(\theta )}{n_{e}^{2}}}$

$k_{z}=nk_{0}cos(\theta )$

ה- index ellipsoid בתווך חד-צירי (uniaxial):

${\frac {x^{2}}{n_{o}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{n_{o}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{n_{e}^{2}}}=1$

שינוי ה- index ellipsoid בהשפעת שדה חשמלי

הפעלת השדה החשמלי גורמת לשינוי הצירים הראשיים של האליפסואיד. זהו הייצוג המתמטי והגאומטרי של השינוי במקדמי השבירה שנגרם כתוצאה מאפקט פוקלס.

נזכר כי:

$\sum _{i}\sum _{j}\eta _{ij}x_{i}x_{j}=1$

במערכת הצירים העיקריים וללא שדה חשמלי חיצוני, מתקיים:

$\eta _{11}={\frac {1}{n_{x}^{2}}},\eta _{22}={\frac {1}{n_{y}^{2}}},\eta _{33}={\frac {1}{n_{z}^{2}}}$

ויתר אברי המטריצה $\eta$ הם אפסים.

כאשר מופעל שדה DC, ובהנחה כי ניתן לקרב את השינוי במקדמי השבירה לשינוי לינארי, נקבל:

$\eta _{ij}=\eta _{ij}(0)+\sum _{k\in \{x,y,z\}}r_{ijk}E_{k}$

$E_{k}$ הוא שדה DC חיצוני, $\eta _{ij}(0)$ הם הרכיבים הדיאלקטריים לפני הפעלת השדה, ו- $r_{ijk}$ הם המקדמים האלקטרו-אופטיים הלינאריים. r הוא טנזור 3x3x3, כיוון שכל אחד מ-9 האיברים ב- $\eta$ מושפע מהשינוי בשדה החשמלי בשלושת הצירים $E_{x},E_{y},E_{z}$.

כתוצאה מהשינוי ב- $\eta$, משוואת האלפיסואיד החדשה תהיה:

$\left({\frac {1}{n_{x}^{2}}}+\sum _{k}r_{11k}E_{k}\right)x^{2}+\left({\frac {1}{n_{y}^{2}}}+\sum _{k}r_{22k}E_{k}\right)y^{2}+\left({\frac {1}{n_{z}^{2}}}+\sum _{k}r_{33k}E_{k}\right)z^{2}+2xy\sum _{k}r_{12k}E_{k}+2yz\sum _{k}r_{23k}E_{k}+2xz\sum _{k}r_{13k}E_{k}=1$

$k\in \{x,y,z\}$

בתווך פאסיבי וחסר הפסדים, מתקיים $r_{ijk}=r_{jik}$. ברוב בחומרים, מרבית הרכיבים של $r_{ijk}$ הם אפסים, וזה מפשט קצת את הפתרון.

אם התחלנו ממערכת הצירים העיקריים, אז $\eta _{ij}(0)=0$.