נוסחת סטירלינג

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
עבור \ x גדול, \ \ln( x!) מתקרב ל \ x\ln(x)-x

נוסחת סטירלינג היא קירוב מתמטי לערך של \ n! (במילים: \,n עצרת) עבור ערכים גדולים של \ n.

אחת הצורות המקובלות לנוסחה היא:

\ n! \approx \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}

זוהי נוסחה אסימפטוטית, והמשמעות המתמטית המדויקת היא שבגבול \ n\to\infty היחס שואף לאחד:

\lim_{n \rightarrow \infty} {n!\over \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n} } = 1

משפט סטירלינג[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט סטירלינג נותן הערכה לפונקציית גמא המהווה הרחבה של פונקציית העצרת: \ \Gamma(n+1)=n!.

משפט: קיימת פונקציה ממשית \eta:(0,\infty)\to \mathbb {R} המקיימת: \Gamma(x)=\sqrt{2\pi}\,x^{x-1/2}e^{-x} e^{\eta(x)} \qquad 0<\eta(x)<\frac{1}{12x}

עבור \ n-ים גדולים e^{\eta(n)} \approx 1 ולכן \Gamma(n)=(n-1)! \approx \sqrt{2\pi}n^{n-1/2}e^{-n} . כפל של שני האגפים ב-\ n ייתן את הנוסחה ל-\ n!.

ניסוח מקורב נוסף הוא:

\ln(n!) \approx n\ln(n)-n

פיתוח הנוסחה מתבסס על פיתוח אסימפטוטי לטור של האינטגרל המגדיר את פונקציית גמא והפיכתו לאינטגרל של גאוסיאן כפול תיקונים מסדרים שונים.

הנוסחה קרויה על שם המתמטיקאי הסקוטי, ג'יימס סטירלינג.

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.