עקרון ההכלה וההפרדה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

עקרון ההכלה וההפרדה (או עקרון ההכלה וההדחה) הוא עקרון קומבינטורי שלפיו, כדי לספור עצמים בקבוצה, אפשר לכלול ולהוציא את אותו עצם שוב ושוב, כל עוד בסוף ההליך נספר כל עצם פעם אחת. עקרון פשוט זה מתורגם לנוסחה מעט מורכבת, שיש לה שימושים וגרסאות רבות בכל ענפי הקומבינטוריקה. המקרה הפשוט ביותר מתייחס לספירת עצמים המקיימים אחת משתי תכונות: מספר העצמים שהם גדולים או אדומים שווה למספר העצמים הגדולים ועוד מספר העצמים האדומים, פחות מספר העצמים שהם גם גדולים וגם אדומים; האחרונים נספרו בשלב הראשון פעמיים, ואז הוצאו מהחשבון על-מנת לאזן אותו כראוי. בכתיב מתמטי, \ |A\cup B| = |A|+|B|-|A\cap B|, כאשר A היא קבוצת העצמים האדומים ו-B היא קבוצת העצמים הגדולים.

במקרה הכללי, העקרון קובע שגודל האיחוד של כמה קבוצות שווה לסכום מתחלף: סכום הגדלים של כל הקבוצות, פחות סכום הגדלים של חיתוכים של שתי קבוצות, ועוד סכום הגדלים של חיתוכים של שלוש קבוצות, פחות סכום הגדלים של חיתוכים של ארבע קבוצות, וכן הלאה.

כוחו של עקרון ההכלה וההדחה בכך שהוא מאפשר להמיר בעיה קומבינטורית מסובכת הדורשת ניתוח של האינטרקציות בין כל הקבוצות בבת-אחת, בבעיות קלות יותר שבהן מספיק לספור את האברים השייכים לקבוצות מסוימות, בלי שיהיה צורך לבדוק את מעמדם של האברים האלה ביחס לשאר הקבוצות.

ניסוח העקרון[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהיינה \ A_1,\dots,A_n קבוצות סופיות. אז גודל האיחוד \ |A_1 \cup \cdots \cup A_n| שווה לסכום המתחלף \ \sum_i |A_i| - \sum_{i<j} |A_i \cap A_j| + \sum_{i<j<k} |A_i \cap A_j \cap A_k| \mp \cdots, כלומר: \ |\cup A_i| = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} \sum_{1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n}|A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k}|. אם מסכימים שחיתוך אפס קבוצות שווה למרחב כולו, אפשר לקבל נוסחה אלגנטית למספר האברים שמחוץ לאיחוד: \ |\Omega - \cup A_i| = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \sum_{1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n}|A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k}|.

במקרים רבים גודל החיתוך של כל k קבוצות הוא קבוע, ואז מתקבלת נוסחה פשוטה יותר, \ |\Omega - \cup A_i| = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \frac{n!}{k!(n-k)!}|A_1\cap \cdots \cap A_{k}|.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוסחת ההכלה וההדחה לגודל האיחוד של שלוש קבוצות היא \ |A\cup B \cup C| = |A|+|B|+|C| - |A\cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + | A \cap B \cap C|.

נראה כיצד ניתן לחשב את מספר התמורות על \ n איברים שבהן אף איבר אינו נשאר במקומו. כדי להפעיל את עקרון ההכלה וההדחה, נסמן ב-\ A_i את קבוצת התמורות שבהן האיבר ה-i דווקא נשאר במקומו. השאלה היא כמה תמורות נמצאות מחוץ לכל הקבוצות, ומכיוון שמספר התמורות הכללי הוא \ n!, די לספור כמה תמורות שייכות לקבוצה אחת לפחות; כלומר, לחשב את \ |A_1 \cup \cdots \cup A_n|. בחיתוך של k קבוצות נמצאות התמורות שמשאירות את k האיברים המתאימים במקומם, בלי קשר לשאלה מה הן עושות בשאר האיברים. לכן גודל החיתוך הוא \ |A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k}| = (n-k)!, וזאת לכל אחת מ- \ \frac{n!}{k!(n-k)!} הבחירות של האיברים השונים \ i_1<\cdots<i_k. לפי עקרון ההכלה וההדחה, \ n!-|A_1 \cup \cdots \cup A_n| = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}\frac{n!}{k!(n-k)!}|A_{1}\cap \cdots \cap A_{k}| = \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{n!}{k!} = n!\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}}{k!}. הסיכוי שתמורה אקראית תהיה שייכת לקבוצה הזאת הוא \ \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}, שהוא קירוב טוב מאד למספר \ e^{-1}.

הוכחת העקרון[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי להוכיח את השוויון \ |\Omega - \cup A_i| = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \sum_{1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n}|A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k}|, נבדוק כמה פעמים נספר איבר x בשני האגפים. אם x אינו שייך לאף קבוצה, אז הוא נספר פעם אחת באגף שמאל, ופעם אחת (במסגרת החיתוך הריק, עבור k=0) באגף ימין. אחרת, נניח שהוא שייך בדיוק ל-m קבוצות, ומטעמי סימטריה אפשר להניח שאלו הן הקבוצות \ A_1, \cdots,A_m; בפרט, x אינו שייך לקבוצות \ A_{m+1},\dots,A_n. במקרה כזה האיבר נספר באגף ימין בדיוק \ \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\sum_{1\leq i_1<\cdots<i_k\leq m}1 = \sum_{k=0}^{m}(-1)^{k}\frac{m!}{k!(m-k)!} = (1-1)^m = 0 פעמים לפי נוסחת הבינום של ניוטון, בדיוק כמו באגף שמאל.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]