דטרמיננטה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
איור הממחיש את ביטוי נפחו של מקבילון תלת ממדי בעזרת דטרמיננטה

באלגברה לינארית, הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית, היא סקלר התלוי ברכיבי המטריצה, ושווה לאפס אם ורק אם המטריצה אינה הפיכה.‏[1] יתרה מזו, כאשר הדטרמיננטה של מקדמי מערכת משוואות לינארית שונה מאפס, נוסחת קרמר מחשבת ממנה ומהדטרמיננטה של מטריצה קרובה, את הפתרון היחיד של המערכת. את הדטרמיננטה מסמנים ב-\!\, |A| או \!\, \det(A).

הדטרמיננטה היא פונקציה כפלית (כלומר, \ \det(AB) = \det(A)\det(B)), שיש לה גם משמעות גאומטרית: אם \ A היא מטריצה ריבועית בעלת מקדמים ממשיים, אז הדטרמיננטה שלה שווה לנפחו (המכוון) של המקבילוןמרחב האוקלידי ה- n-ממדי), שקודקודיו הם עמודות המטריצה (ראו איור).

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הדטרמיננטות מופיעות, בצורה לא מפורשת, כבר בלוחות חרס בבליים מן המאה השנייה לפני הספירה ואף לפני-כן, שם נעשה בהן שימוש לפתרון מערכות של שתי משוואות לינאריות.

במאה ה-16 ניסח ג'ירולמו קרדאנו בעזרת דטרמיננטות את הפתרון למערכת של שתי משוואות בשני נעלמים; קרדנו הציג גרסה מוקדמת ולא מלאה של נוסחת קרמר, עבור מטריצות בגודל \ 2\times 2.

הנוסחה לדטרמיננטה של מטריצות גדולות יותר הופיע באירופה וביפן בו זמנית, ב-1683. ביפן פרסם טאקאקזו סקי קווה (1642-1708) הסבר על חישוב הדטרימננטה של מטריצות מספריות מסדר המגיע עד \ 5\times 5, לצורך פתרון של משוואות שונות. באותה שנה, הציג לייבניץ את הנוסחה הכללית לחישוב דטרמיננטה מסדר \ 3\times 3, במכתב למרקיז דה לופיטל.

נוסחת קרמר הופיעה לראשונה, עבור מטריצות בגודל \ 3\times 3, בספר שפורסם ב-1748, כשנתיים לאחר מות המחבר קולין מקלורין. שנתיים אחר-כך פרסם גבריאל קרמר מאמר שבו תיאר בנספח, ללא הוכחה, את הכלל הקרוי על-שמו עבור מטריצות בגודל כלשהו.

לגראנז' הציג את הפירוש של דטרמיננטה (מסדר \ 3\times 3) כאלמנט נפח, במאמר מ-1773 שעסק במכניקה. המונח דטרמיננטה מוצג לראשונה בספרו של גאוס על תורת המספרים; גאוס קרא לה כך משום שהיא קובעת (determines) את התכונות של התבניות הריבועיות שאותן חקר. עם זאת, הדטרמיננטה של גאוס אינה זהה להגדרה המקובלת היום. זו הופיעה בשם זה רק ב-1812, בעבודתו של קושי, שהוכיח לראשונה את הכלל החשוב \ \det(AB) = \det(A) \det(B).

הנושא הבשיל בשלושה מאמרים שפרסם יעקובי ב- 1841, בהם הוא הגדיר את הדטרמיננטה עבור מטריצה כללית ובאופן אלגוריתמי, שסייע לתפוצה הרחבה של הרעיון. את הסימון \ |A| עבור הדטרמיננטה של A הציע ארתור קיילי באותה שנה.

ב-1896 מיין פרדיננד פרובניוס את ההעתקות הלינאריות T \,{:}\, \operatorname{M}_n(F) \rightarrow \operatorname{M}_n(F) השומרות על הדטרמיננטה (במובן ש-\det(T(X))=\det(X) לכל מטריצה X), והראה שכולן מהצורה T(X) = AXB או T(X) = AX^{\operatorname{tr}}B.

הגדרה "אקסיומטית", של הדטרמיננטה, כתבנית (היחידה) שהיא מולטי-לינארית, אנטי-סימטרית ומנורמלת התגלתה על ידי קרל ויירשטראס, והתפרסמה ב-1903, לאחר מותו.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הדטרמיננטה של מטריצה בגודל \!\, n\times n מוגדרת על-פי הנוסחה הבאה:

\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) A_{1,\sigma(1)}A_{2,\sigma(2)}\cdots A_{n,\sigma(n)}.

הסכום בנוסחה הוא על \ n! התמורות \,\! \sigma האפשריות של המספרים \!\, \left\{1,2,\dots,n\right\}. הסימן \!\, \operatorname{sgn}(\sigma) מתקבל על פי זוגיות התמורה. אם התמורה זוגית, \,\! \operatorname{sgn}(\sigma)=1, אם היא אי זוגית, \!\, \operatorname{sgn}(\sigma)=-1. הדטרמיננטה שווה, אם כך, לסכום של כל המכפלות האפשריות לאורך אלכסונים מוכללים של המטריצה, עם סימנים מתחלפים.

לדטרמיננטה יש גם הגדרה אקסיומטית: אפשר לראות את הפונקציה \ A \mapsto \det(A) כפונקציה של n העמודות של המטריצה, ואז זוהי הפונקציה היחידה שהיא לינארית בכל המשתנים, מתחלפת (כלומר מחזירה 0 עבור מטריצה שיש בה שתי שורות זהות), ומנורמלת כך ש-\ \det(I)=1 כאשר \ I היא מטריצת היחידה. בלשון מודרנית, הגדרה זו שקולה לכך שפעולתה של טרנספורמציה לינארית מממד n על מכפלת היתד V^{\wedge n} של המרחב V (שהיא מרחב חד-ממדי) היא כפל בסקלר השווה לדטרמיננטה.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מטריצות 2X2[עריכת קוד מקור | עריכה]

במקרה של מטריצה 2X2, נוסחת הדטרמיננטה היא:

\begin{vmatrix} a & b\\c & d \end{vmatrix}=ad - bc\

בפרט מתקיים:

\begin{vmatrix} 1 & 2\\1 & 3 \end{vmatrix}= 1\cdot 3 - 2\cdot 1 = 1\

ולכן המטריצה הפיכה. אכן, ניתן לראות כי ההפכית של המטריצה היא:

\begin{bmatrix} 1 & 2\\1 & 3 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -2\\-1 & 1 \end{bmatrix}

לעומת זאת המטריצה הבאה איננה הפיכה:

\begin{bmatrix} 1 & 2\\2 & 4\end{bmatrix}

כעת, חישוב הדטרמיננטה ייתן אפס:

\begin{vmatrix} 1 & 2\\2 & 4\end{vmatrix} = 1\cdot 4 - 2\cdot 2 = 0

חישוב הדטרמיננטה[עריכת קוד מקור | עריכה]

דירוג המטריצה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפיתוח לפי ההגדרה המפורשת דורש כ- \ n\cdot n! פעולות בשדה. לעומת שיטות אלה, שיטת הדירוג של גאוס מאפשרת לחשב את הדטרמיננטה בכ- n^3 פעולות, על ידי דירוג המטריצה עד שמגיעים למטריצה משולשית: הדטרמיננטה של מטריצה משולשית שווה למכפלת איברי האלכסון הראשי שלה.

הדירוג נעשה על ידי הפעלת פעולות אלמנטריות בשרשרת, ואלו משפיעות על הדטרמיננטה באופן הבא:

  • החלפת מקומן של שתי שורות (או עמודות) במטריצה משנה את סימן הדטרמיננטה: אם \!\, A' התקבלה מהמטריצה \!\, A על ידי החלפת שתי שורות, אז \!\, |A'|=-|A|.
  • הוספה של כפולה בסקלר של שורה (עמודה) אחת לשורה (עמודה) אחרת אינה משנה את ערך הדטרמיננטה של המטריצה המתקבלת.
  • הכפלה של שורה (או עמודה) במטריצה בסקלר מכפילה את ערך הדטרמיננטה של המטריצה באותו סקלר: אם \!\, A' התקבלה מהמטריצה \!\, A על ידי הכפלת שורה כלשהי בסקלר \!\, \lambda, אז \!\, |A'|=\lambda|A|.

פיתוח לפי מינורים[עריכת קוד מקור | עריכה]

את הדטרמיננטה אפשר לחשב בצורה רקורסיבית, הנקראת פיתוח לפי מינורים. הדטרמיננטה של מטריצה בגודל \!\, 1\times 1 הוא האיבר היחיד שלה. כעת נראה כיצד ניתן לחשב דטרמיננטה מסדר \!\, n\times n כאשר \!\ n\geq 2. המינור של איבר במטריצה A הוא הדטרמיננטה של המטריצה המתקבלת על ידי מחיקת השורה והעמודה של אותו איבר מהמטריצה, כך שמתקבלת מטריצה בגודל \!\, (n-1)\times (n-1) (את הדטרמיננטה הזו, של מטריצה קטנה יותר, אנו כבר יודעים לחשב). נסמן את המינור המתקבל ממחיקת הרכיב A_{ij} (שהוא הרכיב ה-(i,j) של המטריצה) ב-A^{ij}. הדטרמיננטה ניתנת כעת לחישוב בצורה \det(A) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}A_{ij}A^{ij} -- זהו פיתוח לפי השורה ה-i. פיתוח לפי העמודה ה-j מתקבל מנוסחה דומה: \det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}A_{ij}A^{ij}.

לדוגמה, הפיתוח לפי השורה הראשונה של מטריצה מסדר \!\, 3\times 3 נותן את הנוסחה 
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}
=
a_{11}
\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}
-
a_{12}
\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix}
+
a_{13}
\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{vmatrix}
.

הסיבוכיות בשיטה זו דומה לחישוב הדטרמיננטה על-פי ההגדרה, ולכן אין לה ערך מעשי, אלא אם יש במטריצה שורה או עמודה שכמעט כולה אפסים. עם זאת יש בה תועלת תאורטית לא מבוטלת. לדוגמה, נובע ממנה בקלות (באינדוקציה) שהדטרמיננטה של המטריצה המשוחלפת שווה לזו של המטריצה המקורית.

הדטרמיננטה באנליזה וקטורית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בשל הפירוש הגאומטרי של הדטרמיננטה שצויין לעיל, אם \ S קבוצה כלשהי במרחב הממשי \ \mathbb{R}^n, אז הנפח של \ A\cdot S שווה לנפח של \ S מוכפל בדטרמיננטה של \ A (עובדה המסבירה את הופעתו של היעקוביאן בחישובי אינטגרלים מרובים).

  • באמצעות דטרמיננטה של מטריצה 3 על 3 אפשר לרשום ביטוי שקל לזכור ומקל לחשב את המכפלה הווקטורית ב-\mathbb{R}^3 באופן הבא:
    \vec A\times\vec B=
\begin{vmatrix} 
\hat x & \hat y & \hat z \\
A_x & A_y & A_z \\
B_x & B_y & B_z \\
\end{vmatrix}
 =(A_yB_z-A_zB_y)\hat x+(A_zB_x-A_xB_z)\hat y+(A_xB_y-A_yB_x)\hat z

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ בדיקת ערך הדטרמיננטה של המטריצה של העתקה לינארית, היא שיטה אלגוריתמית לוודא האם העתקה הפיכה.