סימטריה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Gnome-colors-edit-find-replace.svg יש לשכתב ערך זה. הסיבה לכך היא: ערך חלקי ומבולגן.
אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה.
Asymmetric (PSF).svg
Sphere symmetry group o.svg
האדם הויטרובי של לאונרדו דה וינצ'י מהווה המחשה לסימטרייה בגוף האדם
צורה דמוית פרקטל בעלת סימטרייה שיקופית, סימטרייה סיבובית וסימטרייה עצמית
קשתות סימטריות במסגד הגדול של קירואן (جامع القيروان الأكبر), המכונה גם מסגד עוקבה בן נאפע, תוניסיה.

סימטריה (מיוונית συμμετρεῖν למדוד ביחד) היא בעלת שתי משמעויות. הראשונה היא תחושה עמומה של הרמוניה ושיווי משקל. השנייה היא מושג מתמטי מדויק המתאפיין בדמיון עצמי וניתנת לו הגדרה במסגרת החוקים של מערכות פורמליות כגון גאומטריה ופיזיקה. מכיוון שיש קשר בין שתי המשמעויות הן נידונות יחד בערך זה.

סימטרייה מתמטית יכולה להימצא:

  • בתהליכים בהם קיימת סימטריה ביחס לזמן.
  • במצבים ומבנים בהם יש סימטרייה מרחבית.
  • בטרנספורמציות גאומטריות כסיבוב, שיקוף והזזה ועוד.
  • כהיבט מופשט של עצמים, מודלים תאורטיים, שפה, מוזיקה ואפילו ידע בעצמו.

ההיפך של סימטריה הוא אסימטריה.

בגאומטריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הסימטריה הידועה ביותר היא סימטריה גאומטרית. עצם גאומטרי נחשב סימטרי אם הפעלת טרנספורמציה לא משנה את אופיו. במקרה כזה אומרים כי העצם משתמר (אינוואריאנט) ביחס לטרנספורמציה. לדוגמה, מעגל שמופעלת עליו טרנספורמציית סיבוב סביב מרכזו יקבל את אותה צורה ומיקום כמעגל המקורי. לסימטריה כזו קוראים סימטריית סיבוב ולמעגל יש אם כן סימטרייה סיבובית. סוגי הסימטריות האפשריות לעצם גאומטרי תלויות בקבוצת הטרנספורמציות האפשריות וברשימת התכונות שצריכות להישמר כדי שיחשב שהעצם שמר על אופיו תחת הטרנספורמציה. מאחר והרכבת שתי טרנספורמציות היא טרנספורמציה בעצמה ולכל טרנספורמציה יש טרנספורמציה הופכית לה שמבטלת אותה, קבוצת הטרנספורמציות שמקיימות סימטריה בפעולתן על גוף מסוים, הן חבורה מתמטית. החבורה הנפוצה ביותר של טרנספורמציות היא חבורת האיזומטריות האוקלידית, ובפרט במישור גאומטרי ובמרחב אוקלידי - קבוצת הטרנספורמציות המשמרות מרחק. איזומטריות אלו מורכבות שלוש הטרנספורמציות הבסיסיות: שיקוף, סיבוב והזזה. לדוגמה, למגן דוד יש שישה צירי שיקוף שעבורם הוא סימטרי, וכן סימטריה סיבובית מסדר 6. סימטריה ביחס להזזה ניתן למצוא במבנים מחזוריים אינסופיים דוגמת סריגי בראבה או ריצוף מחזורי של שטח באריחים זהים.

תחת טרנספורמציה איזומטרית, עצם גאומטרי הוא סימטרי אם העצם שנוצר לאחר הפעלת הטרנספורמציה הוא קונגרואנטי לעצם המקורי. אובייקט גאומטרי בדרך כלל סימטרי רק תחת תת-חבורה של חבורת האיזומטריות.

סימטריית שיקוף[עריכת קוד מקור | עריכה]

שיקוף מסביב לציר a (באדום): הנקודה P עוברת ל-P' כך שהמרחק שלהן מהישר, d, שווה. המשולש ABC עובר ל-'A'B'C כך שסדר הקודקודים משתנה.
משולש שווה-שוקיים בעל סימטריית מראה. הקו המקווקו הוא ציר הסימטריה. קיפול אחד הצדדים לאורך הציר יצור שני חצאים זהים.
ציור של פרפר בעל סימטריית מראה.
Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – שיקוף (מתמטיקה)

שיקוף של מישור ביחס לישר הוא העתקה שמעבירה כל נקודה לנקודה הנמצאת במרחק שווה מהישר, כך שהקו המחבר ביניהן מאונך לישר (כלומר הישר הוא אנך אמצעי שלו). את הישר מכנים ציר הסימטריה. הנקודות שעל הישר עצמו נשארות במקומן. זוהי הפעולה המתקבלת כאשר מתבוננים במישור דרך מראה המוצבת על הישר הקבוע. לדוגמה, שיקוף ביחס למראה מאונכת יעביר את האות גימל לאות זיןכתב יד), וישאיר ללא שינוי את האותיות שין או חית. שיקוף היא העתקה שומרת מרחקים.

השיקוף מתאפיין בכך שהוא העתקה שומרת מרחקים מסדר 2, כלומר, הפעלת השיקוף פעמיים, ביחס לאותו ישר, מחזירה את המרחב לקדמותו. בדומה לזה, הפעלה של שני שיקופים ביחס לישרים מקבילים מהווה הזזה בכיוון המאונך לישרים ובאורך הכפול מהמרחק ביניהם, ואילו הפעלה של שני שיקופים ביחס לישרים נחתכים הוא סיבוב של המישור ביחס לנקודת החיתוך שלהם ובזווית כפולה מהזווית ביניהם. כל איזומטריה של המישור ניתנת להגדרה כהרכבה של עד שלושה שיקופים.

בניגוד לסיבוב והזזה, השיקוף היא פעולה הופכת אוריינטציה, כלומר את כיוון העצמים. לדוגמה, אם נתון משולש שסדר קודקודיו הם ABC בכיוון השעון, אז הוא יעבור למשולש 'A'B'C שסדר קודקודיו נגד כיוון השעון.

בפילוסופיה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בדיאלוג טימאוס משווה אפלטון את חמשת הפאונים האפלטוניים לארבעת היסודות וליקום. בהתאמה זו, היקום מתאים לתריסרון, שהוא הקרוב ביותר בצורתו לכדור, שהוא "המושלמת בין הצורות והדומה ביותר לעצמה". כל הפאונים האפלטוניים סימטריים, אבל הכדור נחשב בעיני אפלטון ליותר סימטרי מהם, משום שיש אינסוף דרכים להעתיק אותו אל עצמו.

החזית המערבית של קתדרלת נוטרדאם דה ריימס, צרפת, המחוננת בסימטריית שיקוף ימין-שמאל בעיצובה הכולל (אך לא בפרטים הפיסוליים).

סימטריה היא מושג מרכזי בענף הפילוסופי אסתטיקה. אריסטו גרס כי "צורות היופי העיקריות הן סדר, סימטריה ומוגדרות, הבאים לידי ביטוי במיוחד במדעי המתמטיקה" (אריסטו, מטאפיזיקה). סימטריה לרוב נתפסת כדוגמה לאסתטיקה וליופי, ולכן בניינים, קומפוזיציות, פסלים וגנים לרוב נעשים בצורה סימטרית. באדריכלות של העת העתיקה וימי הביניים הייתה שאיפה לבנות מבנים סימטריים, כאשר הסימטריה העיקרית היא סימטריית שיקוף ימין-שמאל. יש חוקרים הטוענים שהסימטריה בכנסיות ימי הביניים הייתה רק מקורבת ובכוונה נשתלו בה פגמים קטנים כדי להעביר מסר שרק אלוהים הוא מושלם.

אף על פי כן, האמנות המודרנית דווקא אינה דוגלת בסימטריה. כך, למשל, לה קורבוזיה, מהאדריכלים הנודעים של המאה ה-20, טען כי "הסימטריה הינה ההרמוניה של העניים"[דרושה הבהרה].

בכימיה[עריכת קוד מקור | עריכה]

פעולת סימטריה, המשאירה מולקולה ללא שינוי, כלומר, באוריינטציה זהה למקורית, נקראת פעולת זיהוי. (המושג אוריינטציה זהה אינו זהה למושג אוריינטציה שקולה). כאשר מסובבים את ציר C2 פעם אחת, אז מתקבלת אוריינטציה שקולה, ורק הסיבוב השני ייתן אוריינטציה זהה. ציר C3 בסיבוב של °120 סביב ציר יתן לנו אוריינטציה שקולה למקורית, כך גם סיבוב ב- °240, ורק הסיבוב השלישי סביב ציר המולקולה תוביל לזהות. פעולת הזיהוי מסמנים ב-I. אי פעולה אף היא זהות: אם אין משנים את מצבה של מולקולה, הרי ברור שהוא נשאר כפי שהיה. אפשר לסובב מולקולות במגמת השעון ונגד מגמת השעון. למשל, פעולות C3 במגמת השעון ונגד מגמת השעון נותנות אוריינטציות שקולות, אך לא זהות.

סימטריה בפיזיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בפיזיקה המודרנית נעשה שימוש רב בסימטריות. כאשר קיימת סימטריה מסוימת למערכת פיזיקלית ניתן ללמוד מכך רבות על התכונות של אותה המערכת. הדוגמה החשובה ביותר לכך הינה משפט נתר לפיו כל סימטריה גוררת חוק שימור בקואורדינאטה הצמודה. לדוגמה, סימטריה של חוקי הפיזיקה בזמן גוררת את חוק שימור האנרגיה.

הסימטריה המרחבית היא כלי מאוד חשוב בקריסטלוגרפיה, בה מטפלים לרוב בגבישים בעלי מבנה מחזורי (חתיכות גדולות של סריגי בראבה או סריג בראבה עם בסיס).

נושא הסימטריות התגלה כחשוב ביותר גם בפיזיקה של חלקיקים אלמנטריים, כאשר יובל נאמן ומארי גל-מן גילו שאם מסדרים קבוצה מסוימת של חלקיקים לפי התכונות שלהם מקבלים מבנה של חבורה. יש קשר בין הסימטריות של חבורה זו למבנה המרחב-זמן. במסגרת תורת המיתרים נידון גם הנושא של סימטריית-על.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]