טור דיריכלה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת המספרים האנליטית, טור דיריכלה הוא טור מהצורה \,f(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}, כאשר המקדמים \ a_n הם קבועים (בדרך כלל שלמים, או שורשי יחידה), ו-s הוא משתנה מרוכב. טורים מן הסוג הזה הופיעו כבר במאה ה-17 (ראו למשל בעיית בזל), ואוילר מצא דרכים מתוחכמות לקשור אותם אל המספרים הראשוניים. דיריכלה הפך אותם לכלי מרכזי בהוכחת המשפט שלו על ראשוניים בסדרות חשבוניות, והטורים קרויים על-שמו.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

טור הדיריכלה המפורסם ביותר הוא:

\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}

שהוא פונקציית זטא של רימן. טור דיריכלה אחר הוא

\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}

כאשר \!\,\mu(n) היא פונקציית מביוס. טורים נוספים אפשר לפתח על ידי הפעלת נוסחת ההיפוך של מביוס וקונבולוציית דיריכלה על סדרה ידועה.

זהויות אחרות כוללות את

\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{\varphi(n)}{n^s}

כאשר \ \varphi(n) היא פונקציית אוילר, ו-

\zeta(s) \zeta(s-a)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}
\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}
=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}

כאשר \ \sigma_{a}(n) היא פונקציית המחלקים.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]