עצרת

ערך זה עוסק בפונקציה מתמטית. אם התכוונתם לחג השבועות, ראו שבועות; אם התכוונתם לצורת מחאה, ראו הפגנה.

n	!n
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5,040
8	40,320
9	362,880
10	3,628,800

במתמטיקה, עֲצֶרֶת היא מכפלת כל המספרים הטבעיים מ- 1 ועד למספר נתון. למשל, "4 עצרת" היא המכפלה $\ 1\times 2 \times 3 \times 4 = 24$. בעקבות הצעתו של המתמטיקאי כריסטיאן קראמפ משנת 1808, מקובל לסמן את העצרת בסימן "!", כלומר, $\ n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n$. העצרת היא פעולה אונארית, היינו, פונקציה מן המספרים הטבעיים למספרים הטבעיים, שאותה אפשר להגדיר ברקורסיה לפי הנוסחה $\ n! = (n-1)! \cdot n$ ותנאי ההתחלה $\ 0!=1$.

משמעות קומבינטורית

העצרת מופיעה בקומבינטוריקה על כל צעד ושעל, משום ש- $\ n!$ הוא מספר התמורות של n איברים, כלומר, מספר הדרכים לסדר n איברים ב- n מקומות. העצרת מופיעה גם בפיתוח טיילור, משום שהנגזרת ה-$\ n$-ית של המונום $\ x^n$ שווה ל-$\ n!$.

העצרת מופיעה בספר יצירה הקדום (פרק רביעי), ובעקבותיו גם במקורות רבים אחרים במיסטיקה היהודית. תפקידה שם הוא לספור את המלים השונות שאפשר להרכיב מאותיות נתונות, תוך שימוש בכל האותיות וללא חזרה, והיא נקראת "בניה" - "שתי אבנים בונות שני בתים, שלוש אבנים בונות ששה בתים, ...". הספר מגיע עד לחישוב של 7 עצרת, ו"מכאן ואילך, צא וחשוב [וחשב], מה שאין העין יכולה לראות, ואין הפה יכולה לדבר, ואין האזן יכולה לשמוע".

הערך $\ 0!$

יש בדיוק דרך אחת לסדר 0 איברים (היינו, לא לשבץ אף איבר באף מקום), ולכן $\ 0! = 1$. תוצאה זו מתאימה למוסכמה לפיה ערכה של מכפלה ריקה הוא תמיד 1, וכן להגדרת העצרת באינדוקציה.

קירוב

עבור $\ n$ גדול, ניתן להשיג קירוב טוב לערך של $\ n!$ באמצעות נוסחת סטירלינג, שקובעת כי $n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$.

קצב הגידול

ערכיה של הפונקציה נוסקים במהירות רבה ביחס לפונקציות נפוצות אחרות (דוגמת פולינומים ואף פונקציות מעריכיות). נוסחת סטרלינג מראה שעבור n גדול מספיק, מתקיים $\ a^n < n! < n^n$ לכל a קבוע.

פונקציית גמא

פונקציית גמא היא פונקציה מרוכבת המהווה מעין הכללה של פונקציית העצרת למספרים שאינם בהכרח שלמים. הפונקציה מוגדרת על כל המישור המרוכב למעט הנקודות $\ 0,-1,-2,\cdots$, לפי האינטגרל $\ \Gamma (z+1) = \int_0^{\infty}{ e^{-t} t^z \ dt}$. באמצעות אינטגרציה בחלקים ניתן לראות שהיא מקיימת את הזהות $\ \Gamma (z+1) = z \cdot \Gamma (z)$. חישוב ישיר מראה ש- $\ \Gamma(1) = 1$, ולכן $\ n! = \Gamma (n+1)$ לכל n טבעי.

מימוש בתוכנה

במרבית שפות התכנות פונקציה לחישוב עצרת איננה חלק מהשפה, אך קל ליצור אחת כזו, בלולאה המבצעת את פעולות הכפל הנדרשות או כפונקציה רקורסיבית.

בכלי עזר לחישוב קיימת פונקציית עצרת. באקסל של מיקרוסופט, וכן בcalc של אופן אופיס, היא קרויה Fact, קיצור של המונח האנגלי Factorial. בתצוגה המדעית של המחשבון של מערכת ההפעלה Windows ובמערכת ההפעלה לינוקס מופיע כפתור לחישוב עצרת.

הגידול המהיר בערך התוצאה של פונקציית העצרת גורם לכך שבמסגרת המגבלות של החומרה והתוכנה מוגבל חישוב $\ n!$ לערכי $\ n$ קטנים יחסית. התוצאה הגדולה ביותר שניתן לרשום במילה של 32 סיביות היא $\ 12!$, ובמילה של 64 סיביות - $\ 20!$. באקסל ניתן לחשב עד $\ 170!$, שהיא העצרת הגדולה ביותר שקטנה מ-2^1,024 (מספר בן 1,024 סיביות). ערכי עצרת גדולים מחושבים בדרך כלל באמצעות נוסחת סטירלינג, הנותנת קירוב של התוצאה. בתורת המספרים ובקומבינטוריקה נחוץ לעתים חישוב עצרת לערכים גדולים מאוד. לשם כך נדרשת כתיבה של פונקציה מיוחדת, ונוצר צורך בבחירת אלגוריתם יעיל, כדי לקבל תוצאות תוך זמן סביר.

ראו גם

• נוסחת לז'נדר
• מספר משולשי - האנלוג החיבורי של $n!$

קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
ערך מילוני בוויקימילון: עצרת

• מחשבון לחישוב עצרת
• תכונות של פונקציית העצרת