הלמה של צורן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הלמה של צורן (Zorn's lemma) במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקבוצות, היא משפט שימושי העוסק בתכונה של קבוצות סדורות חלקית. בין היתר, חשיבותו של המשפט באה לידי ביטוי בכך שהוא שקול לאקסיומת הבחירה, ומשתמשים בו לרוב על מנת להראות קיום של דבר מה בלי להראות דרך מפורשת לבנות אותו. המשפט משמש, בין היתר, להוכיח שלכל מרחב וקטורי יש בסיס, שלכל חוג יש אידאל מקסימלי, שלכל שדה יש סגור אלגברי, וכן להוכחת משפט טיכונוף בטופולוגיה, להוכחת גרסה אינסופית של משפט החתונה בקומבינטוריקה, ושימושים רבים נוספים.

המשפט קרוי על שם המתמטיקאי מקס צורן, איש אלגברה שעשה שימוש בלמה לצורך הוכחת הטענות שהוזכרו לעיל, אולם המתמטיקאי פליקס האוסדורף הבין ראשון שמדובר למעשה באקסיומת הבחירה.

ניסוח[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא \!\, (A,\le) קבוצה סדורה חלקית לא ריקה. אם לכל שרשרת בתוכה (קבוצה חלקית ל-A שהצמצום של \ \le אליה הוא יחס סדר לינארי) קיים חסם מלעיל ב-A, אז ב-A יש איבר מקסימלי.

הוכחת המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

לפי עקרון המקסימום של האוסדורף (השקול לאקסיומת הבחירה) קיימת ב-A שרשרת מקסימלית C. יהי a חסם מלעיל של C. נוכיח כי a מקסימלי ב-A: נניח בשלילה ש-a איננו מקסימלי. לכן, קיים \ b \in A כך ש-\ a<b . מהיותו של a חסם מלעיל של C אנו מקבלים כי לכל \ c \in C מתקיים \ c \le a . מכאן, לכל \ c \in C מתקיים \ c<b ולכן \  b \not\in C . נתבונן בקבוצה \ C \cup \left\{ b \right\} . הקבוצה הנ"ל מהווה שרשרת ומאחר ו-\  b \not\in C אז אנו מקבלים ש-\ C \subset C \cup \left\{ b \right\} , כלומר שיש שרשרת גדולה מ-C וזאת בסתירה לכך ש-C היא שרשרת מקסימלית ב-A.

דוגמה לשימוש בלמה של צורן[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוכיח לדוגמה, תוך שימוש בלמה של צורן כי בכל חוג עם יחידה קיים אידאל מקסימלי. יהי R חוג עם יחידה, ותהי P קבוצת כל האידאלים האמיתיים בR (כלומר, האידאלים שאינם שווים לחוג R עצמו), סדורה על ידי יחס ההכלה. P אינה ריקה שכן אידאל האפס שייך לP.

תהי C שרשרת ב-P. האיחוד U של כל האידאלים בשרשרת הוא אידאל (הוא סגור לכפל באיבר r של החוג משום שכל איבר x בתוכו שייך לאידאל בשרשרת, המכיל גם את המכפלות rx ו-xr, וסגור לחיבור משום שאם x,y באיחוד אז יש אידאלים \ S,T\in C כך ש-\ x\in S ו-\ y\in T; אבל C שרשרת ולכן אפשר להניח ש-\ S\subseteq T, ואז \ x+y \in T מכיוון ש-T סגור לחיבור). כעת מבצע איבר היחידה את תפקידו החיוני בהוכחה: הוא אינו שייך לאף אידאל בשרשרת (משום שכולם אידאלים אמיתיים), ולכן גם אינו שייך ל-U -- מכאן שגם U אידאל אמיתי.

לפי הלמה של צורן, יש ב-P איבר מקסימלי, שהוא אידאל מקסימלי של החוג. הוכחה זו אינה עובדת בחוגים ללא יחידה, ואכן ישנם חוגים כאלה ללא אידאל מקסימלי (לדוגמה, בחוג הפולינומים השבריים \ R_0 = \sum_{\alpha>0} F x^{\alpha} אין אידאל מקסימלי; \ R_0 עצמו הוא האידאל המקסימלי היחיד של אותו חוג בתוספת יחידה, \ \sum_{\alpha \geq 0}F x^{\alpha}).

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]


נושאים בתורת הקבוצות

תורת הקבוצות הנאיביתתורת הקבוצות האקסיומטיתקבוצהיחידוןהקבוצה הריקהאיחודחיתוךמשליםהפרש סימטריקבוצת החזקהמכפלה קרטזיתיחסיחס שקילותפונקציהעוצמהקבוצה בת מנייההאלכסון של קנטורמשפט קנטור שרדר ברנשטייןהשערת הרצףהפרדוקס של ראסלסדר חלקימספר סודרהלמה של צורןאקסיומת הבחירה