שדה ציקלוטומי

בתורת המספרים האלגברית, שדה ציקלוטומי הוא שדה מספרים מהצורה $\ \mathbb{Q}[\zeta_n]$, כלומר, הרחבה של שדה המספרים הרציונליים על ידי סיפוח של שורש יחידה מסדר n. משפט קרונקר-ובר מבסס את התפקיד המרכזי של השדות הציקלוטומיים בתורת המספרים האלגברית.

ההרחבה המתקבלת היא הרחבת גלואה, שחבורת גלואה שלה היא חבורת אוילר $\ U_n$. בפרט, ממד ההרחבה הוא $\ \phi(n)$, כאשר $\ \phi$ היא פונקציית אוילר. הפולינום המינימלי של $\ \zeta_n$ הוא הפולינום הציקלוטומי $\ \Phi_n$.

כמה מהשדות הציקלוטומיים הראשונים הם $\ \mathbb{Q}[\zeta_1] = \mathbb{Q}[\zeta_2] = \mathbb{Q}$; $\ \mathbb{Q}[\zeta_3] = \mathbb{Q}[\zeta_6] = \mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$ (משום ש-$\ \zeta_3 = \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$); $\ \mathbb{Q}[\zeta_4] = \mathbb{Q}[\sqrt{-1}]$; $\ \mathbb{Q}[\zeta_5] = \mathbb{Q}[\sqrt{\frac{-(5+\sqrt{5})}{2}}]$; ו- $\ \mathbb{Q}[\zeta_8] = \mathbb{Q}[\sqrt{-1},\sqrt{2}]$. מדוגמאות אלה אפשר ליצור אחרות, משום שאם n,m זרים, אז $\ \mathbb{Q}[\zeta_{nm}] = \mathbb{Q}[\zeta_n,\zeta_m]$. למשל, $\ \mathbb{Q}[\zeta_{24}] = \mathbb{Q}[\zeta_3,\zeta_{8}] = \mathbb{Q}[\sqrt{-1},\sqrt{2},\sqrt{3}]$.

את המצולע המשוכלל בעל n צלעות אפשר לבנות במחוגה וסרגל (במלים אחרות, השדה הציקלוטומי $\ \mathbb{Q}[\zeta_n]$ מוכל בשדה המספרים הניתנים לבניה) אם ורק אם $\ \phi(n)$ הוא חזקה של 2; דבר זה קורה אם ורק אם n הוא חזקת 2, כפול מכפלה של ראשוניי פרמה שונים, כדוגמת 3,5,17 או 257. חבורת גלואה של השדה הציקלוטומי מאפשרת לחשב את קוסינוס הזווית במצולעים המשוכללים. לדוגמה, $\ \cos(\frac{2\pi}{17}) = \frac{\frac{\sqrt{17}-1}{2}+\sqrt{\frac{17-\sqrt{17}}{2}} + \sqrt{(3+\sqrt{17})(\sqrt{17}-\sqrt{\frac{17-\sqrt{17}}{2}})} }{8}$.

כצעד ראשון בהבנת השדות הציקלוטומיים מתבוננים בשדה המתקבל מסיפוח שורש יחידה מסדר ראשוני, p, שאפשר להניח שהוא אי-זוגי. במקרה זה, חוג השלמים של השדה הוא המועמד הטבעי $\ \mathbb{Z}[\zeta_p]$. הדיסקרימיננטה של ההרחבה $\ \mathbb{Q}[\zeta_p]/\mathbb{Q}$ היא $\ (-1)^{(p-1)/2}p^{p-2}$, ובהתאמה לזה השדה מכיל את השורש של $\ p^* = (-1)^{(p-1)/2}p$ (בדוגמאות לעיל אפשר לראות ש- $\ \sqrt{5} \in \mathbb{Q}[\zeta_5]$, ובדומה לזה $\ \sqrt{-7} \in \mathbb{Q}[\zeta_7]$). זוהי דוגמה ראשונה למשפט קרונקר-ובר, שלפיו כל הרחבה אבלית K של המספרים הרציונליים מוכלת בשדה ציקלוטומי $\ \mathbb{Q}[\zeta_m]$. הסדר m המינימלי כנ"ל נקרא הקונדקטור של K.

מחישוב הדיסקרימיננטה נובע שהראשוני המסועף היחיד בהרחבה $\ \mathbb{Q}[\zeta_p]/\mathbb{Q}$ הוא p; ראשוני זה הוא מסועף לחלוטין: $\ \langle p \rangle = \langle 1 - \zeta_p \rangle^{p-1}$.

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', חבורת שורשי היחידה ושדות ציקלוטומיים, באתר "לא מדויק"