שדה (מבנה אלגברי)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, שדה הוא מבנה אלגברי חשוב. הדוגמאות המוכרות ביותר של שדות הם שדה המספרים הרציונליים, שדה המספרים הממשיים ושדה המספרים המרוכבים. לשדות סופיים תפקיד חשוב בקומבינטוריקה, תורת הקודים והצפנה.

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

שדה הוא מבנה אלגברי שבו אפשר לבצע את ארבע פעולות החשבון המוכרות. את ההגדרה הכללית של המושג הציע היינריך מרטין ובר ב-1893, בעקבות ריכרד דדקינד שב-1877 קרא "שדה" לקבוצה של מספרים (מרוכבים) הסגורה לארבע הפעולות. ברעיון הבסיסי של הרחבת שדות (נוצרת סופית) השתמש גלואה כבר ב-1831.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

שדה הוא מבנה אלגברי הכולל קבוצה \ F עם שתי פעולות בינאריות, להן אפשר לקרוא "חיבור" ו"כפל" (המסומנות בדרך כלל ב- + ו-\cdot) ושני קבועים (שונים) - 0 ו- 1, המקיימות את התכונות הבאות:

מאקסיומות אלה נובעות כמה תכונות בסיסיות, כדוגמת יחידות של האברים הנייטרליים (כלומר, התכונה '\ a+x=a לכל a' מייחדת את איבר האפס, וכן לאיבר היחידה), יחידות הנגדי וההפכי והעובדה שמכפלת כל איבר ב-0 שווה ל-0.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

לצד החבורה, השדה הוא מן המבנים האלגבריים המרכזיים במתמטיקה. הסיבה לכך היא העושר בדוגמאות, המופיעות בכל תחומי המתמטיקה: ישנם שדות של מספרים כגון שדה המספרים הרציונליים ושדה המספרים הממשיים; שדות אלגבריים הם המצע השכיח לדיון בתורת המספרים האלגברית; לשדות סופיים יש חשיבות מכרעת בכל תחומי הקומבינטוריקה; שדות של פונקציות מופיעים בגאומטריה אלגברית ובאנליזה.

באלגברה שדות תופסים מקום מיוחד. הם קשורים קשר הדוק לפולינומים והשורשים שלהם (וזו הסיבה המקורית לפיתוחה של תורת גלואה). אלגברה לינארית עוסקת בהרחבה במרחב וקטורי מעל שדה. בתורת החוגים שדות מופיעים באופן טבעי, משום שחוג פשוט קומוטטיבי הוא שדה; כל שדה הוא תחום שלמות. יתרה מזו, המרכז של כל חוג פשוט הוא שדה.

השדות המופיעים באנליזה מאופיינים בתכונות נוספות, כגון סדר ושלמות. הדוגמאות היסודיות בתחום זה הן שדה המספרים הממשיים ושדה המספרים המרוכבים.

ישנם כמה שדות שזכו לסימון מיוחד:

תת-שדות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תת-קבוצה של שדה F נקראת תת שדה אם היא שדה בזכות עצמה, כאשר מצמצמים אליה את פעולות החיבור והכפל. במלים אחרות, קבוצה כזו צריכה להכיל את אברי האפס והיחידה של F, ולהיות סגורה לחיבור, לכפל וגם לפעולות של לקיחת הנגדי או ההפכי.

אם P הוא תת-שדה של F, אז F הוא מרחב וקטורי מעל P, ולכן יש לו ממד. כאשר הממד הזה סופי, F מוכרח להיות אלגברי מעל P. במקרה זה, כדי שתת-קבוצה F המכילה את P וסגורה לחיבור וחיסור תהיה תת-שדה, מספיק שהיא סגורה לכפל.

לכל שדה יש תת-שדה ראשוני, שהוא השדה הקטן ביותר המכיל את איבר היחידה. השדה הזה יכול להיות שדה סופי בעל גודל ראשוני, או להכיל את כל המספרים השלמים, שאז הוא בהכרח מכיל את הרציונליים. במקרה הראשון המאפיין של השדה הוא גודל השדה הראשוני, ובשני אומרים שהמאפיין הוא אפס.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]


מושגי יסוד באלגברה מופשטת

מונואידחבורהחוגתחום שלמותשדהמודולאלגברה (מבנה אלגברי)תורת החבורותתורת גלואהאלגברת ליהומומורפיזםמשפטי האיזומורפיזםתת חבורה נורמליתאידאללוקליזציההצגה לינארית