חבורת גלואה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובפרט בתורת גלואה, חבורת גלואה של הרחבת שדות  \ E / F היא חבורת האוטומורפיזמים של השדה  \ E, המעבירים את איברי השדה  \ F לעצמם.

חבורה זו נקראת על שם אווריסט גלואה, אבי תורת החבורות.

לחבורה זו חשיבות גדולה באפיון ההרחבה  \ E / F, זאת בזכות המשפט היסודי של תורת גלואה המציג את הקשר בין שדות הביניים של ההרחבה, לבין תת החבורות של חבורת הגלואה של ההרחבה.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי \ F שדה, ותהי  \ E / F הרחבת שדות. חבורת הגלואה של ההרחבה  \ E / F המסומנת ב \ \operatorname{G} \left(E / F \right) , \operatorname{Aut} \left(E / F \right) או ב \ \operatorname{Gal} \left(E / F \right) מוגדרת להיות

 \ \operatorname{G} \left(E / F \right) =   \{\sigma \in \operatorname{Aut} \left( E \right)  | \sigma (x) = x; \forall x \in F  \}

כאשר \operatorname{Aut} \left( E \right) היא חבורת האוטומורפיזמים של השדה  \ E .

קל לבדוק שזוהי אכן חבורה.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

שדה השבת[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי \ E שדה. תהי  \ G \le \operatorname{Aut}\left(E\right) תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של  \ E. נגדיר את שדה השבת של \ G, המסומן גם ב\ E^G להיות הקבוצה הבאה:

E^G = \{ x \in E | \forall \sigma \in G : \sigma(x) = x \}

כלומר, שדה השבת של \ G הוא קבוצת כל האיברים מהשדה \ E שכל איברי \ G משאירים אותם במקום.

קל לבדוק שזהו אכן שדה. מתקיים כי אם \ E / F הרחבת שדות ו-\ G = \operatorname{G}\left(E/F\right) אז F \le E^G.

שוויון לא בהכרח מתקיים, למשל אם  \ F = \mathbb{Q} ו-\ E = \mathbb{Q}\left(\sqrt[3]{2}\right) , אז ראינו קודם ש-\ G מכילה רק את העתקת הזהות ולכן מתקיים כי  \ F \ne E^G = E

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]