צירוף אפיני

במתמטיקה, צירוף אפיני של וקטורים x₁, ..., x_n הוא צירוף לינארי

$\sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i} \cdot x_{i}} = \alpha_{1} x_{1} + \alpha_{2} x_{2} + \cdots +\alpha_{n} x_{n}$

שבו סכום המקדמים הוא 1, כלומר:

$\sum_{i=1}^{n} {\alpha_{i}}=1$.

הווקטורים משוכנים במרחב וקטורי V מעל שדה K; והמקדמים $\alpha _{i}$ הם סקלרים ב-K.

מושג זה חשוב בגאומטריה אוקלידית.

צירוף אפיני של נקודות שבת הוא גם כן נקודת שבת, לכן נקודות השבת יוצרות מרחב אפיני (בתלת-ממד: קו, מישור והמקרה הטריוויאלי של נקודה והמישור כולו).

מוטיבציה

נניח שיש אי ודאות בנקודת הראשית במרחב מסוים ואנו חושבים שזאת נקודה p (אך למעשה זו נקודה אחרת). נניח שרוצים לחבר שתי נקודות: a ו-b. נמתח קו מנקודה p לנקודה a, קו נוסף מנקודה p לנקודה b וניעזר בכלל המקבילית למצוא את נקודה a+b לפי הנחתנו לגבי הראשית. למעשה קיבלנו את הנקודה p + (a − p) + (b − p). באופן דומה נוכל ליצור צירוף לינארי של a ו-b או של כל קבוצה סופית של וקטורים. לרוב, נקבל תשובה שגויה (בגלל ההנחה לגבי הראשית), אולם אם סכום המקדמים של הצירוף הלינארי הוא 1 התשובה תהיה נכונה.

תיאור ההוכחה: נניח $x$ הוא תוצאת צירוף אפיני של וקטורים $x_i$ עם מקדמים $\alpha_i$. באופן דומה $x'$ הוא צירוף אפיני עם אותם מקדמים, של הווקטורים המוזזים $x'_i=x_i - p$, אזי:

$x' = p + \sum_{i=1}^n{\alpha_i \cdot \left(x_i - p\right)} = p +\sum_{i=1}^n{\alpha_{i} \cdot x_{i}} - (\sum_{i=1}^{n}{\alpha_i}) \cdot p =p +\sum_{i=1}^{n}{\alpha_i \cdot x_i} - p= x$