דטרמיננטה

באלגברה לינארית, הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית, היא סקלר התלוי ברכיבי המטריצה, ושווה לאפס בדיוק כאשר המטריצה אינה הפיכה. הדטרמיננטה מאפשרת לקבוע באמצעות חישוב יחיד האם למערכת המשוואות שהמטריצה מייצגת יש פתרון יחיד.

איור הממחיש את ביטוי נפחו של מקבילון תלת ממדי בעזרת דטרמיננטה

אם $\ A$ היא מטריצה ריבועית בעלת מקדמים ממשיים, אז הדטרמיננטה שלה שווה לנפחו של המקבילון (במרחב האוקלידי ה- $n$-ממדי), שקודקודיו הם עמודות המטריצה (ראו איור). כתוצאה מכך, אם $\ S$ קבוצה כלשהי במרחב הממשי $\ \mathbb{R}^n$, אז הנפח של $\ A\cdot S$ שווה לנפח של $\ S$ מוכפל בדטרמיננטה של $\ A$ (עובדה המסבירה את הופעתו של היעקוביאן בחישובי אינטגרלים מרובים).

את הדטרמיננטה מסמנים ב- $\!\, |A|$ או $\!\, \det(A)$.

הדטרמיננטה היא פונקציה כפלית (כלומר, $\ \det(AB) = \det(A)\det(B)$). אפשר לראות את הפונקציה $\ A \mapsto \det(A)$ כפונקציה של $n$ העמודות של המטריצה, ואז זוהי הפונקציה היחידה שהיא לינארית בכל המשתנים, אנטי-סימטרית (כלומר מחזירה 0 עבור מטריצה שיש בה שתי שורות זהות), ומקיימת $\ \det(I)=1$ כאשר $\ I$ היא מטריצת היחידה.

היסטוריה

הדטרמיננטות מופיעות, בצורה לא מפורשת, כבר בלוחות חרס בבליים מן המאה השנייה לפני הספירה ואף לפני-כן, שם נעשה בהן שימוש לחקירת מערכות של שתי משוואות לינאריות. במאה ה-16 עשה ג'ירולמו קרדאנו צעד נוסף, כאשר נעזר בחישוב הדטרמיננטה כדי לפתור מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים; קרדנו הציג גרסה מוקדמת ולא מלאה של נוסחת קרמר, עבור מטריצות בגודל $\ 2\times 2$.

הנוסחה לדטרמיננטה של מטריצות גדולות יותר הופיע באירופה וביפן בו זמנית, ב-1683. ביפן פרסם טאקאקזו סקי קווה (1642-1708) הסבר על חישוב הדטרימננטה של מטריצות מספריות מסדר המגיע עד $\ 5\times 5$, לצורך פתרון של משוואות שונות. באותה שנה, הציג לייבניץ את הנוסחה הכללית לחישוב דטרמיננטה מסדר $\ 3\times 3$, במכתב למרקיז דה לופיטל.

נוסחת קרמר הופיעה לראשונה, עבור מטריצות בגודל $\ 3\times 3$, בספר שפורסם ב-1748, כשנתיים לאחר מות המחבר קולין מקלורין. שנתיים אחר-כך פרסם גבריאל קרמר מאמר שבו תיאר בנספח, ללא הוכחה, את הכלל הקרוי על-שמו עבור מטריצות בגודל כלשהו.

לגראנז' הציג את הפירוש של דטרמיננטה (מסדר $\ 3\times 3$) כאלמנט נפח, במאמר מ-1773 שעסק במכניקה. המונח דטרמיננטה מוצג לראשונה בספרו של גאוס על תורת המספרים; גאוס קרא לה כך משום שהיא קובעת (determines) את התכונות של התבניות הריבועיות שאותן חקר. עם זאת, הדטרמיננטה של גאוס אינה זהה להגדרה המקובלת היום. זו הופיעה בשם זה רק ב-1812, בעבודתו של קושי, שהוכיח לראשונה את הכלל החשוב $\ \det(AB) = \det(A) \det(B)$.

הנושא הבשיל בשלושה מאמרים שפרסם יעקובי ב- 1841, בהם הוא הגדיר את הדטרמיננטה עבור מטריצה כללית ובאופן אלגוריתמי, שסייע לתפוצה הרחבה של הרעיון. את הסימון $\ |A|$ עבור הדטרמיננטה של A הציע ארתור קיילי באותה שנה.

הגדרה "אקסיומטית", של הדטרמיננטה, כתבנית (היחידה) שהיא מולטי-לינארית, אנטי-סימטרית ומנורמלת התגלתה על ידי קרל ויירשטראס, והתפרסמה ב-1903, לאחר מותו.

הגדרה פורמלית

הדטרמיננטה של מטריצה בגודל $\!\, n\times n$ מוגדרת על-פי הנוסחה הבאה:

$\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i, \sigma(i)}$

הסכום בנוסחה הוא על $\ n!$ התמורות $\,\! \sigma$ האפשריות של המספרים $\!\, \left\{1,2,\dots,n\right\}$. הסימן $\!\, \operatorname{sgn}(\sigma)$ מתקבל על פי זוגיות התמורה. אם התמורה זוגית, $\,\! \operatorname{sgn}(\sigma)=1$, אם היא אי זוגית, $\!\, \operatorname{sgn}(\sigma)=-1$.

מעשית: עושים $\ n!$ סכומים על כל הצורות (סידורים) האפשריות של הכפלת n איברים לפי התאמה חד חד ערכית בין קבוצת (אינדקס) השורות לקבוצת (אינדקס) העמודות. מקדם התמורה יקבע לפי מספר האיברים בסידור שלגביהם מספר (אינדקס) השורה גדול ממספר העמודה, אם המספר זוגי המקדם יהיה +, ואם אי זוגי הוא יהיה -.

פיתוח לפי מינורים

ההגדרה לדטרמיננטה היא מסובכת, וקשה ללמוד ממנה על הדרך שבה מחושבת הדטרמיננטה. על כן, נציג שיטה רקורסיבית לחישוב הדטרמיננטה הנקראת פיתוח לפי מינורים. מינור של איבר במטריצה הוא הדטרמיננטה של המטריצה המתקבלת על ידי מחיקת השורה והעמודה של אותו איבר מהמטריצה.

ראשית, נגדיר ישירות את הדטרמיננטה של מטריצה מגודל $\!\, 1\times 1$:

$\begin{vmatrix} a_{11} \\ \end{vmatrix}=a_{11}$.

שנית, נגדיר ישירות את הדטרמיננטה של מטריצה מגודל $\!\, 2\times 2$:

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$.

כעת נראה כיצד ניתן לחשב דטרמיננטה מסדר $\!\, n\times n$ כאשר $\!\ 2<n$ באמצעות דטרמיננטות מסדר $\!\, (n-1)\times (n-1)$.

לצורך דוגמה נשתמש בדטרמיננטה מסדר $\!\, 3\times 3$:

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}$.

כעת, נבחר עמודה או שורה של המטריצה ונפתח את הדטרמיננטה על פיהן. נניח כי בדוגמה שלנו בחרנו את השורה העליונה.

אם בחרנו בשורה ה-$\!\, i$, ערך הדטרמיננטה נתון על ידי הנוסחה $\!\, \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}$, כאשר $\!\, M_{ij}$ היא המינור המתקבל ממחיקת השורה והעמודה של $\!\, a_{ij}$. אם בחרנו בעמודה ה-$\!\, j$, הנוסחה היא $\!\, \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}$.

במילים פשוטות: אנו מחברים ומחסרים לסירוגין, עבור כל איבר בשורה/עמודה שבחרנו, את המכפלה שלו בערך הדטרמיננטה של המטריצה שמתקבלת ממחיקת העמודה והשורה אליה הוא שייך מהמטריצה שלנו. את ערך הדטרמיננטה הזו אנו כבר יודעים לחשב, מכיוון שזוהי דטרמיננטה מסדר $\!\, (n-1)\times (n-1)$. אנו בוחרים אם לחבר או לחסר את המכפלה על פי הזוגיות של סכום מספר השורה ומספר העמודה של האיבר - אם הסכום זוגי, אנו מחברים, ואם הוא אי זוגי, אנו מחסרים.

בדוגמה שלנו, מפיתוח על פי השורה הראשונה נקבל:

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix} + a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{vmatrix}$.

שיטה זו (כמו גם ההגדרה שניתנה לעיל) מצריכות כ- $\ n\cdot n!$ פעולות בשדה. אפשר לחשב את הדטרמיננטה בכ- $n^3$ פעולות באמצעות שיטת הדירוג של גאוס.

תכונות הדטרמיננטה

לדטרמיננטה מספר תכונות אלגבריות חשובות:

• החלפת מקומן של שתי שורות (או עמודות) במטריצה משנה את סימן הדטרמיננטה אך לא את גודלה: אם $\!\, A'$ התקבלה מהמטריצה $\!\, A$ על ידי החלפת שתי שורות, אז $\!\, |A'|=-|A|$.
• הוספה של כפולה בסקלר של שורה (עמודה) אחת לשורה (עמודה) אחרת אינה משנה את ערך הדטרמיננטה של המטריצה המתקבלת. זוהי תכונה חשובה מאוד, שמקלה לעתים קרובות על חישוב ערכה של דטרמיננטה.
• הכפלה של שורה (או עמודה) במטריצה בסקלר מכפילה את ערך הדטרמיננטה של המטריצה באותו סקלר: אם $\!\, A'$ התקבלה מהמטריצה $\!\, A$ על ידי הכפלת שורה כלשהי בסקלר $\!\, \lambda$, אז $\!\, |A'|=\lambda|A|$.
• מהתכונה האחרונה מתקבלת תכונה כללית יותר: אם $\!\, A$ היא מטריצה מסדר $\!\, n\times n$, אז $\!\, |\lambda A|=\lambda^n|A|$.
• הדטרמיננטה של מטריצה שווה לדטרמיננטה של המטריצה המשוחלפת שלה: $\!\, |A|=|A^T|$.
• הדטרמיננטה של מטריצה שיש בה שורה או טור של אפסים היא 0. קל לראות מדוע תכונה זו נכונה - פשוט מפתחים את הדטרמיננטה על פי אותה שורה או עמודה.
• הדטרמיננטה של המטריצה שונה מאפס אם ורק אם זוהי מטריצה רגולרית (כלומר הפיכה).
• טרנספורמציה לינארית $\ A$ שפועלת על מרחב וקטורי מממד $\ n$, פועלת באופן טבעי גם על מכפלות הוודג' של המרחב עם עצמו. הפעולה של הטרנספורמציה על חזקת הוודג' ה-n-ית, שהיא מרחב וקטורי מממד 1, היא כפל בסקלר שהוא הדטרמיננטה.
• באמצעות דטרמיננטה של מטריצה 3 על 3 אפשר לרשום ביטוי שקל לזכור ומקל לחשב את המכפלה הווקטורית ב-$\mathbb{R}^3$ באופן הבא:

  $\vec A\times\vec B= \begin{vmatrix} \hat x & \hat y & \hat z \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \\ \end{vmatrix} =(A_yB_z-A_zB_y)\hat x+(A_zB_x-A_xB_z)\hat y+(A_xB_y-A_yB_x)\hat z$

חישוב מעשי של דטרמיננטה

באופן מעשי כדי לחשב דטרמיננטה של מטריצה ריבועית $\ n \times n$ עבור $n > 3$ לא משתמשים ישירות בהגדרה וגם לא בנוסחה הרקורסיבית (פיתוח לפי מינורים). תחת זאת, מדרגים את המטריצה עד שמגיעים למטריצה משולשית, ועבור מטריצה משולשית הדטרמיננטה שווה למכפלת איברי האלכסון הראשי של המטריצה.

כדי לקבל את הדטרמיננטה של המטריצה המקורית, יש לעקוב אחרי פעולות הדירוג שביצענו, ולתקן את ערך הדטרמיננטה בהתאם:

• על פעולה של החלפת שורות, לכפול את הדטרמיננטה במינוס אחד.
• על פעולה של הכפלת שורה בסקלר, הדטרמיננטה מוכפלת באותו סקלר.
• על פעולה של הוספת שורה מוכפלת בסקלר, לשורה אחרת, ערך הדטרמיננטה לא משתנה.

ראו גם

• מכפלה מעורבת
• מכפלה וקטורית
• פרמננטה

קישורים חיצוניים

• היסטוריה של מטריצות ודטרמיננטות
• אורן שריקי, דטרמיננטות
• סרטונים המדגימים חישוב דטרמיננטה : פיתוח דטרמיננטה לפי שורה ראשונה & פיתוח דטרמיננטה לפי חוק sarrus

נושאים באלגברה לינארית

מרחב וקטורי • תלות לינארית • צירוף לינארי • קבוצה פורשת • בסיס • קואורדינטות • מרחב מכפלה פנימית • מטריצה • כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצה משולשית • העתקה לינארית • טרנספורמציה נורמלית • משוואה לינארית • מערכת משוואות לינאריות • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן • אורתוגונליות • תבנית בילינארית • מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית • אופרטור הרמיטי • יוניטריות • חפיפת מטריצות • טנזור • שדה