פולינום ציקלוטומי

בתורת השדות, פולינום ציקלוטומי הוא פולינום מינימלי של שורש יחידה מעל שדה המספרים הרציונליים. לכל מספר שלם n מתאים פולינום ציקלוטומי יחיד, $\ \Phi_n$, שהוא פולינום מתוקן בעל מקדמים שלמים, והוא הפולינום המינימלי של כל השורשים הפרימיטיביים מסדר n. כלומר: $\Phi_n(X) = \prod_\omega (X-\omega)\,$, כאשר $\omega$ עובר על כל השורשים הפרימיטיביים מסדר n.

הפולינומים הציקלוטומים הראשונים הם: $\ \Phi_1(x) = x-1, \qquad \Phi_2(x) = x+1, \qquad \Phi_3(x) = x^2+x+1, \qquad \Phi_4(x) = x^2+1, \qquad \Phi_5(x) = x^4+x^3+x^2+x+1$. באופן כללי, אם p הוא מספר ראשוני, אז כל השורשים ה-p-ים של 1 הם פרמיטיביים, ו- $\ \Phi_p(x)=\frac{x^p-1}{x-1}=\sum_{k=0}^{p-1} x^k$

כל שורש n-י של 1 הוא שורש d פרימיטיבי של 1 עבור מחלק אחד בדיוק של n, ולכן, אם מכפילים את הפולינומים הציקלוטומיים, מתקבל $x^n - 1 = \prod_{d\,\mid\,n} \Phi_d(x)$. מכאן מתקבלת הנוסחה הרקורסיבית $\ \Phi_n(x) = \frac{x^n-1}{\prod_{d|n, d<n} \Phi_d(x)}$.

הפולינום הציקלוטומי הראשון שיש לו מקדם שאינו 0, 1 או 1- הוא $\ \Phi_{105}$ (זה נובע מכך ש-105 הוא המספר הקטן ביותר שהוא מכפלה של שלושה ראשוניים אי-זוגיים שונים); עם זאת, לכל k יש אינסוף ערכים של n שעבורם יש לפולינום הציקלוטומי ה-n-י מקדם הגדול בערכו המוחלט מ- $\ n^k$ ‏‏.

כאשר מרחיבים את $\ \mathbb{Q}$ בעזרת שורש היחידה הפרימיטיבי $\ \rho_n$, מתקבל השדה הציקלוטומי מסדר n, $\ \mathbb{Q}[\rho_n]$. השדה הזה מכיל את כל שורשי היחידה מסדר n, והוא שדה הפיצול של $\ \Phi_n(x)$ מעל $\ \mathbb{Q}$. הרחבת השדות $\ \mathbb{Q}[\rho_n]/\mathbb{Q}$ היא מדרגה $\ \phi(n)$, וחבורת גלואה שלה היא חבורת אוילר מסדר n.