נוסחת סטירלינג

עבור $\ x$ גדול, $\ \ln( x!)$ מתקרב ל $\ x\ln(x)-x$

נוסחת סטירלינג היא קירוב מתמטי לערך של $\ n!$ (במילים: $\,n$ עצרת) עבור ערכים גדולים של $\ n$.

אחת הצורות המקובלות לנוסחה היא:

$\ n! \approx \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}$

זוהי נוסחה אסימפטוטית, והמשמעות המתמטית המדויקת היא שבגבול $\ n\to\infty$ היחס שואף לאחד:

$\lim_{n \rightarrow \infty} {n!\over \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n} } = 1$

משפט סטירלינג

משפט סטירלינג נותן הערכה לפונקציית גמא המהווה הרחבה של פונקציית העצרת: $\ \Gamma(n+1)=n!$.

משפט: קיימת פונקציה ממשית $\eta:(0,\infty)\to \mathbb {R}$ המקיימת: $\Gamma(x)=\sqrt{2\pi}\,x^{x-1/2}e^{-x} e^{\eta(x)} \qquad 0<\eta(x)<\frac{1}{12x}$

עבור $\ n$-ים גדולים $e^{\eta(n)} \approx 1$ ולכן $\Gamma(n)=(n-1)! \approx \sqrt{2\pi}n^{n-1/2}e^{-n}$. כפל של שני האגפים ב-$\ n$ ייתן את הנוסחה ל-$\ n!$.

ניסוח מקורב נוסף הוא:

$\ln(n!) \approx n\ln(n)-n$

פיתוח הנוסחה מתבסס על פיתוח אסימפטוטי לטור של האינטגרל המגדיר את פונקציית גמא והפיכתו לאינטגרל של גאוסיאן כפול תיקונים מסדרים שונים.

הנוסחה קרויה על שם המתמטיקאי הסקוטי, ג'יימס סטירלינג.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.