איחוד (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת הקבוצות ובענפים אחרים במתמטיקה, האיחוד של אוסף של קבוצות הוא קבוצה המכילה את כל מה שהיה שייך לקבוצות אלה, ושום דבר אחר.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

דיאגרמת ון של האיחוד של A ו-B

אם \ A ו-\ B הן קבוצות, אז האיחוד של \ A ו-\ B הוא קבוצה המכילה את כל האיברים של \ A ואת כל האיברים של \ B, בלי איברים אחרים. האיחוד של \ A ו-\ B נכתב בדרך כלל כך: \ A\cup B.

מבחינה פורמלית:

\ x\isin A\cup B (\ x הוא איבר ב-\ A\cup B) אם ורק אם \ x\isin A או \ x\isin B.

נשים לב כי במקרה זה מדובר על "או" לוגי, כלומר \ x יכול להיות גם בשתי הקבוצות ואז יהיה באיחוד. פעולה שמחזירה קבוצה שמכילה איברים השייכים לאחת משתי הקבוצות אך לא לשתיהן יחד נקראת הפרש סימטרי.

אם לשתי הקבוצות אין איברים משותפים, הן מכונות קבוצות זרות, ואיחודן מכונה איחוד זר.
הערה: איחוד זר נהוג לסמן על ידי רשימת + או נקודה בתוך ה ⋃ של האיחוד (למשל \uplus).

באופן דומה ניתן להגדיר איחוד עבור משפחה כלשהי, גם אינסופית, של קבוצות. נניח כי \ \left\{A_i\right\}_{i\isin\Lambda} היא משפחה של קבוצות (כלומר, קבוצה של קבוצות שכל אחת מזוהה על ידי אינדקס \ i השייך לקבוצת אינדקסים \ \Lambda), אז האיחוד שלהן יסומן \ \bigcup_{i\isin\Lambda} A_i ומתקיים \ x\isin  \bigcup_{i\isin\Lambda} A_i אם ורק אם קיים \ k\isin\Lambda כלשהו כך ש- \ x\isin A_k.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אם \ A=\left\{1,2,3,4\right\},B=\left\{4,5,r,t\right\} אז \ A\cup B=\left\{1,2,3,4,5,r,t\right\}.
  • אם \ B\subseteq A (B הוא קבוצה חלקית של A) אז \ A\cup B=A.
  • אם \ B=\emptyset (קבוצה ריקה) אז לכל \ A מתקיים \ A\cup B=A. (זהו מקרה פרטי של המקרה הקודם).
  • אם \ A=\left\{1,2\right\}, B=\left\{1,\left\{2\right\}\right\} אז \ A\cup B=\left\{1,2,\left\{2\right\}\right\}.
  • אם \ A_n=\left\{1,2,\dots,n\right\} אז \ \bigcup_{n\isin\mathbb{N}} A_n=\mathbb{N}.
  • בדוגמאות הבאות נשתמש גם בפעולת החיתוך:
    • בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות \ A_n , אז הקבוצה \ \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k\ge n} A_n היא קבוצת כל האיברים שמופיעים בכל הקבוצות החל מאינדקס \ n כלשהו.
    • בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות \ A_n , אז הקבוצה \ \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k\ge n} A_n היא קבוצת כל האיברים שמופיעים במספר אינסופי של קבוצות.
(שתי הקבוצות הללו מכונות בהתאמה הגבול התחתון והגבול העליון של סדרת הקבוצות \ A_n)

תכונות אלגבריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

איחוד הוא פעולה אסוציאטיביות (קיבוצית); כלומר \left( A\cup B\right) \cup C  =  A\cup \left(B\cup C\right). בשל כך הביטוי \ A\cup B \cup C מוגדר היטב (כלומר, אין חשיבות לשאלה מהו הסדר בו מתבצעים האיחודים) ושווה לשתי הקבוצות הנ"ל, ולכן אין צורך בסוגריים אף-פעם כאשר כותבים רק איחודים בין קבוצות.

באופן דומה, איחוד הוא גם קומוטטיבי (חילופי), וניתן לכתוב את הקבוצות באיחודים בכל סדר שנרצה.

הקבוצה הריקה היא איבר היחידה של פעולת האיחוד. ולכן ניתן לראות את הקבוצה הריקה כאיחוד של אפס קבוצות.

ביחד עם חיתוך והמשלים, הופך האיחוד כל קבוצת חזקה כלשהי להקבלה של אלגברה בוליאנית. לדוגמה, איחוד וחיתוך הם דיסטריבוטיביים אחד מעל השני, וכל שלוש הפעולות משולבות זו בזו בכללי דה מורגן.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]


נושאים בתורת הקבוצות

תורת הקבוצות הנאיביתתורת הקבוצות האקסיומטיתקבוצהיחידוןהקבוצה הריקהאיחודחיתוךמשליםהפרש סימטריקבוצת החזקהמכפלה קרטזיתיחסיחס שקילותפונקציהעוצמהקבוצה בת מנייההאלכסון של קנטורמשפט קנטור שרדר ברנשטייןהשערת הרצףהפרדוקס של ראסלסדר חלקימספר סודרהלמה של צורןאקסיומת הבחירה