מרחב וקטורי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה לינארית, מרחב וקטורי (או מרחב לינארי) מעל שדה הוא קבוצה של איברים, אשר עליהם מוגדרות פעולות של חיבור האברים בינם לבין עצמם ושל כפל האברים הללו באברי השדה, כך שמתקיימות האקסיומות של מרחב וקטורי (ראו להלן). לאברי המרחב הווקטורי קוראים "וקטורים" ולאברי אותו שדה קוראים "סקלרים". לא מוגדר כפל בין אברי המרחב הווקטורי, אלא רק בין וקטורים לסקלרים. עם זאת, לעתים ניתן להגדיר מכפלות בין וקטורים במרחב, כפי שלמשל מוגדר במרחבי מכפלה פנימית.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

חבורה אבלית \ V ביחס לחיבור, היא מרחב וקטורי מעל השדה \ \mathbb{F}, אם מוגדרת פעולת כפל סקלרי \ \mathbb{F} \times V \rightarrow V, שמסמנים ב-\ (\alpha,v) \mapsto \alpha \cdot v, כך שמתקיימות האקסיומות

  1. לכל \ v ב-\ V מתקיים \ 1 \cdot v = v.
  2. אסוציאטיביות של כפל סקלרים בווקטור: לכל \ \alpha,\beta \in \mathbb{F} ולכל \ v \in V, מתקיים: \ (\alpha \cdot \beta) \cdot v = \alpha \cdot (\beta \cdot v)
  3. דיסטריבוטיביות של סקלרים (חוק הפילוג לסקלרים): לכל \ \alpha,\beta \in \mathbb{F} ולכל \ v \in V, מתקיים: \ (\alpha + \beta ) \cdot v = \alpha \cdot v + \beta \cdot v
  4. דיסטריבוטיביות של וקטורים (חוק הפילוג לווקטורים): \ u,v \in V וכל \ \alpha \in \mathbb{F} מתקיים: \ \alpha\cdot  (u+v) = \alpha \cdot u +   \alpha\cdot v

דרישת הקומוטטיביות של החיבור ב-V נובעת משאר האקסיומות (כפי שניתן לראות אם מפתחים את הביטוי (1+1)(u+v), פעם אחת לפי דיסטריבוטיביות של סקלרים, ופעם שנייה לפי דיסטריבוטיביות של וקטורים). ובכל זאת נהוג לציינה לשם הנוחות.

סימונים[עריכת קוד מקור | עריכה]

לעתים וקטורים מסומנים בסימון מיוחד כדי להבדילם מסקלרים, למשל וקטור u \in V יסומן באחת מהאפשרויות הבאות:

\underline{u} \ , \ \overline{u} \ , \ \vec{u}\  , \ \mathbf{u}

כאשר הסימון האחרון (עם האות המודגשת) נפוץ בספרי לימוד ואילו הסימון עם החץ נפוץ בהרצאות, בהן קשה לכתוב אותיות מודגשות על הלוח.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תלות, אי תלות ופרישה[עריכת קוד מקור | עריכה]

קבוצה של ווקטורים נקראת תלויה לינארית אם ניתן להציג ווקטור אחד מתוכה כצירוף לינארי של האחרים. אם קבוצה לא תלויה לינארית, היא נקראת בלתי תלויה לינארית. פרוש (Span) של קבוצת ווקטורים הוא קבוצת כל הצירופים הלינאריים של הווקטורים בקבוצה. אומרים שקבוצת וקטורים פורשת את המרחב אם המרחב שווה לפרוש שלה.

בסיס וממד[עריכת קוד מקור | עריכה]

בסיס של מרחב וקטורי הוא קבוצה בלתי תלויה של וקטורים שפורשת אותו. ממד המרחב הוא מספר הווקטורים בבסיס. מכיוון שמספר זה איננו תלוי בבחירת הבסיס (כלומר שווה בכל הבסיסים במרחב), המושג מוגדר היטב. ממד יכול להיות סופי או אינסופי.

תת-מרחב[עריכת קוד מקור | עריכה]

תת-מרחב של מרחב וקטורי כלשהו הוא תת-קבוצה שלו שמהווה בעצמה מרחב וקטורי. תת-מרחב חייב להיות מעל אותו שדה של המרחב הווקטורי והפעולות בו חייבות להיות אותן פעולות של המרחב הווקטורי. כדי לבדוק שתת-קבוצה \ W של המרחב הווקטורי \ V מעל השדה \mathbb{F} מהווה מרחב וקטורי, די לבדוק את הפרטים הבאים:

  1. \ W אינה ריקה.
  2. \ W סגורה ביחס לחיבור. כלומר - לכל \ v,u\in W מתקיים \ v+u\in W.
  3. \ W סגורה ביחס לכפל בסקלר. כלומר - לכל \ v \in W ו-\lambda \in \mathbb{F} מתקיים \lambda \cdot v \in W.

מבנים נוספים[עריכת קוד מקור | עריכה]

המרחב הדואלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

לכל מרחב וקטורי V, אפשר לבנות את המרחב הדואלי שלו *V. זהו מרחב כל הפונקציונלים הלינאריים על V. כלומר:

\ V^* = \{ f : V \to F \ | \forall a,b \in V \ f( \mu a+ \nu b)= \mu f(a) + \nu f(b) \}

באמצעות מבנה זה אפשר להגדיר על המרחב הווקטורי V מבנה של טופולוגיה חלשה (כלומר: אוסף של סביבות המאפיינות תכונות לוקליות-אנליטיות של המרחב כגון רציפות, סגירות ועוד).

בענף המתמטי של אנליזה פונקציונלית מרבים לחקור מבנה זה.

מכפלה פנימית[עריכת קוד מקור | עריכה]

מכפלה פנימית היא פונקציה \ \lang , \rang : V \times V \to \mathbb{R} או \ \lang , \rang : V \times V \to \mathbb{C}, המתאימה לכל זוג וקטורים ב- V מספר ממשי/מרוכב, כאשר V הוא מרחב וקטורי מעל השדה \mathbb{R} או \mathbb{C} (מרחב מסוג זה בצירוף מכפלה פנימית מכונה מרחב מכפלה פנימית). הפונקציה תקרא מכפלה פנימית אם היא מקיימת את אקסיומות המכפלה הפנימית: לינאריות והומוגניות ברכיב הראשון, סימטריות/הרמיטיות וחיוביות (\forall v \in V , \lang v , v \rang \ge 0 ו \ \lang v , v \rang = 0 \iff v = 0).

באמצעות המכפלה הפנימית אפשר להגדיר נורמה על ידי \ \| v \| = \sqrt{ \lang v , v \rang } ובאופן אינטואיטיבי היא מייצגת את ה"אורך" או הגודל של הווקטור. מרחב וקטורי נורמי הוא בפרט מרחב טופולוגי מטרי כאשר המטריקה המושרית מהנורמה היא \ d(v,w) = \| v - w \|. כמו כן אפשר בעזרת המכפלה הפנימית לחשב "זווית" בין 2 וקטורים:  \cos {\theta} =\frac{\left\langle u,v \right\rangle }{\sqrt{\left\langle u,u \right\rangle \left\langle v,v \right\rangle }}. אי-שוויון קושי-שוורץ מבטיח לנו שאכן קוסינוס הזווית קטן מ-1.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]