מרחב וקטורי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באלגברה לינארית, מרחב וקטורי מעל שדה (קרוי גם "מרחב לינארי") הינו קבוצה של איברים, אשר עליהם מוגדרות פעולות של חיבור האברים בינם לבין עצמם ושל כפל האברים הללו באברי השדה, כך שמתקיימות האקסיומות של מרחב וקטורי (ראו להלן). לאברי המרחב הווקטורי קוראים "וקטורים" ולאברי אותו שדה "סקלרים". לא מוגדר כפל בין אברי המרחב הווקטורי, אלא רק בין וקטורים לסקלרים. עם זאת, ניתן להגדיר מכפלות בין וקטורים במרחב - למשל מכפלה פנימית (ראו בהמשך).

תוכן עניינים

1 הגדרה פורמלית
2 דוגמאות
3 תת מרחב
4 מבנים נוספים
- 4.1 המרחב הדואלי
- 4.2 מכפלה פנימית
5 ראו גם

[עריכה] הגדרה פורמלית

קבוצה $\ V$ נקראת מרחב וקטורי מעל שדה $\ \mathbb{F}$ , אם ב- $\ V$ מוגדרת פעולת חיבור וקטורים, אשר תסומן $\ u+v$ לכל $\ u , v$ ב- $\ V$ , ומוגדרת פעולת כפל סקלרי, אשר תסומן $\ a \cdot v$ לכל $\ v$ ב- $\ V$ ולכל $\ a$ ב- $\ \mathbb{F}$ , כך שמתקיימות האקסיומות הבאות:

סגירות לחיבור: חיבור של כל שני אברים ב- $\ V$ מניב איבר יחיד אשר גם הוא שייך ל- $\ V$ . לשון אחרת: לכל $\ v,u$ ב - $\ V$ מתקיים: $\ (v+u) \in V$ .
קומוטטיביות לחיבור (חוק החילוף): חיבור שני אברים ב- $\ V$ הינו חילופי; לכל $\ v , u$ ב- $\ V$ מתקיים: $\ u+v = v+u$
אסוציאטיביות לחיבור (חוק הקיבוץ): סדר חיבור האברים ב- $\ V$ אינו משנה את התוצאה; לכל $\ u,v,w$ ב- $\ V$ מתקיים: $\ u+(v+w)=(u+v)+w$ .
קיום איבר נייטרלי לחיבור ("איבר אפס"): קיים איבר $\ 0$ (שהוא איבר ב- $\ V$ ) כך שלכל $\ v$ ב- $\ V$ מתקיים: $\ v+0=0+v=v$
קיום איבר נגדי: לכל איבר $\ v$ ב- $\ V$ קיים איבר נגדי ב- $\ V$ המסומן $\ (-v)$ כך שמתקיים $\ v+(-v)=(-v)+v=0$ (החיבור שלהם מניב את איבר האפס).
סגירות לכפל בסקלר: כפל של כל איבר ב- $\ V$ עם כל איבר ב- $\ \mathbb{F}$ מניב איבר יחיד אשר גם הוא שייך ל- $\ V$ .
אדישות איבר היחידה לכפל בווקטור: התוצאה של כפל איבר היחידה של השדה $\ \mathbb{F}$ בכל איבר ב- $\ V$ היא תמיד אותו האיבר עצמו (לכל $\ v$ ב- $\ V$ מתקיים $\ v \cdot 1 = 1 \cdot v = v$ , כאשר $\ 1$ הוא איבר היחידה בשדה).
אסוציאטיביות של כפל סקלרים בווקטור: לכל $\ a,b \in \mathbb{F}$ ולכל $\ v \in V$ , מתקיים: $\ (a \cdot b) \cdot v = a \cdot (b \cdot v)$
דיסטריבוטיביות של סקלרים (חוק הפילוג לסקלרים): לכל $\ a,b \in \mathbb{F}$ ולכל $\ v \in V$ , מתקיים: $\ (a+b) \cdot v = a \cdot v + b \cdot v$
דיסטריבוטיביות של וקטורים (חוק הפילוג לווקטורים): $\ u,v \in V$ וכל $\ a \in \mathbb{F}$ מתקיים: $\ (u+v) \cdot a = u \cdot a + v \cdot a$

[עריכה] דוגמאות

המרחב $\mathbb{R}^n$ של n-יות מספרים ממשיים, ובפרט: מרחבי וקטורי העמודה בגובה n.
המרחב האוקלידי התלת-ממדי.
מרחב הפונקציות הממשיות.
מרחב המטריצות.
מרחב כל ההומומורפיזמים מעל מרחב לינארי נתון.
אוסף כל התת-קבוצות של קבוצה X כלשהי הוא מרחב וקטורי מעל השדה $\mathbb{Z}_2$ , כאשר פעולת החיבור היא פעולת ההפרש הסימטרי.

[עריכה] תת מרחב

תת-מרחב של מרחב וקטורי כלשהו הוא תת-קבוצה שלה שמהווה בעצמו מרחב וקטורי. כדי לבדוק שתת קבוצה $\ W$ של המרחב הווקטורי $\ V$ מעל השדה $\mathbb{F}$ מהווה מרחב וקטורי, די לבדוק את הפרטים הבאים:

$\ W$ אינה ריקה.
הקבוצה סגורה ביחס לחיבור. כלומר - לכל $\ a,b\in W$ מתקיים $\ a+b\in W$ .
הקבוצה סגורה ביחס לכפל בסקלר. כלומר - לכל $\ a \in W$ ו- $\lambda \in \mathbb{F}$ מתקיים $\lambda \cdot a \in W$ .

[עריכה] מבנים נוספים

[עריכה] המרחב הדואלי

לכל מרחב וקטורי V, אפשר לבנות את המרחב הדואלי שלו *V. זהו מרחב כל הפונקציונלים הלינאריים על V. כלומר:

$\ V^* = \{ f : V \to F \ | \forall a,b \in V \ f( \mu a+ \nu b)= \mu f(a) + \nu f(b) \}$

באמצעות מבנה זה אפשר להגדיר על המרחב הווקטורי V מבנה של טופולוגיה חלשה (כלומר: אוסף של סביבות המאפיינות תכונות לוקליות-אנליטיות של המרחב כגון רציפות, סגירות ועוד).

בענף המתמטי של אנליזה פונקציונלית מרבים לחקור מבנה זה.

[עריכה] מכפלה פנימית

מכפלה פנימית הינה פונקציה $\ \lang , \rang : V \times V \to R$ או $\ \lang , \rang : V \times V \to C$ , המתאימה לכל זוג וקטורים ב- V מספר ממשי/מרוכב, כאשר V הינו מרחב וקטורי מעל השדה $\mathbb{R}$ או $\mathbb{C}$ (מרחב מסוג זה בצירוף מכפלה פנימית מכונה מרחב מכפלה פנימית). הפונקציה תקרא מכפלה פנימית אם היא מקיימת את אקסיומות המכפלה הפנימית: לינאריות והומוגניות ברכיב הראשון, סימטריות/הרמיטיות וחיוביות ( $\forall v \in V , \lang v , v \rang \ge 0$ ו $\ \lang v , v \rang = 0 \iff v = 0$ ).

באמצעות המכפלה הפנימית אפשר להגדיר נורמה על ידי $\ \| v \| = \sqrt{ \lang v , v \rang }$ ובאופן אינטואיטיבי היא מייצגת את ה"אורך" או הגודל של הווקטור. מרחב וקטורי נורמי הוא בפרט מרחב טופולוגי מטרי כאשר המטריקה המושרית מהנורמה היא $\ d(v,w) = \| v - w \|$ . כמו כן אפשר בעזרת המכפלה הפנימית לחשב "זווית" בין 2 וקטורים: $\cos {\theta} =\frac{\left\langle u,v \right\rangle }{\sqrt{\left\langle u,u \right\rangle \left\langle v,v \right\rangle }}$ .