נקודת שבת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, נקודת שבת של פונקציה היא נקודה בתחום ההגדרה של הפונקציה אשר תמונתה היא הנקודה עצמה, כלומר אם \ f(x) היא פונקציה אז הנקודה \ x_0 היא נקודת שבת אם מתקיים \ f(x_0) = x_0 .

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציה בעלת שלוש נקודות שבת (שהן נקודות החיתוך של הפונקציה עם הישר y=x)
  • עבור הפונקציה \ f(x)=2x, הערך \ x=0, הוא נקודת שבת (היחידה), הואיל ו- \ f(0)=2\cdot 0=0 (וזהו הפתרון היחיד למשוואה  2x=x ).
  • נקודה שאינה משנה את מיקומה כתוצאה מטרנספורמציה מרחבית. לדוגמה: בסיבוב של כדור סביב צירו, הנקודות הנמצאות על הציר נותרות במקומן, והן נקודות שבת.
  • נקודות שבת "מעניינות" של פונקציה הן כאלו שאם מפעילים את הפונקציה על ערך מסוים, אחר מפעילים אותה שוב על הערך שהתקבל וכן הלאה, הולכים ומתקרבים לנקודת השבת. בניסוח פורמלי: אם עבור בחירה של \ x הקרוב מספיק לנקודת השבת \ x_0, מתקיים \ \lim_{n\rarr\infty}f^n(x)=x_0 (כאן \ f^2(x)=f(f(x)) וכדומה). נקודת שבת כזו נקראת נקודת שבת יציבה.

משפטים הקשורים בנקודות שבת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • משפט ההעתקה המכווצת על הישר הממשי: f:\mathbb R\to \mathbb R. אם קיים קבוע \ K < 1 כך ש-\ |f(x)-f(y)|<K|x-y|, לכל x,y\in\mathbb R, אזי יש ל-\ f נקודת שבת אחת ויחידה.
  • הרחבה של המשפט הקודם למרחב מטרי שלם כלשהו: משפט נקודת השבת של בנך נותן תנאי מספיק כדי שלפונקציה תהיה נקודת שבת אחת ויחידה, ומאפשר למצוא אותה על ידי הפעלה חוזרת של הפונקציה כמתואר לעיל.
  • \ f:[0,1]\to[0,1] פונקציה רציפה. אזי יש לה נקודת שבת בקטע \ [0,1].
  • הרחבה של המשפט הקודם לקבוצה קומפקטית וקמורה ב-\mathbb R^n הוא משפט נקודת השבת של בראואר, המוכיח קיום של נקודת שבת במצבים מסוימים, אך לא מראה דרך מעשית למצוא אותה.
  • \ f:[0,1]\to[0,1] פונקציה מונוטונית עולה. אזי יש לה נקודת שבת בקטע \ [0,1]. המשפט אינו נכון לפונקציה מונוטונית יורדת.
P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.