סגור אלגברי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה, הסגור האלגברי (algebraic closure) של שדה F הוא השדה הקטן ביותר המכיל את F, שהוא סגור אלגברית. את הסגור האלגברי אפשר לבנות על ידי שילוב של כל ההרחבות ממימד סופי של השדה המקורי. כדי לשלב בין השדות השונים כראוי, יש להפעיל את הלמה של צורן.

לכל שדה יש סגור אלגברי, שהוא יחיד עד כדי איזומורפיזם. לכן אפשר לדבר על 'הסגור האלגברי', בהא הידיעה. הסגור האלגברי שווה לשדה עצמו רק כאשר השדה כבר סגור אלגברית. כל שדה סגור אלגברית המכיל את F, מכיל גם את הסגור האלגברי של F. כאשר F שדה אינסופי הסגור האלגברי של שדה F הוא בעל אותה עוצמה כמו של F. לדוגמה, הסגור האלגברי של שדה המספרים הרציונליים הוא שדה המספרים האלגבריים, והסגור האלגברי של שדה המספרים הממשיים הוא שדה המספרים המרוכבים. לפי משפט של ארטין ו- Schreier מ- 1927, הממד של הסגור האלגברי מעל השדה הוא 1, 2, או אינסוף.

בנוסף לבניה המופשטת של סגור אלגברי, היוצאת משדה נתון ומחזירה הרחבה שלו, אפשר להתבונן גם בסגור האלגברי היחסי. אם \ F \subseteq K שני שדות, אז הסגור האלגברי של \ F ב- \ K (או - הסגור האלגברי היחסי) הוא אוסף האברים של K שהם אלגבריים מעל F.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]