פולינום ציקלוטומי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת השדות, פולינום ציקלוטומי הוא פולינום מינימלי של שורש יחידה מעל שדה המספרים הרציונליים. לכל מספר שלם n מתאים פולינום ציקלוטומי יחיד, \ \Phi_n, שהוא פולינום מתוקן בעל מקדמים שלמים, והוא הפולינום המינימלי של כל השורשים הפרימיטיביים מסדר n. כלומר: \Phi_n(X) = \prod_\omega (X-\omega)\,, כאשר \omega עובר על כל השורשים הפרימיטיביים מסדר n.

הפולינומים הציקלוטומים הראשונים הם: \ \Phi_1(x) = x-1, \qquad \Phi_2(x) = x+1, \qquad \Phi_3(x) = x^2+x+1, \qquad \Phi_4(x) = x^2+1, \qquad \Phi_5(x) = x^4+x^3+x^2+x+1. באופן כללי, אם p הוא מספר ראשוני, אז כל השורשים ה-p-ים של 1 הם פרמיטיביים, ו- \ \Phi_p(x)=\frac{x^p-1}{x-1}=\sum_{k=0}^{p-1} x^k

כל שורש n-י של 1 הוא שורש d פרימיטיבי של 1 עבור מחלק אחד בדיוק של n, ולכן, אם מכפילים את הפולינומים הציקלוטומיים, מתקבל x^n - 1 = \prod_{d\,\mid\,n} \Phi_d(x). מכאן מתקבלת הנוסחה הרקורסיבית \ \Phi_n(x) = \frac{x^n-1}{\prod_{d|n, d<n} \Phi_d(x)}.

הפולינום הציקלוטומי הראשון שיש לו מקדם שאינו 0, 1 או 1- הוא \ \Phi_{105} (זה נובע מכך ש-105 הוא המספר הקטן ביותר שהוא מכפלה של שלושה ראשוניים אי-זוגיים שונים); עם זאת, לכל k יש אינסוף ערכים של n שעבורם יש לפולינום הציקלוטומי ה-n-י מקדם הגדול בערכו המוחלט מ- \ n^k ‏‏[1].

כאשר מרחיבים את \ \mathbb{Q} בעזרת שורש היחידה הפרימיטיבי \ \rho_n, מתקבל השדה הציקלוטומי מסדר n, \ \mathbb{Q}[\rho_n]. השדה הזה מכיל את כל שורשי היחידה מסדר n, והוא שדה הפיצול של \ \Phi_n(x) מעל \ \mathbb{Q}. הרחבת השדות \ \mathbb{Q}[\rho_n]/\mathbb{Q} היא מדרגה \ \phi(n), וחבורת גלואה שלה היא חבורת אוילר מסדר n.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ ‏P. Borwein, Computational Excursions in Analysis and Number Theory, p. 52‏