לוגריתם

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

לוגריתמים בבסיסים שונים : אדום הוא בבסיס e, צהוב בבסיס 2, כחול בבסיס 1/2. לוגריתמים בכל הבסיסים עוברים דרך הנקודה (1,0), שכן כל מספר בחזקת 0 הוא 1.

במתמטיקה, לוגריתם (Logarithm) הוא פונקציה הפוכה לפונקציה המעריכית. הפונקציה מסומנת באותיות \ \log.

הלוגריתם של x בבסיס נתון \ b (הגדול מאפס ושונה מ-1 ובהתאם x חיובי), הוא החזקה שבה יש להעלות את \ b כדי לקבל את \ x.
אם \ b>0 ו־\ x=b^{y}, נאמר ש־\ y הוא לוגריתם של \ x לפי בסיס \ b, ונכתוב זאת: \ \log _b x=y.

דוגמה: \ \log _{10} 100=2, משום ש- \ 100=10^2.
ובמילים: הלוגריתם של \ 100 לפי בסיס \ 10 הוא \ 2, משום ש־\ 10 בחזקת \ 2 שווה ל־\ 100.

בסיס ברירת המחדל:

שימוש בסימון \ \log ללא ציון הבסיס עלול לבלבל מעט, משום שמשמעותו משתנה לפי ההקשר:

רקע היסטורי[עריכת קוד מקור | עריכה]

הלוגריתמים הוכנסו לשימוש בתחילת המאה ה-17 על-ידי ג'ון נפייר. עד להחלפתם על-ידי המחשב והמחשבון, בחצי השני של המאה ה-20, היו הלוגריתמים כלי עזר עיקרי לחישוב, באמצעות לוח לוגריתמים ובאמצעות סרגל חישוב. הרעיון הבסיסי מאחורי שני עזרי חישוב אלה הוא הכלל לפיו לוגריתם של מכפלה שווה לסכום הלוגריתמים של כל אחד מאיברי המכפלה. כלל זה מאפשר להחליף פעולת כפל, שהיא פעולה מורכבת יחסית, בפעולת החיבור הפשוטה יותר. בכלים אלה נעשה שימוש בלוגריתמים לפי בסיס \ 10.

חוקי הלוגריתמים[עריכת קוד מקור | עריכה]

החוקים המפורטים להלן נכונים לכל \ a, b, c ממשיים חיוביים, ובתנאי שבסיס הלוגריתמים שונה מ־1.

ערכים מיוחדים

\ \log _a (1)=0

\ \log _a (a)=1

כפל, חילוק והעלאה בחזקה

חוקים אלו יכולים להקל על חישובי כפל, חילוק, חזקה ושורש, באמצעות לוח לוגריתמים או סרגל חישוב.

\ \log _c (a\cdot b) = \log _c (a) + \log _c (b)

\ \log _c \left(\frac{a}{b}\right) = \log _c (a) - \log _c (b)

\ {\log_a b}\cdot{\log_c d}={\log_c b}\cdot{\log_a d}

לכל \ r ממשי:

\ \log _c (a^r) = r\cdot \log _c (a)

הלוגריתם והפונקציה המעריכית

חוקים אלו שימושיים לפתרון משוואות בהן הנעלם הוא מעריך של חזקה.

\ x^{\log_a b}=b^{\log_a x}

\ a^{\log_a b}=b

לכל \ r ממשי:

\ \log_a a^r=r

שינוי בסיס הלוגריתם

חוק זה שימושי להמרת לוגריתמים במחשבונים.
לרוב המחשבונים יש לחצנים לחישוב לוגריתם טבעי (ln) ולוגריתם בבסיס 10 (\ \log_{10}), אבל לא לבסיס 2 (\ \log_{2}). כדי לחשב את \ \log_{2} 100, מחשבים \ \frac{\log_{10} 100}{\log_{10} 2} או \ \frac{\ln{100}}{\ln{2}}, שנותן תוצאה זהה).

\ \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}

\ \log_a b=\frac{1}{\log_b a}

גבולות

כאשר a > 1:

\ \lim_{x\to0} \log_a (x) = -\infty

כאשר a < 1:

\ \lim_{x\to0} \log_a (x) = \infty

כאשר a > 1:

\ \lim_{x\to\infty} \log_a (x) = \infty

כאשר a < 1:

\ \lim_{x\to\infty} \log_a (x) = -\infty

\ \lim_{x\to0} \log_a (x) \cdot x^b = 0

\ \lim_{x\to\infty} \log_a (x) / x^b = 0

נגזרת

\ {d \over dx} \log_a (x) = {1 \over x \ln(a)} = {1 \over x} \cdot \log_a e

אינטגרל

\ \int \log_a (x)\, dx = x \log_a (x) - \frac{x}{\ln(a)} + C



ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]