פונקציית מחלקים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת המספרים, פונקציית מחלקים היא פונקציה אריתמטית הקשורה למחלקים של מספר שלם. מקרה פרטי של פונקציית מחלקים הסופרת את מספר המחלקים של מספר שלם נקראת פונקציית המחלקים. רמנוג'אן חקר את פונקציית המחלקים ומצא מספר זהויות הקשורות בה.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציית מחלקים \ \sigma_{x}(n) מוגדרת כסכום של המחלקים בחזקת x של n, או:

\sigma_{x}(n)=\sum_{d|n} d^x\,\! .

הפונקציה הסופרת את מספר המחלקים מסומנת ב-\ d(n) או ב-\ \tau(n) (פונקציית הטאו) והיא בעצם \ \sigma_{0}(n). כלומר:

 \sigma_{0}(n) \equiv \tau(n) \equiv  d(n)

כאשר x הוא 1 זוהי פונקציית סכום המחלקים, ואז משמיטים את הכתיב התחתון.

 \sigma_{1}(n) \equiv \sigma(n)

לכל מספר ראשוני p:

\ \sigma_{0}(p) = 2
\ \sigma_{1}(p) = p+1

ובאופן כללי אם n = \prod_{i=1}^r p_i^{k_i} הוא הפירוק לגורמים של n, אז:

\sigma_x(n) = 
\prod_{i=1}^r (1 + p_i^x + p_i^{2x} + \cdots + p_i^{k_i x}) =  \prod_{i=1}^r \sum_{j=0}^{k_i} p_i^{j x} = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_{i}^{(k_{i}+1)x}-1}{p_{i}^x-1}

ובפרט:

d(n)=\prod_{i=1}^r (k_i+1)

שימוש בטורים[עריכת קוד מקור | עריכה]

שני טורי דיריכלה המשתמשים בפונקציית המחלקים הם

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}=\zeta(s) \zeta(s-a)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}


טור למברט המשתמש בפונקציית המחלקים הוא:

\sum_{n=1}^{\infty} q^n \sigma_a(n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^a q^n}{1-q^n}

קצב גידול[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההתנהגות של פונקציית המחלקים היא אי-רגולרית. קצב הגידול שלה ניתן לביטוי על ידי


\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{\sigma(n)}{n\ \log \log n}=e^\gamma

כאשר הוא \ \gamma קבוע אוילר.