שיחת משתמש:דורון שדמי/ארכיון 2

מחזוריות

שלום, אנא חווה דעתך. תופעות מחזוריות בזמן הן סגורות בהכללה מימדית של הזמן. תופעות המכילות יצוג אקספוננטי לפונקציות טריגונומטריות, משמיטות את החלק המדומה של הפתרון, אך הכללה של חלק זה שוב יוצרת תופעה סגורה. כלומר, מחזוריות במישור המדומה. תורת המיתרים מלמדת אותנו שככל הנראה היקום הוא היטל 4 מימדי של מציאות יותר גדולה (אלוהיות?), אז הסגירות ברמת המספרים הקומפלקסים יכולה ללמד על דטרמיניזם במימד גבוה יותר, אל מול בחירה במימד נמוך יותר. אני מקווה שהייתי מובן.

מחזוריות הינה חזרה על סדרת מצבים/תהליכים, כאשר כל נקודה נתונה הינה גם ההתחלה וגם סוף של מחזור, והיא זהה בכל המחזורים.

אם ניתן למצוא במערכת תנאי אשר אינו משמש סימולטנית הן כסוף והן כהתחלה, הרי שאנו עוסקים במערכת פתוחה.

מערכת פתוחה מתקיימת כאשר יש הפרדה קטגורית בין המקומי ללא-מקומי, לדוגמא:

אם נייצג את הלא-מקומי כקטע קו קשיר-לחלוטין (אשר אינו מורכב מתת-קטעים או אוסף נקודות) הרי ששום אוסף אינו יכול להשיג את המעמד של קשירות מוחלטת, ולכן כל אוסף (סופי או אינסופי) הינו פתוח ביחס לקשירות מוחלטת, ופתיחות זו מקיימת מרחב לא-דטרמיניסטי. דורון שדמי 16:36, 13 יוני 2006

יש לך תכנת IM כלשהי לתקשורת נוחה יותר ?

אתה מצייר? כותב שירים? ומתמטיקאי?

יפה.

מעניין אותי מי אתה? (אתה יודע עלי דברים שלא פרסמתי כאן) דורון שדמי 12:28, 21 יוני 2006 (IDT)

זהותי אינה חשובה. איך אני יודע? "דברים שלא פירסמת כאן" אבל אולי בבמות אחרות? חדשות?.

מה קרה לתקופה שבה מוזיקה הייתה מוזיקה, ציור היה ציור. אתה לא חושב שעוותנו את האומנות? אדם ששומע מוזיקה רוצה להרגיש התעלות, רוממות, שמחה. אדם שמסתכל בציור רוצה לראות דמויות חיות, נוצצות, עלים זזים ברוח, עננים לבנים בשמיים, תווי פנים מושלמים. אני רוצה לשמוע מלודיות מרגשות לא לנסות להבין למה הוא בחר למשוח עם המכחול דוקא בכיוון הזה. למה הכל חייב להיות פוסט? פוסט אומנות, פוסט ציונות, פוסט משפחה?מה רע בפשוט? מה רע בטבע העולם? למה ציור דיוקן בשמן הופף להיות כתמי צבע אקראיים על בריסטול? מה קרה לאותה תקופה? מה הצורך לחדש בדבר מושלם? אני לא רואה אומן עכשווי שמתעלה על מוצרט, בטהובן, דה- וינצ'י בפשטותם המושלמת. למה?

אתה הוא שבוחר מה שקרוב ללבך. אם תפקח את עיניך תראה שכל אופניי היצירה קיימים היום זה לצד זה, ואתה חופשי לנוע ביניהם כרצונך. אם אתה מוצא כי "נתקעת" בעולם שאינך חפץ להיות בו, הפנה מבטך לתוך עצמך והובל את עצמך למקום הטבעי שלך. אף אחד לא יעשה זאת במקומך. דורון שדמי 12:28, 27 יוני 2006 (IDT)

אני חושב שאומנות זו דרך תקשורת, שפה מסוימת. פעם הייתה השפה הטבעית מולדת באדם וכל אחד יכל להבין אותה, ציור שמח, עצוב וכו'. כיום השפה השתכללה, ישנם אינספור ניבים ולשונות שבאמצעותם יכול האדם להבהיר, לבטא את עצמו. כל אחד בדרכו שלו. מה דעתך? Tio 13:47, 27 יוני 2006 (IDT)

לדעתי, אמנות הינה האופן שבה המקור המכונן את המציאות מבטא עצמו הלכה למעשה. יצירה אמנותית אמיתית הינה אל-זמנית באופיה, ואל-זמניות זו הינה החותם המובהק של המקור המכונן את המציאות בה אנו קיימים.

במילים אחרות, אם תודעתו של האמן מבטאת עצמה ללא איבוד הקשר עם האוניברסלי, תהא יצירתו מקורית ואל-זמנית. דורון שדמי 18:46, 27 יוני 2006 (IDT)

להיפך, אומנות היא משהו סובייקטבי. כל אומן בדרכו שלו מבטא את מחשבותיו, במיוחד באומנות המודרנית. ככל שהאומנות יותר ייחודית ומקורית חשיבותה עולה. Tio 11:44, 28 יוני 2006 (IDT)

המיוחד (סובייקטיבי בלשונך) מתבטא הלכה למעשה, רק כאשר הוא מגושר עם האוניברסלי. משול הדבר לזרע (קוד מיוחד) אשר מבטא את היחודיות הטמונה בו, רק כאשר הוא ניזון מפוריות האדמה (השדה האוניברסלי).

במילים אחרות, האמנות הינה לא פחות מהגישור שבין המיוחד לאוניברסלי. דורון שדמי 12:05, 28 יוני 2006 (IDT)

בעניין הזה אנחנו לא חולקים (רק שאני לא הייתי משתמש בניסוח הזה, לא בכל משפט יש חובה להכניס "אוניברסליות" ו/או "פשטות מכוננת" :). חוץ מהגישור, אבל כנראה אצלך כל דבר הוא סוג של גשר :). Tio 00:36, 2 יולי 2006 (IDT)

לתפיסתי, הגשר אינו אמצעי להגיע למטרה, אלא הוא לב העניין, או במילים אחרות: "העולם הוא גשר רחב מאוד, והעיקר הוא לשמוח בכך". דורון שדמי 13:05, 9 יולי 2006 (IDT)

הגישור נובע מעל-סימטריה המתקיימת בין "שדה התיאום" (אוניברסליות) ל-"שדה הביטוי" (פרטנות). דורון שדמי 18:58, 30 יוני 2006 (IDT)

משפט קנטור ותורת הקבוצות האקסיומטית

טענה: (נערך מחדש ב-1 לאוקטובר 2006) משפט קנטור אינו בר-השלמה במסגרת ZF.

הוכחה:

אקסיומת ההפרדה:

לכל תכונה P וקבוצה S , קיימת קבוצת כל האיברים ב-S, המקיימים את תכונה P

אם קבוצה $A$ אינה מכילה את כל האיברים בעלי תכונה P , הרי שקבוצה $A$ אינה קיימת במסגרת ZF , וזאת עפ"י אקסיומת ההפרדה.

אם $A$ אינה קיימת במסגרת ZF , הרי שאין אנו באים לידי סתירה ע"י שימוש בקבוצה $A$ ולכן החלק השני בהוכחתו של קנטור (המבוסס על קיום $A$ כך ש- $A=\left\{x\in X|x\not \in f(x)\right\}$) אינו בר-השלמה במסגרת ZF.

מ.ש.ל

עפ"י אקסיומת ההפרדה, חייבת A להכיל כל איבר X שאין לו תמונה בתת-הקבוצה של X איתה הוא ממופה.

אך אנו רואים כי הגדרת A אינה מאפשרת לאיבר X הממופה איתה, להכלל בתוכה. הסיבה שאיבר X חייב להכלל ב-A, היא כדלקמן: כל איבר X ממופה רק פעם אחת עם תת-קבוצה של X, ולכן ברור לחלוטין כי איבר X הממופה עם A אינו קיים ב-A , ולכן חייב, לפי הגדרת A להכלל ב-A, אך הדבר אינו אפשרי וזאת שוב לפי הגדרת A , ולכן A איננה קבוצת כל האיברים המקיימים את תכונה P , כמתבקש מאקסיומת ההפרדה, ולכן קבוצה A אינה ברת-קיום במסגרת ZF.

אם קבוצה A אינה ברת-קיום במסגרת ZF , הוכחתו של קנטור אינה ניתנת להשלמה במסגרת ZF.

הטענה הדוגלת בקיום A במסגרת ZF עפ"י אקסיומת ההפרדה, אומרת כי אי-יכולתו של איבר X להתמפות עם A (מיפוי זה אינו אפשרי כתוצאה מהגדרת A, המונעת את יכולתנו לקבוע את השתייכותו של איבר X , הממופה איתה, אליה), למעשה מוכיחה כי A הינה קבוצה הנמצאת מחוץ לטווח המיפוי של כל איבר X.

עתה הגענו לידי קיום דבר והיפוכו במסגרת ZF , כי על פי אקסיומת ההפרדה ניתן בו-זמנית להוכיח ולא להוכיח את משפט קנטור לקבוצות החזקה במסגרת ZF , ולכן ZF אינה מערכת קונסיסטנטית.

כדי להוכיח שאני טועה, חייבים להראות כי לא ניתן להגיע למסקנה כי A לא קיימת במסגרת ZF. דורון שדמי 23:16, 30 בספטמבר 2006 (IDT)

ראשית, תודה שאתה גורם לי לקרוא שוב על המשפט היפהפה הזה, שללא ספק כדאי שיילמד כבר בבתי הספר. שנית, נסה לדבר בצורה יותר ברורה. X היא הקבוצה שבה אנו עוסקים, לא האיבר. האמירה "שאין לו תמונה בתת הקבוצה של X איתה הוא ממופה" אינו נכון. צריך להיות "שאינו שייך לתת הקבוצה של X איתה הוא ממופה".

אבל בשורה התחתונה לא ברור לי מה אתה אומר. אכן, מהגדרת A אנו מגלים סתירה, כי המקור שלה לא יכול להיות איבר שלה ומצד שני חייב להיות איבר שלה. לכן ברור שיש לנו הנחה שגויה, וזו ההנחה של שוויון העוצמות. אם הבנתי אותך נכון, אתה בעצם אומר "הגענו לסתירה ולכן A לא יכולה להיות קיימת" - טוב ויפה, אבל זה לא מה שמעניין. מעניין איפה ההנחה השגויה.

אגב, את דברי אלו כתבתי לפני התוספת. מכיוון שבסיום התוספת אתה מגיע למסקנה ש-ZF לא עקבית, אני מעדיף לא להתייחס אליה. גדי אלכסנדרוביץ' 23:18, 30 בספטמבר 2006 (IDT)

אם הצלחתי לעקוב אחרי דברייך, נראה לי שהמקום שבו אתה "נתקע" הוא בכך שאינך מקבל את המושג של הוכחה בדרך השלילה. בכך אתה מצטרף לקבוצה מכובדת של מתמטיקאים (שהידוע שבהם היה ברואר, אם איני טועה) שגם הם לא קיבלו אותו, מסיבותיהם שלהם. לכן אני מציע שתעזוב את הערך הזה במנוחה, כי שורש הבעייה עמוק מזה. גדי אלכסנדרוביץ' 23:44, 30 בספטמבר 2006 (IDT)

אוקיי גדי, הבה ונקבל את הנוסח שלך האומר כי תוכן A הינו כל איבר X שאינו שייך לתת הקבוצה של X איתה הוא ממופה.

אי-הקונסיסטנטיות של ZF מבוססת על ההוכחה כי A קיימת ולא-קיימת, וזאת עפ"י אקסיומת ההפרדה , תוך שימוש במשפט קנטור לקבוצות החזקה.

הבה ונבחן הוכחה זאת שלב אחר שלב:

קבוצה A קיימת ב-ZF עפ"י אקסיומת ההפרדה

אקסיומת ההפרדה:

לכל תכונה P וקבוצה S , קיימת קבוצת כל האיברים ב-S, המקיימים את תכונה P

לפי אקסיומה זו, קיימת קבוצה A המכילה את כל האיברים בעלי תכונה P כאשר תכונה P במקרה דנן היא "איברי X , שאינם שייכים לתת-הקבוצות של X איתן הם ממופים".

מכיוון ש-A קיימת מכוחה של אקסיומת ההפרדה, אנו יכולים להראות כי הניסיון למפות איבר X אליה מביא לסתירה, ועל בסיס סתירה זו להשלים את הוכחת משפט קנטור לקבוצות החזקה (ואם רוצים בכך, אף להסיק כי A הינה דוגמא לתת-קבוצה של X הנמצאת מעבר לטווח כל איבר X).

קבוצה A אינה קיימת ב-ZF עפ"י אקסיומת ההפרדה

אקסיומת ההפרדה:

לכל תכונה P וקבוצה S , קיימת קבוצת כל האיברים ב-S, המקיימים את תכונה P

לפי אקסיומה זו, קיימת קבוצה A בתנאי שהיא מכילה את כל האיברים בעלי תכונה P כאשר תכונה P במקרה דנן היא "איברי X , שאינם שייכים לתת-הקבוצות של X איתן הם ממופים".

אם קבוצה A איננה מכילה את כל איברי X , שאינם שייכים לתת-הקבוצות של X איתן הם ממופים , הרי שקבוצה A אינה ברת-קיום עפ"י אקסיומת ההפרדה.

מכיוון ש-A אינה קיימת, עפ"י אקסיומת ההפרדה, אין אנו יכולים להראות כי הניסיון למפות איבר X אליה מביא לסתירה, ולכן משפט קנטור לקבוצות החזקה, אינו ניתן להוכחה, במסגרת ZF. דורון שדמי 00:36, 1 באוקטובר 2006 (IDT)

אני חושש שאתה מפספס את הרעיון הבסיסי בהוכחה - לפני שאנחנו מתחילים לדבר על A אנחנו מניחים הנחה מסויימת - שקיימת פונקציה f שהיא חח"ע ועל. מכיוון שאנו מגיעים לסתירה, אנו מסיקים שההנחה הזו, ולא ZF, גרמה לסתירה. אם לדעתך ZF היא הגורמת לסתירה ללא תלות ב-f, ודאי תוכל למצוא לכך הוכחה שאינה מניחה את קיומה של f.

עוד הערה - אני עונה לך עבור אחרים שמגיעים לכאן ועלולים לקרוא את הדיון. אם הדיון יתמשך עוד קצת, הדף יהפוך לבלתי קריא ואעביר אותו לתת-דף מיוחד כדי לחסוך זאת מהקוראים. גדי אלכסנדרוביץ' 06:50, 1 באוקטובר 2006 (IST)

גדי, חוששני שלא הבנת את טענתי. אני מניח שתסכים איתי כי האפשרות להסיק כי לא קיימת פונקציה f שהיא חח"ע ועל, תלויה לחלוטין בקיומה של קבוצה A במסגרת ZF.

מה שאני טוען הוא, שעל-פי אקסיומת ההפרדה ניתן להסיק כי A קיימת ולא קיימת במסגרת ZF. מכאן נובע כי משפט קנטור ( ששלב ההוכחה בדרך השלילה שלו מסתמך על קיומה של A במסגרת ZF ) הינו בו-זמנית בר-הוכחה (כאשר A מתקיימת מכוחה של אקסיומת ההפרדה) וגם לא בר-הוכחה (כאשר A אינה מתקיימת מכוחה של אקסיומת ההפרדה) במסגרת ZF.

כדי לשמור על קונסיסטנטיות ZF , אתה חייב להוכיח כי לא ניתן להסיק ש-A לא קיימת במסגרת ZF.

ע"י שימוש באקסיומת ההפרדה הראיתי כי היות ו-A אינה מכילה את כל האלמנטים בעלי תכונה P , הרי ש-A אינה קיימת לפי אקסיומת ההפרדה. הוכח נא כי לא ניתן להסיק ש-A לא קיימת במסגרת ZF , אף על פי שאין היא מכילה את כל האלמנטים בעלי תכונה P.

לחילופין הדגם נא כיצד ניתן להגיע למסקנה כי f איננה חח"ע ועל, וזאת ללא קיום קבוצה A במסגרת ZF.דורון שדמי

ניתן לטעון את הטענה הבאה:

אם תכונה P הינה "איברי X , שאינם שייכים לתת-הקבוצות של X איתן הם ממופים", אז איבר X הממופה-כביכול עם A אינו חייב להכלל ב-A כי עצם המיפוי עם A מביא לידי סתירה, ולכן לא קיים איבר X הממופה עם A , ו-A אכן מכילה את כל איברי X , שאינם שייכים לתת-הקבוצות של X איתן הם ממופים.

אך מצד שני ניתן לטעון כי הגדרת A אינה מאפשרת לכל האלמנטים בעלי תכונה P להתקיים, ולכן A סותרת את אקסיומת ההפרדה, המחייבת שקבוצה A לא תמנע את קיומו של איבר X בעל תכונה P , להכלל בתוכה. למעשה אנו רואים כי A מכוונת מראש כדי למנוע את מיפויו של איבר X איתה, כדי להגיע למסקנה המבוקשת והיא: שלא קיימת פונקציה f שהיא חח"ע ועל בין X לקבוצת החזקה של X (מה שמעלה ריח חריף של הנחת המבוקש). דורון שדמי

זהו, שאיני מסכים איתך כי האפשרות להסיק ש-f אינה קיימת "תלויה לחלוטין" בקיומה של A. כל הרעיון הוא שבהינתן f נובע כי A אינה קיימת, מה שעומד בסתירה ל-ZF. גדי אלכסנדרוביץ' 10:49, 1 באוקטובר 2006 (IST)

לא הבנתי אותך. הדגם נא בפשטות כיצד ניתן למפות איבר מ-X לתת-קבוצה של X (המכונה A) אשר, לטענתך, אינה קיימת, ובכך להסיק כי לא קיימת פונקציה f שהיא חח"ע ועל בין X לקבוצת החזקה של X.

למיטב הבנתי, אם A אינה קיימת (כדבריך) במסגרת ZF, אז אי-אפשרות המיפוי בין איבר X ל-A, אינה קיימת כלל, ואז לא ניתן להסיק כי לא קיימת פונקציה f שהיא חח"ע ועל בין X לקבוצת החזקה של X. דורון שדמי

איני צריך להראות שניתן. מכיוון שזה לא ניתן, f לא קיימת. תיזהר לא להפוך ביצה ותרנגולת ושים לב שהבסיס שאיתו עבדנו הוא הנחת קיום f. גדי אלכסנדרוביץ' 12:35, 1 באוקטובר 2006 (IST)

הבסיס, כדבריך, הוא אכן הנחת קיומה של f כחח"ע ועל. הראה נא כי ניתן להראות כי f לא חח"ע ועל, ללא קיום A. שים לב, שאם A אינה קיימת, כדבריך, במסגרת ZF , הרי שלא ניתן כלל להשתמש בבסיס (הנחת קיומה של f כחח"ע ועל) כדי להוכיח כי f איננה חח"ע ועל. דורון שדמי

הרעיון הוא להגיע לתוצאה פרדוקסלית. תוך שימוש בקיום f אנו מגדירים תת קבוצה A. על פי אקסיומות ZF די בהגדרה כדי ש-A תהיה קיימת, אבל אנו מגלים כי הדבר אינו אפשרי מכיוון שאם A קיימת, נקבל סתירה (היא גם תכיל וגם לא תכיל את המקור שלה). לכן הגענו לתוצאה פרדוקסלית שסותרת את ZF, והיא ש-A אינה קיימת. לכן ההנחה המקורית שלנו (קיום f) שגויה. גדי אלכסנדרוביץ' 12:58, 1 באוקטובר 2006 (IST)

לחילופין ניתן להסיק כי A קיימת אך היא נמצאת מחוץ לטווח המיפוי עם איברי X, או במילים אחרות, הסתירה הינה תוצאה של היותה של A מחוץ לטווח המיפוי של איברי X.

בקיצור, לא פתרת את הבעייה של אי-עקביות ZF , כי על-פיה ניתן להסיק כי A קיימת (כפי שאני הראיתי) ולא קיימת (כפי שאתה הראת) בו-זמנית במסגרת ZF. דורון שדמי

לא כל כך ברור מה המשמעות של "קיימת מחוץ לטווח המיפוי". הרי A שייכת לקבוצת החזקה של X (היא תת קבוצה של X) וכל הטענה היא ש-f תופסת את כל קבוצת החזקה. למען האמת, גם אם באיזה אורח פלא A קיימת אבל f לא תופסת אותה, עדיין הוכחנו ש-f לא על, ובכך סיימנו. באשר לאי העקביות של ZF: למיטב ידיעתי לא ניתן להוכיח את עקביות ZF בהתבסס על אקסיומות ZF בלבד, ולכן אני מציע שאתה תחזיק בתפיסתך ש-ZF לא עקבית, אני אחזיק בתפיסתי שהיא עקבית, ונסכים שחוסר ההסכמה הזו מונע מאיתנו כל דיאלוג מתמטי. גדי אלכסנדרוביץ' 13:33, 1 באוקטובר 2006 (IST)

גדי, הצעת לי למצוא הוכחה לאי-עיקביות ZF , ללא הנחת קיומה של f כחח"ע ועל,

אך כבר נתתי הוכחה זו, אשר אינה מחייבת את הנחת קיומה של f כחח"ע ועל, והיא:

קבוצה A קיימת ב-ZF עפ"י אקסיומת ההפרדה

אקסיומת ההפרדה:

לכל תכונה P וקבוצה S , קיימת קבוצת כל האיברים ב-S, המקיימים את תכונה P

לפי אקסיומה זו, קיימת קבוצה A המכילה את כל האיברים בעלי תכונה P כאשר תכונה P במקרה דנן היא "איברי X , שאינם שייכים לתת-הקבוצות של X איתן הם ממופים".

(זהו, דרך אגב, המקרה שבו A הינה מחוץ לטווח המיפוי של כל איברי X, לדוגמא: אם הקרדינל של קבוצת החזקה של X גדול מהקרדינל של X , הרי שיש איברים בקבוצת החזקה של X , אשר יהיו תמיד מעבר ליכולת למפות להם איבר X . להבנת הנ"ל עיין נא בערך האלכסון של קנטור).

קבוצה A אינה קיימת ב-ZF עפ"י אקסיומת ההפרדה

אקסיומת ההפרדה:

לכל תכונה P וקבוצה S , קיימת קבוצת כל האיברים ב-S, המקיימים את תכונה P

לפי אקסיומה זו, קיימת קבוצה A בתנאי שהיא מכילה את כל האיברים בעלי תכונה P כאשר תכונה P במקרה דנן היא "איברי X , שאינם שייכים לתת-הקבוצות של X איתן הם ממופים".

היות וקבוצה A איננה מכילה (מעצם הגדרתה) את כל איברי X , שאינם שייכים לתת-הקבוצות של X איתן הם ממופים , הרי שקבוצה A אינה ברת-קיום עפ"י אקסיומת ההפרדה.

שים נא לב, שבשני המקרים לא מניחים את קיומה של f כחח"ע ועל.

יש הבדל בין הוכחת עיקביות של ZF במסגרת ZF , לבין הוכחת אי-עקביות של ZF במסגרת ZF. הוכחת העיקביות של ZF במסגרת ZF, אליבא דגדל, אינה אפשרית (אם הבנתי אותו נכון), אך לשם הוכחת אי-עיקביות של ZF, כל שצריך להראות הוא, שניתן להגיע לדבר והיפוכו (ובמקרה דנן, A קיימת ולא-קיימת במסגרת ZF, מכוחה של אקסיומת ההפרדה) במסגרת ZF. האין זאת? דורון שדמי 00:34, 2 באוקטובר 2006 (IST)

דרך אגב, יש דרך "להציל" את ZF מאי-עקביות והיא, לקבוע קטגורית מכוח אקסיומת ההפרדה, כי A היא מחוץ לטווח המיפוי של איבריה, ובכך מתקיימת שקילות בין אקסיומת ההפרדה למשפט קנטור לקבוצת החזקה.

ומכאן נובע שכל תהליך ההוכחה של משפט קנטור לקבוצת החזקה, הינו מיותר לחלוטין במסגרת ZF.

דרך נוספת "להציל" את ZF מאי-עקביות היא: לקבוע קטגורית כי קבוצה A אינה ברת-קיימה עפ"י אקסיומת ההפרדה. אך אז לא ניתן להגיע לפרדוקס המאפשר את הוכחת משפט קנטור לקבוצת החזקה, והמכסימום שאנו יכולים להוכיח בנושא זה הוא האלכסון של קנטור.

אני מניח שרוב המתמטיקאים היו בוחרים "באפשרות ההצלה" הראשונה, כי במסגרתה (והפעם מכוחה הישיר של אקסיומת ההפרדה, וללא משפט קנטור לקבוצת החזקה) ממשיכות להתקיים אינסוף עוצמות של אינסוף.

יש היבט נוסף לסוגייה הנ"ל, הקשור לפירוש מציאות עפ"י מכניקת הקוואנטים.

על פי מכניקת הקוואנטים, יכולים להתקיים דבר והיפוכו במצב של סופרפוזיציה (ובמקרה דנן גרסת ZF המקיימת את קבוצה A + גרסת ZF אשר אינה מקיימת את קבוצה A).

עתה קיימות שתי גישות שונות והן:

א. קריסת הסופרפוזיציה למציאות אחת ואחת בלבד (צרמלו-פרנקל עם A או (xor) צרמלו-פרנקל ללא A)

ב. פיצול לשתי מציאויות (אין קריסה של הסופרפוזיציה), שבאחת מתקיימת צרמלו-פרנקל עם A ובשנייה מתקיימת צרמלו-פרנקל ללא A.

גם א. וגם ב. מבוססות על מסורת החשיבה המערבית, המונעת קיומם של דבר והיפוכו באותה מציאות. דורון שדמי 12:19, 2 באוקטובר 2006 (IST)

התנאי כל ומשפט קנטור לקבוצת החזקה

התנאי כל מונע את קיומו של ידידנו הספר מ"פרדוקס-הספר" כי:

אם הספר מספר את עצמו, הרי שעל-פי תכונתו (שהיא "לספר רק את כל אנשי העיירה, שאינם מספרים את עצמם") הוא מספר יותר מרק את כל אלה, שאינם מספרים את עצמם, או במילים אחרות, תכונתו של הספר שקולה לביטוי השיקרי כל=יותר מכל .

אם הספר לא מספר את עצמו, הרי שעל-פי תכונתו (שהיא "לספר רק את כל אנשי העיירה, שאינם מספרים את עצמם") הוא מספר פחות מרק את כל אלה, שאינם מספרים את עצמם, או במילים אחרות, תכונתו של הספר שקולה לביטוי השיקרי כל=פחות מכל .

התנאי כל איננו מאפשר את קיומו של ספר כזה, בדיוק כמו שהשיוויון בביטויים כל=יותר מכל או כל=פחות מכל, אינו בר-קיימה.

במילים אחרות, אם אין ספר, אז אין פרדוקס.

אי-היכולת להוכיח את משפט קנטור לקבוצת החזקה, במסגרת ZF , נובע ישירות מאי-היתכנות פרדוקסים כדוגמת "פרדוקס הספר" (משפט קנטור לקבוצת החזקה מבוסס עליו).

הבה ונבחן אפשרות נוספת והיא:

קבוצה A קיימת ב-ZF בתנאי שהיא לא סותרת אף אקסיומה ב-ZF.

אקסיומת ההפרדה משתמשת בתנאי כל, המאפשר הפניה עצמית המונעת את אפשרות קיומו של התנאי כל.

כדי למנוע סתירה עצמית זו (עיין נא בערך הפרדוקס של ראסל), מונעת ZF את האפשרות של הפניית קבוצה לעצמה (אם הפניה זו מונעת את האפשרות "לציית" במדויק לאמור באקסיומה) כחלק מהגדרת הקיום שלה.

לכן קיומה של קבוצה A במסגרת ZF, חייב להבחן לא רק עפ"י אקסיומת ההפרדה, אלא גם עפ"י האקסיומות העוסקות בהפנייה עצמית.

השורה התחתונה של בחינה זו היא: A אינה קיימת במסגרת ZF.

היות ו-A אינה קיימת ב-ZF , אז משפט קנטור לקבוצת החזקה אינו ניתן להוכחה במסגרת ZF.

(גדי אלכסנדרוביץ', אם יש לך דעות מנומקות משלך, אנא הגב לדברי. אבקש ממך לא להשתמש בכוח השררה הטכנולוגי העומד לרשותך, ולהמנע מהסרת תגובות מנומקות-היטב שאינן מישרות קו עם הדיעה המקובלת.) דורון שדמי 01:20, 5 באוקטובר 2006 (IST)

אי אפשר להוכיח את משפט קנטור ב-ZF? יאיר ח. 16:06, 5 באוקטובר 2006 (IST)

לפי הכתוב לעיל, התשובה היא: משפט קנטור לקבוצת החזקה אינו ניתן להוכחה במסגרת ZF, כי לא ניתן להגיע לפרדוקס המבוקש, המאפשר להוכיח כי f איננה חח"ע ועל. דורון שדמי 01:20, 5 באוקטובר 2006 (IST)

לצערי, לא למדתי את תורת הקבוצות האקסיומטית מעבר לבסיס בסיסה, אבל אני די בטוח שאתה טועה באמירה ש"כל קבוצה שאינה סותרת את האקסיומות של ZF קיימת". בין האקסיומות של ZF קיימות מספר אקסיומות שמתארות בדיוק אלו קבוצות ניתן ליצור ואלו לא ניתן ליצור. אחת מהאקסיומות הללו מאפשרת ליצור את הקבוצה שמתוארת בהוכחה (שהיא קבוצת כל ה-x-ים שמקיימים יחס מסוים שקל להגדיר אותו בפסוק פורמלי באמצעות שימוש בשפה של תורת הקבוצות האקסיומטית בלבד). ההוכחה היא על דרך השלילה, ולכן מה שמתקבל אינו פרדוקס אלא סתם סתירה, ששוללת את ההנחה ההתחלתית- שקיימת פונקציה על מקבוצה מסויימת לקבוצת החזקה שלה, כמו שנדרש. יאיר ח. 16:47, 5 באוקטובר 2006 (IST)

לא טענתי כי "כל קבוצה שאינה סותרת את האקסיומות של ZF , קיימת".

אני מניח שהטעות נובעת מהניסוח שכתבתי ולפיו "קבוצה A קיימת בתנאי שהיא לא סותרת אף אקסיומה ב-ZF". אני מסכים איתך, זהו נוסח לא ברור ולכן שיניתי אותו ל-"קבוצה A קיימת ב-ZF בתנאי שהיא לא סותרת אף אקסיומה ב-ZF".

תודה יאיר על תשומת ליבך, ואודה לך אם תקרא בשנית את האמור לעיל (תיקנתי אותו). דורון שדמי 01:20, 5 באוקטובר 2006 (IST)

כדי לוודא שאנו מדברים באותה שפה, אני אשתמש בתיאור האקסיומות כמו שהן מופיעות בערך תורת הקבוצות האקסיומטית, ובסימונים שבערך הזה.

לפי האקסיומה ה-6 לכל קבוצה ולכל הצהרה (פסוק עם משתנה חופשי אחד) קיימת תת קבוצה שהיא קבוצת כל האיברים שמקיימים את אותה הצהרה. במקרה שלנו הקבוצה הגדולה היא X, ההצהרה היא "x לא שייך ל- f(x)" שאותה ניתן בוודאי להצרין באופן פורמלי, ותת הקבוצה שבהכרח קיימת היא A. אבל קיום של קבוצה כזו הוא בלתי אפשרי כי בלה בלה בלה... כלומר קבלנו סתירה בין ההנחה שלנו (קיום הפונקציה f שהיא על מקבוצה החזקה לקבוצה X) לבין האקסיומות של ZF => ב-ZF הנחת השלילה היא שקרית=> משפט קנטור מתקיים. יהיה יותר נוח אם תכנס לחשבון שלך, זה יחסוך אי נעימיות כמו הצורך לתקן את החתימה שלך, וכן גם נוכל להעביר את השיחה לדף השיחה שלך. יאיר ח. 19:03, 5 באוקטובר 2006 (IST)

היות והתנאי הוא "...קיימת תת-קבוצה שהיא קבוצת כל האיברים שמקיימים את ההצהרה", אז ברור לחלוטין כי A איננה עומדת בדרישות האקסיומה ה-6, מפני שמעצם הגדרתה היא אינה יכולה להכיל את כל האיברים בעלי תכונה P (או מה שאתה מכנה "לקיים את ההצהרה"). דורון שדמי 15:01, 6 באוקטובר 2006 (IST)

יאיר כתבת את המשפט הבא: "A לא צריכה לעמוד בדרישות של האקסיומה ה-6, היא עצמה היא הקבוצה שקיומה מובטח באותו מקום."

הרשה נא לי לחלוק עליך, כי מבחינת קיום, אלמנט מתמטי הסותר אקסיומה במערכת תלוית-הקשר, אינו בר-קיימה באותה מערכת מלכתחילה (ואל תבלבל זאת עם אי-הכריעות המתקיימת במשפטי אי-השלמות של גדל, שלפיהם בכל מערכת פורמלית שיש בכוחה להכיל את תורת-המספרים (אריתמטיקה),מתקיימת ישות מתמטית (נוסחה) , אשר אינה ניתנת להוכחה, וששלילתה אינה ניתנת להוכחה, במסגרת המערכת הנ"ל). זהו תנאי יסוד לקיומה של מערכת עיקבית. ולכן מלכתחילה אין A קיימת ב-ZF או במילים אחרות, אי-קיום A ב-ZF מוכרע מלכתחילה.

אם אינך מסכים איתי, אנא הסבר בפירוט, כיצד A קיימת במערכת, שהאקסיומה ה-6 היא חלק ממנה, בסתירה לאמור באקסיומה ה-6?

כל שהדגמת הוא רצונך לפתור טענה במסגרת ZF (משפט קנטור לקבוצת החזקה, במקרה זה) תוך התעלמות מההגבלות שמטילות אקסיומות ZF על אלמנטים הקיימים במסגרת ZF (לדוגמא: ראה את האקסיומות שנכתבו במיוחד כדי להמנע מהפרדוקס של ראסל). דורון שדמי 17:19, 6 באוקטובר 2006 (IST)

אתה מסכים שאם f איננה על אין שום בעיה עם קיום A (כמו לדוגמא במקרה הטריוויאלי f(x)={x} או מקרים אחרים)? יאיר ח. 20:04, 7 באוקטובר 2006 (IST)

אני לא בטוח שאני הבנתי. הפונקציה שהגדרת בכלל לא מעתיקה אברים ב-X לתת קבוצות של X. הכוונה לפונקציה שמעתיקה את x לקבוצה שהאיבר היחיד שלה הוא x? במקרה הזה A היא הקבוצה הריקה דווקא (ואני בטוח שדורון לא מוכן להכיר בקיומה של הקבוצה הריקה, בהתחשב בקלילות שבה הוא מבטל דברים על ימין ועל שמאל). גדי אלכסנדרוביץ' 21:02, 7 באוקטובר 2006 (IST)

זו היתה הכוונה שלי, ואתה צודק ש-A במקרה הזה היא הקבוצה הריקה- טעות שלי (אבל היא לפחות מוגדרת היטב וקיימת). יאיר ח. 22:38, 7 באוקטובר 2006 (IST)

הוכיחו נא כי A אינה קבוצה לא-ריקה, בכל תנאי וללא יוצא מן הכלל. ואם הוכחתם זאת, אנא הוכיחו כי "תוכן" {} (כאשר {} היא בדיוק קבוצה A, לטענתכם) הינו איבר של X (שימו נא לב היטב לעובדה, שאם איבר X ממופה עם {}, הרי שלפי הגדרת A, האיבר הממופה חייב להיות ב-A אך גם לפי הגדרת A, האיבר הממופה אינו יכול להיות ב-A ולכן A הינה קבוצה לא-ריקה ולא לא-ריקה (או, אם תרצו, ריקה וגם לא-ריקה) בעת ובעונה אחת, וזאת מעצם הגדרתה, ולכן קבוצה כזו אינה ברת-קיימה ב-ZF מלכתחילה מעצם הגדרתה.

מה שנעשה במשפט קנטור לקבוצת החזקה הוא הדבר הבא:

1. מגדירים "ישות מתמטית", אשר אינה יכולה להתקיים מעצם הגדרתה ומלכתחילה (אפריורית) במסגרת ZF.
2. מצמידים לה הנחה שאיננו חפצים ביקרה (ובמקרה זה, f הינה חח"ע ועל).
3. "מגלים" כי "הישות המתמטית" (קבוצה A , במקרה הנדון) אינה ברת-קיימה ב-ZF, ומכייון שתלינו את תקיפות הנחתנו ב"ישות המתמטית" הנ"ל (שלמעשה היא אינה קיימת אפריורית) אנו "מוכיחים" כי היות והנחת קיום "הישות המתמטית" מובילה לפרדוקס, אז הנחתנו (ובמקרה זה, f הינה חח"ע ועל) אינה נכונה.
4. בקיצור, אנו מניחים את המבוקש. דורון שדמי 10:30, 8 באוקטובר 2006 (IST)

גדי אוסיף כאן את שכתבתי בקשר לפרדוקס הספר (יש קשר הדוק בין פרדוקס זה למשפט קנטור לקבוצת החזקה), אין לך שום אפשרות לשחק ב"מה היה קורה אילו A קיימת", אם הדבר שאתה משחק איתו אינו קיים מלכתחילה (אפריורית).

במילים אחרות, אינך יכול מצד אחד לקבוע קטגורית תנאים שאינם ברי-קיימה מלכתחילה (אפריורית), ואז להפר את התנאים ולהגיע למסקנה כי יש פרדוקס, אשר קיומו הינו תוצאה של הפרת התנאים האפריוריים.

לכן אני קורא לכל המהלך של הפרת תנאי האיתחול (ההנחה שמה שאינו-קיים אפריורית, אכן קיים) והסקת "מסקנת" אי-קיומו, הנחת-המבוקש (כפי שהדגמתי לעיל), ולא היה, אין, ולא יהיה פה שום פרדוקס.

מה שכתבתי לעיל, אין לו שום קשר להשקפה אינטואיציוניסטית (כפי שטענת בדף השיחה של פרדוקס הספר), אלא הוא תוצר של מחשבה הטוענת שאין להפר כללים לאחר שנקבעו קטגורית, במערכת דדוקטיבית. דורון שדמי 12:45, 8 באוקטובר 2006 (IST)

דורון, אני חושש שאינך מבין מהו פרדוקס. לצערי איני יכול לומר יותר מכך שלא אמרתי כבר. גדי אלכסנדרוביץ' 14:44, 8 באוקטובר 2006 (IST)

גדי, אם אנו מנסים להגדיר "ישות מתמטית" אשר היא דבר והיפוכו, במסגרת מערכת אקסיומות תלויית-הקשר כגון ZF, אז "ישות מתמטית" זו אינה ברת-קיימה מלכתחילה_ובאופן_מיידי ב-ZF.

מיידיות אפריורית זו, מונעת את האפשרות לקיים הנחה ומסקנה במנותק זו מזו במסגרת ZF, והתוצאה היא: אי-קיומו של הפרדוקס המבוקש.

הפרדוקס מתקיים בצורה מלאכותית, תוך הפרת אי-הקיום המיידי של "ישות מתמטית" אשר היא דבר והיפוכו, והפרה זו הינה התעלמות מכלל יסוד בכל מערכת דדוקטיבית, הקובע כי: אין לשנות מצב במערכת דדוקטיבית, משהוגדר אפריורית, כי באותו רגע אין אנו עוסקים יותר במערכת דדוקטיבית, ו-ZF הינה מעל לכל ספק מערכת דדוקטיבית.

קיום מלאכותי זה של "ישות מתמטית" שהינה דבר והיפוכו, נובע מהפרדה כוחנית בין הנחה למסקנה, וב"פער" המתקיים ביניהן, ניתן להשחיל כל דבר שאיננו חפצים ביקרו, ע"י כך שאנו קושרים את גורל קיומו עם גורל "קיומה" של ה"ישות מתמטית" שהיא דבר בהיפוכו (ולכן, כצפוי, היא אינה ברת-קיימה במערכת כגון ZF) ובכך אנו מקבלים את התוצאה שחפצנו בה והיא, אי-היתכנותו של של הדבר שאיננו חפצים ביקרו (ובמקרה זה, קיומה של f כחח"ע ועל) במסגרת ZF.

הפרדה כוחנית ומלאכותית זו שבין "הנחה" ל"מסקנה", הינה משחק מכור מראש, הידוע בשמו המפורסם הנחת המבוקש. דורון שדמי 18:03, 8 באוקטובר 2006 (IST)

אני אתנסח מחדש- ללא ההנחה ש-f היא על, האם יש בעיה כלשהי עם הגדרת A? למעשה, כל משמעות ה"פרדוקס" לכאורה הזה הוא פשוט שלא קיים איבר z ב-X כך ש f(z)=A - כלומר זו הנחה שגויה ולא פרדוקס. אני יכול לתת לך מספר בן מנייה של דוגמאות של פונקציות בין קבוצה X לקבוצת החזקה שלה ובכל פעם לבנות במפורש את A. אם תרצה- A יכולה להיות כל X כמו לדוגמא:

$\ X=\mathbb {N} \ ,\ \ f(n)=\left\{n+1\right\}$

וכמובן ניתן לבנות פונקציות שונות ומשונות כך ש-A יהיה מה שתרצה- ריקה, מלאה, יחידון וכו' הכל למעט חלק מהתמונה של f. האקסיומה המדוברת מבטיחה שעבור כל פונקציה בין X לקבוצת החזקה שלה A קיימת. האקסיומה הזו מאוד טבעית ו(אני מאמין ש)אין בה סתירות עצמיות. אבל, אם נניח בשלילה שקיימת פונקציה בין X לקבוצת החזקה שהיא על, אז נקבל סתירה, ולא רגע אחד מוקדם יותר. בקיצור, הבעיה עם A היא אך ורק ההנחה ש-f היא על, בלעדיה A היא סתם עוד קבוצה ניתנת לבנייה ב-ZF. יאיר ח. 00:47, 9 באוקטובר 2006 (IST)

יאיר, אתה מתעלם מהתכונה המהותית של A המונעת את קיומה לפי אקסיומת ההפרדה והיא הפנייה עצמית. ללא תכונה זו אין שום בעיה להגדיר את A.

אקסיומת ההפרדה אומרת ש:

לכל תכונה P וקבוצה S , קיימת קבוצת כל האיברים ב-S, המקיימים את תכונה P

לפי אקסיומה זו, קיימת קבוצה A בתנאי שהיא מכילה את כל האיברים בעלי תכונה P כאשר תכונה P במקרה דנן היא "איברי X , שאינם שייכים לתת-הקבוצות של X איתן הם ממופים".

היות וקבוצה A איננה מכילה (מעצם הגדרתה) את כל איברי X , שאינם שייכים לתת-הקבוצות של X איתן הם ממופים , הרי שקבוצה A אינה מקיימת את תכונת עצמה (שהיא להכיל בדיוק את כל אברי X בעלי תכונה P), ולכן A אינה ברת-קיום עפ"י אקסיומת ההפרדה.

מצב זה הינו מיידי ואפריורי ומונע כל אפשרת של שימוש בהנחה, ומסקנה הבאה בעקבותיה.

אתה מגיע למסקנות כאלה או אחרות (במקרה זה הגעת למסקנה, כי לא קיים איבר ב-X הממופה עם A) כתוצאה מהתעלמות מאי-הקיום המיידי והאפריורי של A במסגרת ZF.

שים נא לב כי איננו צריכים להניח כלל את אי-קיומה של f כחח"ע ועל, מן הטעם הפשוט ש-A אינה קיימת מיידית ואפריורית מכוחה של אקסיומת ההפרדה, או במילים אחרות, אי-קיום A מיידית ואפריורית מונע כל אפשרות להניח הנחות ולהגיע למסקנות כלשהן, הקשורות במישרין או בעקיפין אליה, במסגרת ZF.

אם לא הבנת זאת, לא הבנת את דברי, ואתה עדיין נוקט בעמדת הרגע-לפני ורגע-אחרי, שהינו לא יותר מאשר הפרה בוטה של כלל יסוד של כל מערכת דדוקטיבית, הגורס כי: לא ניתן לשנות מצב, שהוגדר אפריורית, במסגרת השיטה הדדוקטיבית.דורון שדמי 10:34, 9 באוקטובר 2006 (IST)

אני לא מבין מה גורם לך להוסיף את המילה "בתנאי" במשפט "קיימת קבוצה A בתנאי שהיא מכילה את כל האיברים בעלי תכונה P", באקסיומה אין אותה. בנוסף נתתי לך דוגמאות בהן הקבוצה A היא קיימת ומוגדרת היטב, ואתה יכול בקלות להמשיך את אותו הרעיון ולעצב כרצונך את A על ידי בחירת פונקציה f מתאימה, ולכן אני לא מבין למה אתה טוען ש-A לא קיימת מראש (לפני שהנחנו ש-f היא על). אני אומר "לפני" ו"אחרי", וכמובן אני לא מתכוון שרגע אחד A קיימת ורגע אח"כ היא לא, אלא רק מדגיש מהי הנקודה שבה מתקבלת סתירה, על ידי הוספת הנחות השלילה אחת אחת. היות ויש רק הנחת שלילה אחת - אז לפני שהנחנו אותה (ללא ההנחה) מתקבל ש-A כמובן קיימת, ואמנם מתברר שלא יכולה להיות בה הפניה עצמית אבל זה גם לא משנה לנו בשלב זה. אגב, עד עכשיו כל פעם ששמעתי "הפניה עצמית" דובר על טענה שמדברת על עצמה, או לחלופין קבוצה שמכילה את עצמה, ולכן לקרוא למקרה כאן הפניה עצמית- זה חידוש בשבילי (כל יום לומדים דבר חדש), שמוכיח שהפניה עצמית לא בהכרח מובילה לסתירה. יאיר ח. 18:46, 9 באוקטובר 2006 (IST).

יאיר, הראה נא כיצד A קיימת, כאשר התנאי לקיומה הוא דרישה קטגורית להכיל בדיוק את כל האיברים בעלי תכונה P , וזאת ללא יוצא מן הכלל (כאשר הכלל מוכתב במלואו ע"י אקסיומת ההפרדה).

לפני שתתחיל, כדאי לך לנסות להבין את דבריו של ויטגנשטיין, אשר אמר: "מה שאי-אפשר לדבר עליו, על אודותיו יש לשתוק" (כאשר פירוש זה לעיניננו הוא: "מה שאי-קיומו נובע אפריורית מתוקף אקסיומה במערכת דדוקטיבית תלויית-הקשר, אין להניח לגביו דבר, למעט אי-קיומו האפריורי").

אם תעמוד באתגר זה, אקבל את דעתך. דורון שדמי 9:38, 10 באוקטובר 2006 (IST)

ברשותך אני אעתיק את הדוגמא השניה שנתתי בעניין, כי היא כתובה כבר בקוד LaTeX:

$\ X=\mathbb {N} \ ,\ \ f(n)=\left\{n+1\right\}$

$\ A=\left\{x\in X|\ x\notin f(x)\right\}=\left\{n\in \mathbb {N} |\ n\neq n+1\right\}=\mathbb {N}$

זוהי דוגמא למצב בו ( f אינה על ו-) A קיימת, מוגדרת היטב. אפשר לעשות את אותו הדבר כאשר מחליפים את N במספרים השלמים מודולו p כדי לקבל דוגמאות סופיות כרצוננו.

עדיין לא ברור לי למה אתה מניח שאותו פסוק שעליו האקסיומה מדברת צריך לקיים תנאי כלשהו, מלבד שהוא יהיה בעל משתנה חופשי אחד? איך שאני מבין את זה - גם הפסוק "x לא שייך ל-x" הוא בסדר גמור, למרות ההפניה העצמית, ועבור כל קבוצה X קיימת לה תת קבוצה שהיא פשוט קבוצת כל אותן הקבוצות ב-X שאינן מכילות את עצמן. היות והאקסיומת ההפרדה היא בפרט אקסיומה אין לנו צורך לתהות על קנקנה ולשאול האם היא עקבית או לא אלא אנו מתייחסים אליה כעקבית ולכן כל קבוצה שניתן ליצור באמצעותה ודאי קיימת ואם מתברר לנו שהיא לא קיימת- זה באשמת איזו הנחה נוספת שהנחנו ולא בגלל בעיה בפסוק P או משהו כזה.

טענת מתישהו שההוכחה היא פשוט הנחת המבוקש- אם כן אז היינו יכולים להחליף את ההנחה בהיפוכה (מקיום פונקציה על מ-X ל-(P(X לאי-קיום של כזו) ולקבל הוכחה תקינה, אבל זה פשוט לא פועל. יאיר ח. 12:30, 10 באוקטובר 2006 (IST)

יאיר, כתבת:"...ועבור כל קבוצה X קיימת לה תת קבוצה שהיא פשוט קבוצת כל אותן הקבוצות ב-X שאינן מכילות את עצמן".

תשובתי: "אז זהו, שלא קיימת תת-קבוצה שהיא קבוצת כל אותן הקבוצות ב-X שאינן מכילות את עצמן, מן הטעם הפשוט, שעצם הגדרת הקבוצה, מונע ממנה אפריורית לענות על הדרישה הקטגורית כל המופיעה באקסיומת ההפרדה."

יאיר, כתבת: "...זוהי דוגמא למצב בו ( f אינה על ו-) A קיימת, מוגדרת היטב".

תשובתי לנ"ל היא: "זוהי איננה A אם היא קיימת, כי A איננה קיימת, ואי-קיומה מוגדר היטב עפ"י אקסיומת ההפרדה". דורון שדמי 15:11, 10 באוקטובר 2006 (IST)

יאיר, לפני שעוזי מחק את הדו-שיח ביננו פתחת בדברים:

ברשותך אני אעתיק את הדוגמא השניה שנתתי בעניין, כי היא כתובה כבר בקוד LaTeX:

$\ X=\mathbb {N} \ ,\ \ f(n)=\left\{n+1\right\}$

$\ A=\left\{x\in X|\ x\notin f(x)\right\}=\left\{n\in \mathbb {N} |\ n\neq n+1\right\}=\mathbb {N}$

זוהי דוגמא למצב בו ( f אינה על ו-) A קיימת, מוגדרת היטב. יאיר ח. 12:30, 10 באוקטובר 2006 (IST)

הגדרת A במשפט קנטור היא: תהי A קבוצת כל איברי X , שאינם שייכים לתת-הקבוצות של X איתן הם ממופים.

הוכח נא כי מה שכתבת לעיל עונה במדויק על הגדרה זו. דורון שדמי 00:21, 11 באוקטובר 2006 (IST)

התנאי כל ופרדוקס הספר

עוזי, אחד מהאופנים לשיפור ערך, היא לחשוף טעויות הקשורות אליו, כאשר חשיפה זו מאפשרת עידון ההבנה, הנוגעת לערך. מכייון שאני עוסק בשיפור הערך, אבקש ממך להפסיק למחוק את שאני כותב, ובמקום זאת להראות בצורה בהירה וחד-משמעית כי אין כל טעות בערך.

 אינני שותף לדעתך כי אנציקלופדיה הינה מפעל טכני להצגת ידע, אשר אינו מתיר במסגרתו שום התייחסות לערכו של הידע.

התנאי כל מונע את קיומו של ידידנו הספר מ"פרדוקס-הספר" כי:

אם הספר מספר את עצמו, הרי שעל-פי תכונתו (שהיא "לספר רק את כל אנשי העיירה, שאינם מספרים את עצמם") הוא מספר יותר מרק את כל אלה, שאינם מספרים את עצמם, או במילים אחרות, תכונתו של הספר שקולה לביטוי השיקרי כל=יותר מכל .

אם הספר לא מספר את עצמו, הרי שעל-פי תכונתו (שהיא "לספר רק את כל אנשי העיירה, שאינם מספרים את עצמם") הוא מספר פחות מרק את כל אלה, שאינם מספרים את עצמם, או במילים אחרות, תכונתו של הספר שקולה לביטוי השיקרי כל=פחות מכל .

התנאי כל איננו מאפשר את קיומו של ספר כזה, בדיוק כמו שהשיוויון בביטויים כל=יותר מכל או כל=פחות מכל, אינו בר-קיימה.

במילים אחרות, אם אין ספר, אז אין פרדוקס. דורון שדמי 01:20, 5 באוקטובר 2006 (IST)

1. בסופו של עניין, הסיפור על הספר הוא פרדוקס, שתכליתו להוכיח שהתנאי בלתי אפשרי. כלומר, לא קיימת עיירה שבה הספר ממלא תנאי כזה. אם כך, מה זה משנה אם הסתירה להנחת קיומו של הספר מופיעה כך או אחרת? אם נכתוב "ההנחה 2+3=4" אינה נכונה, אפשר להסביר זאת בכך ש-4 שונה מ-5, ואפשר בכך שאם נחסר משני האגפים 2 נקבל 2 במקרה אחד, ו- 3 באחר. זה הרי לחלוטין לא חשוב.
2. יש לך הרגל לפרק ביטויים משמעותיים למרכיבים חסרי משמעות, ולהטיח אותם זה בזה. המלה "כל" איננה פסוק לוגי - זו רק מלה. לטענות מהצורה "התנאי כל איננו מאפשר את קיומו של ספר כזה" אין מובן. הרי זה כמו לקחת נאום פוליטי על החיזבאללה, ולטעון שהחיז הוא שבגללו הבאללה מתנהג כך וכך (גם בדוגמא הזו, אפשר לפרק את המלה למרכיבים משמעותיים - "חיזב" ו"אללה"; אבל לא *כל* פירוק הוא משמעותי).
3. דינו של הדיון הזה להמחק, משום שהוא אינו תורם לערך. עוזי ו. 15:36, 5 באוקטובר 2006 (IST)

1. הוצא נא את המילה כל מ"פרדוקס הספר", וראה זה פלא, הספר קיים ואין לך עילה לפרדוקס, לדוגמא: אין שום בעיה קיומית לספר המספר את אנשי העיירה, שאינם מספרים את עצמם, כי ללא התנאי כל, לא מתקיימת ההפניה העצמית העומדת בבסיס ה"פרדוקס".
2. בתחילתו ובסופו של דבר, "קיומו" של הספר שקול ל"קיומו" של "השיוויון" בביטויים כל=יותר מכל או כל=פחות מכל.
3. היות והספר לא קיים מלכתחילה, אין שום טעם לרקום עלילה סביבו, אשר מובילה ל"מסקנה" כי הוא אינו קיים (יעני פרדוקס). לפרדוקס הזה יש שם יותר מדויק והוא: הנחת המבוקש, שבה מכוונת מסקנה "לגלות" את מה שמוגדר מלכתחילה.
4. אצטט את דבריך:"אם נכתוב "ההנחה 2+3=4" אינה נכונה, אפשר להסביר זאת בכך ש-4 שונה מ-5, ואפשר בכך שאם נחסר משני האגפים 2 נקבל 2 במקרה אחד, ו- 3 באחר. זה הרי לחלוטין לא חשוב.". תשובתי לדבריך אלה היא: 4=2+3 אינה_נכונה_מיידית אם היא סותרת את מערכת האקסיומות של תורה מתמטית תלוית-הקשר, ולא צריך כל הנחה מקדימה כדי להגיע למסקנה זו. "ערך" ההנחה המקדימה במקרה הנדון, שקול ל"ערך" הטמון בהנחה ששיוויון(קטגורית ואפריורית) אינו שיוויון.
5. במילים אחרות, עוזי, דינו של דיון זה להשאר, ולהדגים הלכה למעשה את הכשל הטמון ב-"פרדוקס הספר" והוא הכשל הידוע בשם הנחת-המבוקש, שבה המסקנה "מגלה" את מה שהוגדר מלכתחילה (אפריורוית) ובמקרה דנן מדובר ב"גילוי" אי-קיומו האפריורי של הספר (וכל הקשור אליו). דורון שדמי 14:34, 6 באוקטובר 2006 (IST)

דילמה כוזבת, הספר הוא קירח ולכן הוא לא מספר את עצמו ואחרים לא מספרים אותו

מבריק. גדי אלכסנדרוביץ' 12:07, 17 ינואר 2006 (UTC)

קירחותו של הספר אינה מעלה ואינה מורידה. לפי הטענה שביסוד הפרדוקס, מי שאינו מספר את עצמו (והקרחים בכלל זה), אמור להיות מסופר על-ידי הספר. עוזי ו. 16:04, 4 באוקטובר 2006 (IST)

(מילה לגדי אלכסנדרוביץ': שים לב כי עוזי לא מסכים עם דעתך (כתבת "מבריק" לרעיון הספר הקרח) ובכל זאת אינך מוחק את דבריו. במילים אחרות, אתה מוחק את הנכתב בדף השיחה עפ"י גופו של אדם ולא עפ"י גופו של עניין. אבקש ממך להמנע משררה כוחנית זו).

עוזי, אם היינו אומרים ש:"בעיירה פלונית קיים ספר המספר רק את האנשים, שאינם מספרים את עצמם", הרי היה ברור מלכתחילה, כי קבוצה זו מעצם טבעה אינה חייבת להכיל את כל האנשים, שאינם מספרים את עצמם, ואז קבוצה זו הינה ברת-קיום בעיירה הפלונית. המצב משתנה לחלוטין, כאשר נאמר כי:"בעיירה פלונית קיים ספר המספר רק את כל האנשים, שאינם מספרים את עצמם". במצב זה, קיומה של קבוצת_כל_האנשים_שאינם_מספרים_את_עצמם אינו אפשרי, אם היא אינה מקיימת את הגדרת עצמה. היות והקבוצה הנ"ל אינה מקיימת את התנאי כל, היא אינה קיימת מלכתחילה (טבעה הינו אי-קיום) ולכן הפרדוקס אינו בר-קיימה.

הבה ונבחן את האנלוגיה הבאה:

נאמר שהתנאי כל המופיע בהגדרת הקבוצה, שקול לדרישה כי מערכת של חוליות תוכל לחבור לשרשרת סגורה, שבה כל חוליה מקושרת בדיוק לחוליה אחת שלפניה ולחוליה אחת שאחריה. במילים אחרות, אם השרשרת אינה מקיימת את כלל החיבור בין החוליות, לא תתקיים שרשרת כנ"ל (או במילים אחרות, התנאי כל אינו מתקיים).

כאשר אנו בודקים את השרשרת, אנו מגלים כי אין אנו יכולים לסגור את השרשרת (חסרה החוליה הסוגרת, כאשר מצב זה שקול ל"שיוויון" כל=פחות_מכל) או לחילופין, אם אנו סוגרים את השרשרת, אז סגירה זו אינה מקיימת בדיוק את חוק החיבור בין החוליות (במקרה זה יש לנו חוליה עודפת, כי החוליה שאמורה לחבור אליה, מדלגת עליה, וחוברת לחוליה שכבר מחוברת אליה, ובכך אנו מקבלים שרשרת סגורה, עם חוליה החורגת מהמצב הסגור, כאשר מצב זה שקול ל"שיוויון" כל=יותר_מכל).

זהו בדיוק מצבה של הקבוצה המתוארת בפרדוקס הספר, או במילים אחרות, היא אינה קיימת מעצם טבעה (לא מתקיים השיוויון כל=כל). דורון שדמי 18:21, 7 באוקטובר 2006 (IST)

(גדי שוב מחק את דברי בדף השיחה של הערך פרדוקס הספר, כאשר הפעם הוא מפנה את ההצדקה למעשיו לגופו שלו "כתבתי את דברי על הקרח בסרקזם" הוא טוען, ומתוך דבריו אלה הוא מסיק, מבלי לטרוח כלל להגיב לתוכן דברי, כי הם מיותרים. אכן גישה "נאורה" של תרבות-שיחה)

דיון עם דורון (פרדוקס הספר)

גדי, הספר הנדון לא קיים מלכתחילה, כי אין הוא מקיים מלכתחילה את תכונתו-העצמית שהיא "לספר רק את כל אנשי העיירה שאינם מספרים את עצמם". אם אינך מסכים איתי, הראה נא כיצד ספרנו אכן מקיים בדיוק (לא פחות ולא-יותר) את תכונת עצמו מלכתחילה. דורון שדמי 22:51, 7 באוקטובר 2006 (IST)

אני דווקא בהחלט מסכים. הספר הנ"ל לא קיים ולא יכול להיות קיים - זו המסקנה הנגזרת מהפרדוקס. גדי אלכסנדרוביץ' 23:01, 7 באוקטובר 2006 (IST)

האם אתה מסכים כי הספר לא קיים מלכתחילה כפי שתארתי בעיל? דורון שדמי 23:07, 7 באוקטובר 2006 (IST)

כן. כאמור, זה כל הרעיון. מה חשבת שיקרה, שהספר דווקא כן יהיה קיים בתחילה, ואז פתאום יגלה שהוא חי בפרדוקס ויתפוצץ? גדי אלכסנדרוביץ' 23:18, 7 באוקטובר 2006 (IST)

אם הספר אינו קיים מלכתחילה האם אתה מסכים כי ההנחה והמסקנה (בקשר לאי-קיומו של הספר) חד-הם? דורון שדמי 23:30, 7 באוקטובר 2006 (IST)

אני לא מבין. מה ההנחה? ההנחה היא שהספר כן קיים, ואנו רואים שההנחה הזו מביאה לפרדוקס, ולכן המסקנה היא שההנחה שגויה. גדי אלכסנדרוביץ' 23:34, 7 באוקטובר 2006 (IST)

אם אתה מקבל את ההנחה שהספר לא קיים מלכתחילה, הרי שאין כאן כל פרדוקס, וכל מה שניתן להסיק הוא שדבר שאינו קיים מלכתחילה, דינו לא-להתקיים.

אם אתה מניח באופן-מלאכותי, שדבר שדינו לא להתקיים מלכתחילה אכן קיים, אז אתה מתנהג בדיוק כמו ברעיון הפיצוץ שכתבת לעיל. דורון שדמי 23:46, 7 באוקטובר 2006 (IST)

מה שעושים הוא לשחק ב"מה היה קורה אילו". המסקנה שנובעת מהמשחק היא שהספר לא היה קיים מלכתחילה, כי אם היה קיים היינו מגיעים לפרדוקס. בכל מקרה לא ברור לי לא מה בעייתי כאן ומה הקשר של זה לפרדוקס הספר דווקא, כי זה נכון לכל הוכחה בשלילה. כבר אמרתי במקום אחר שאם אינך מקבל את הרעיון של הוכחה בשלילה אתה מוזמן להצטרך לאינטואיציוניסטים ולהסכים איתי שאין לנו שפה משותפת וגם לא תהיה. גדי אלכסנדרוביץ' 23:49, 7 באוקטובר 2006 (IST)

גדי, אין לך שום אפשרות לשחק ב"מה היה קורה אילו X קיים", אם הדבר שאתה משחק איתו אינו קיים מלכתחילה (אפריורית). במילים אחרות, אינך יכול מצד אחד לקבוע קטגורית תנאים שאינם ברי-קיימה מלכתחילה (אפריורית), ואז להפר את התנאים ולהגיע למסקנה כי יש פרדוקס, אשר קיומו הינו תוצאה של הפרת התנאים האפריוריים. לכן אני קורא לכל המהלך של הפרת תנאי האיתחול (ההנחה שמה שאינו-קיים אפריורית, אכן קיים) והסקת "מסקנת" אי-קיומו, הנחת-המבוקש, ולא היה, אין, ולא יהיה פה שום פרדוקס.

מה שכתבתי לעיל, אין לו שום קשר להשקפה אינטואיציוניסטית, אלא הוא תוצר של מחשבה הטוענת שאין להפר כללים לאחר שנקבעו קטגורית, במערכת דדוקטיבית. דורון שדמי 00:23, 8 באוקטובר 2006 (IST)

כרגיל וכצפוי הגענו למבוי סתום. אחכה זמן מה כדי שתוכל להעתיק את הדיון לדף השיחה שלך בצורה שמוצאת חן בעינייך, ואוריד אותו מכאן מטעמי אי רלוונטיות. גדי אלכסנדרוביץ' 07:38, 8 באוקטובר 2006 (IST)

לא גדי, כרגיל נסתתמו טענותיך. אינך מסוגל להפנים השקפה מדויקת יותר בנושא הנדון, ואז אתה פונה אל דרך השררה הטכנולוגית, ומסיר את כל מה שאינו מסתדר עם השקפת עולמך, ואתה עושה זאת לאורך זמן ובשיטתיות בלתי-נלאית "מעוררת-כבוד".דורון שדמי 09:39, 8 באוקטובר 2006 (IST)

שדמי, קוראים לזה "הוכחה בשלילה". הנחנו שיש כזה ספר, ראינו שהגענו לפרדוקס ומכאן הוכחנו שלא יכול להיות כזה ספר. צהוב עולה 10:46, 8 באוקטובר 2006 (IST)

עולה, חוששני שאתה חוזר על מה שלמדת, מבלי לקרוא את פרטי הדיאלוג בין גדי וביני. אנא קרא בתשומת לב את כל הנאמר בדיאלוג, לפני שאתה מגיב, ואז הגב נא לתוכנו. תודה ".דורון שדמי 14:51, 8 באוקטובר 2006 (IST)

קראתי בעיון לפני שהגבתי, עושה רושם שבכלל לא הבנת מה רוצים ממך בפרדוקס הזה, אם אין ספר כמו המתואר. רעיון הפיצוץ מן הסתם היה הולך רק אם הסיפור היה כרונולוגי (קודם יש ספר, אחר כך הוא מספר את כולם מלבד מי שמספרים את עצמם, ואחר כך שואלים מי מספר אותו - והוא מתפוצץ, כמו בסרטים המצויירים שהדמות נזכרת שהיא לא יכולה לעמוד באוויר ונופלת), אבל הסיפור לא כרונולוגי ולכן אין סיבה שיתפוצץ אלא הוא פשוט לא קיים. צהוב עולה 01:55, 9 באוקטובר 2006 (IST)

עולה, חוששני שאתה מגיב לדורון מבלי להיות מודע לכך שזה חסר תוחלת. לא שאני מאשים אותך; אני מודע לכך ועדיין מגיב לפעמים, כי הנושא המתמטי מעניין אותי. גדי אלכסנדרוביץ' 08:47, 9 באוקטובר 2006 (IST)

עולה, עושה רושם שכלל לא הבנת, שהיות ו-X לא קיים מלכתחילה, אז לא ניתן לדבר על שום הנחה (X קיים) ומסקנה (ו-X לא קיים) הבאה בעקבותיה, ללא שום קשר לכרונולוגיה. היות ו-X לא קיים מלכתחילה, אז ההנחה והמסקנה חד-הם, או במילים אחרות:

X לא-קיים = הנחה = מסקנה

בקיצור, היות ומלכתחילה אין ספר, אז לא ניתן להשתמש בו כדי להוכיח משהו במסגרת ZF. דורון שדמי 18:24, 9 באוקטובר 2006 (IST)

הבנתי מגדי שאין מה להגיב לך, אך אגיד שבעצם לטענתך אין כזה מושג בכלל, הוכחה בשלילה. דוגמה להוכחה בשלילה - אני מניח ש-A ו-B לא מתלכדים, ואז על ידי חיבור ישר ביניהם, אני מצליח להוכיח שסכום הזוויות במשולש כלשהו שונה מ-180 מעלות, ומכך אני מגיע למסקנה ההפוכה - A ו-B מתלכדים. מה שאתה אומר הוא שמכיוון שמלכתחילה A ו-B מתלכדים ההוכחה לא תופסת, והיא כן. צהוב עולה 18:59, 9 באוקטובר 2006 (IST)

בעצם, אני חושב שהבנתי למה התכוונת - זה לא פרדוקס מכיוון שאין כזה ספר "מלכתחילה". על כך אני מסכים איתך, זה אכן לא פרדוקס אמיתי, ולכן כתוב בערך "הנחות היסוד של הפרדוקס שגויות, ומכאן נובעת הסתירה" - כלומר זה לא פרדוקס אלא רק הנחות היסוד שגויות. צהוב עולה 19:02, 9 באוקטובר 2006 (IST)

האם תוכל לתת לי דוגמה לפרדוקס "אמיתי"? טרם נתקלתי בפרדוקס שבו לא היו הנחות שגויות, או הגדרות שמהן נובעת תוצאה לא אינטואיטיבית (למשל, הפרדוקס של גלילאו). לדעתי אין דבר כזה, פרדוקס "אמיתי". גדי אלכסנדרוביץ' 19:22, 9 באוקטובר 2006 (IST)

צהוב עולה, האם ידוע לך כי אכן קיימים משולשים אשר סכום זוויותיהם אינו 180 מעלות? ( עיין נא בערך גיאומטריה לא-אוקלידית). במילים אחרות, הוכחה הינה תמיד במסגרת מערכת אקסיומות תלויית-הקשר, או במילים אחרות, לפי הגישה הדדוקטיבית, מה שאינו בר-קיימה מלכתחילה, במערכת אקסיומות תלויית-הקשר, אינו יכול לשמש כאמצעי להוכחה. אתה יכול להגיע למסקנה כי במערכת אוקלידית סכום הזוויות של משולש הוא תמיד 180 מעלות, וזאת ישירות מכוח האקסיומות המכוננות את המערכת האוקלידית, וללא שום צורך בהוכחה על דרך השלילה. במקרה של ידידנו הספר, אין כזה דבר "הנחות היסוד של הפרדוקס שגויות" כי דבר שאינו קיים מלכתחילה במערכת אקסיומות תלויית-הקשר, לא ניתן להניח דבר ביחס אליו (למעט אי-קיומו האפריורי) במסגרת המערכת הנדונה. דורון שדמי 22:56, 9 באוקטובר 2006 (IST)

לגדי, פרדוקס אמיתי הינו הניסיון להוכיח טענה במסגרת מערכת אקסיומות תלויית-הקשר, תוך התעלמות מאי-קיום אפריורי, הנובע ישירות מאקסיומות המערכת הנדונה. דורון שדמי 23:18, 9 באוקטובר 2006 (IST)

הוכחה על דרך השלילה

מחקתי את השיחות האחרונות שנוהלו בדפי השיחה של פרדוקס הספר ומשפט קנטור (תורת הקבוצות) - אפשר למצוא אותן בגרסאות הקודמות שלפני המחיקה. עוזי ו. 23:50, 10 באוקטובר 2006 (IST) אני מעתיק לפה את זנב השיחה, שאכן כבר יצאה מגדר שיפור הערך:

ברשותך אני אעתיק את הדוגמא השניה שנתתי בעניין, כי היא כתובה כבר בקוד LaTeX:

$\ X=\mathbb {N} \ ,\ \ f(n)=\left\{n+1\right\}$

$\ A=\left\{x\in X|\ x\notin f(x)\right\}=\left\{n\in \mathbb {N} |\ n\neq n+1\right\}=\mathbb {N}$

זוהי דוגמא למצב בו ( f אינה על ו-) A קיימת, מוגדרת היטב. יאיר ח. 12:30, 10 באוקטובר 2006 (IST)

הגדרת A במשפט קנטור היא: תהי A קבוצת כל איברי X , שאינם שייכים לתת-הקבוצות של X איתן הם ממופים.

הוכח נא כי מה שכתבת לעיל עונה במדויק על הגדרה זו. דורון שדמי 00:21, 11 באוקטובר 2006 (IST)

תראה בשורה השנייה של הנוסחאות. במקרה הזה A הוא פשוט X. היות וכל אחד מאיברי X לא שייך לתת קבוצה אליה הוא ממופה, A (שהוא X) אכן מקיים את הנדרש. יאיר ח. 09:09, 11 באוקטובר 2006 (IST)

אני מקווה שתסכים איתי כי קיום N ב-ZF, תלוי בכך שיש לה את כל אינסוף האיברים בעלי תכונה P. זאת אומרת N חייבת לקיים גם את האמור באקסיומת האינסוף האומרת ש:"אם n ב-N , אז n+1 ב-N" . במילים אחרות, קיום N ב-ZF , חייב להיות עיקבי עם אקסיומות ZF.

מה שכתבת שקול ל: " n ב-N לפי הכלל ש-n היא לא לא_n ". יותר מכך, לפי הגדרתך n+1 איננה ב-N , כי (בהתאם להגדרתך) N מכילה רק את אותם איברים שאינם שוויים ל- n+1 (וזוהי הפרה של אקסיומת האינסוף).

הוכח נא כי הגדרתך את N אכן מקיימת את N כקבוצה אינסופית המכילה בדיוק את כל איבריה (אחרת הגדרתך אינה הגדרת N במסגרת ZF). (זכור נא, שאין שום טעם בדיון ביננו, אם הוא מתעלם מאקסיומות ZF). דורון שדמי 9:54, 11 באוקטובר 2006 (IST)

לא נכון. למה לסבך? כל מה שנדרש שם זה שלכל n מתקיים n שונה מ- n+1... מאיפה הבאת את ההבחנה בין n ל-n+1? הרי {f(n+1)={n+2. הנה עוד דוגמא, הפעם סופית:

$\ X=\left\{1\right\}\ \ f(1)=\emptyset ,\ A=\left\{1\right\}\ =X$

אתה רואה שאין בעיה עם ההגדרה של A. בכלל כל הדיון הזה על קיום דוגמא הוא לא רלוונטי, כי אין שום הגבלה על הפסוק P באותה אקסיומה. אין שום הגבלה על הפניה עצמית או חוקיות או מה שתרצה - כל פסוק, מופרע ככל שיהיה הוא חוקי למהדרין והוא הבעיה הבלעדית של ZF. לנו אין שום צורך להראות שמה שמתקבל הוא קיים או לא קיים- ברור שהוא קיים. ואם הוא לא קיים אז זו בעיה בהנחות שלנו ולא בפסוק P שבו השתמשנו. יאיר ח. 17:02, 11 באוקטובר 2006 (IST)

אם, ואני מצטט אותך, "לכל n מתקיים n שונה מ- n+1 ..." ורק אלה השונים מ- n+1 הם איברי N (עיין שוב בתנאי שכתבת לעיל להיותו של n איבר ב-N), אז ברור לחלוטין כי n+1 אינה נימנת עם אברי N.

כמו-כן אתה שואל אותי "מאיפה הבאת את ההבחנה בין n ל-n+1?". על כך יש לי תשובה פשוטה: "אתה, יאיר, הבאת את ההבחנה בין n ל-n+1 בכך שכתבתך במו ידיך כי n לא_שווה ל- n+1", ומן המפורסמות היא שאם שני דברים אינם שווים זה לזה, הרי שניתן להבחין ביניהם.

$\ X=\left\{1\right\}\ \ f(1)=\emptyset ,\ A=\left\{1\right\}\ =X$ איננה קבוצה A המשמשת במשפט קנטור (לקבוצת החזקה) כי:

A המשמשת במשפט קנטור (לקבוצת החזקה) חייבת (עפ"י אקסיומת ההפרדה) להכיל את כל איברי X, שאינם שייכים לתת-קבוצות של X, הממופות איתם.

אקסיומת ההפרדה אומרת ש:

לכל תכונה P וקבוצה S , קיימת קבוצת כל האיברים ב-S, המקיימים את תכונה P (כאשר תכונה P במקרה דנן היא היותך איבר X, שאינו שייך לתת-קבוצה של X, איתה אתה ממופה).

במילים אחרות, A אינה קיימת כל זמן שאין היא מכילה את כל איברי X שאינם שייכים לתת-קבוצות של X הממופות איתם. דורון שדמי 19:48, 11 באוקטובר 2006 (IST)

לא הבנתי את הבעיה שלך עם הדוגמא עם הטבעיים, אבל מילא, זה בכלל לא חשוב. בדוגמא השניה האמירה שלך ממש ביזארית- הרי יש רק איבר יחיד ב-X. הלה ממופה לתת קבוצה של X שבמקרה אינה מכילה אותו (הקבוצה הריקה) ואי לכך ובהתאם לזאת הוא מוכל ב-A. ברגע שהגענו למסקנה הזו נביט אחורה ונראה שעברנו על כל איברי X ועבור כל אחד ואחד מהם הכרענו האם הוא ב-A או לא (במקרה יצא שכל האיבר היחיד שהיה הוכל ב-A). אחרי כל העבודה הקשה שעשינו נבין בסיפוק רב שהתקבל ש-A מכילה בדיוק את כל איברי X שאינם שייכים לתת קבוצה שאליה הם מופו, שזה במקרה הזה פשוט כל איברי X. אני לא מבין את הבעיה. יאיר ח. 00:00, 12 באוקטובר 2006 (IST)

יאיר כתבת: "לא הבנתי את הבעיה שלך עם הדוגמא עם הטבעיים, אבל מילא, זה בכלל לא חשוב."

תשובתי: יאיר, אם לא הבנת את הבעיה שלי עם הדוגמא שלך עם הטבעיים, אז יש לך בעייה הקשורה להבנת המושג "קבוצה אינסופית". למעשה זהו לב ליבו של חוסר ההבנה שלך בנושא הנדון, או במילים אחרות, זה מאוד מאוד חשוב !!! (במקרה הנדון, כמובן).

בדוגמא שנתת, הקרדינל של X שווה לקרדינל של תת-קבוצה ממש של X , כאשר X קבוצה סופית.

המשפט (ואני מצטט אותך) "...נביט אחורה ונראה שעברנו על כל איברי X" אפשרי רק ואך ורק במקרה של X כאשר X קבוצה סופית.

בכל מקרה הדוגמא שלך תופסת במקרה הטריוויאלי של קבוצה סופית, שבה ברור לחלוטין כי קיימת קבוצת כל אברי X שאינם שייכים לתת-קבוצות של X הממופות איתם.

הוכח כי אתה יכול להרחיב את הנ"ל לקבוצה אינסופית (שבה הקרדינל של תת-קבוצה ממש של X שווה לקרדינל של X). (דרך אגב, השוני בין פרדוקס הספר לבין משפט קנטור לקבוצת החזקה הוא: בפרדוקס הספר, איבר X נבחן מול איברי X , ולא מול תת-קבוצות של X). דורון שדמי 10:03, 12 באוקטובר 2006 (IST)

מה ההבדל? רצית לראות ש-A יכולה להיות קיימת מתישהו ונתתי לך דוגמא בה היא קיימת. למה שיהיה הבדל כלשהו בין קבוצה סופית לאינסופית? אגב, אם אתה מתעקש שבאופן פלאי יש הבדל, הרי בדוגמא האינסופית עבור כל n ב-N מוגדר ש- n ממופה לקבוצה {n+1}, בה הוא כמובן לא מוכל, ולכן הוא שייך ל-A. כלומר כמעט בלי קשר למבנה של N (חוץ מכך ש-n שונה מ-n+1 עבור כל n טבעי), A הוא כל N, ובפרט מוגדר. אין כאן צורך באינדוקציה, למרות שאפשר לעשות אותה באופן טריוויאלי, פשוט כי אין שום קשר בין נכונות הטענה עבור מספר אחד לנכונותה עבור המספר הבא. שתיהן נכונות כמעט ישירות מההגדרה. יאיר ח. 11:59, 12 באוקטובר 2006 (IST)

שאלת מה ההבדל? ובכן נסה נא לבנות קבוצה סופית שהקרדינל שלה גדול מ-1 , והקרדינל של תת-קבוצה ממש שלה שווה לקרדינל שלה.

כמו-כן, היות ו- n+1 אינה איבר של N (בכפוף להגדרה, שבה קבעת כי n ב-N בתנאי ש-n לא_שווה ל- n+1) הרי ש-n אינו יכול להתמפות עם {n+1}.

אתה שואל: "למה שיהיה הבדל כלשהו בין קבוצה סופית לאינסופית?"

ואני שואל אותך: "האם המושגים סופי ואינסופי שווים זה לזה במתמטיקה?" דורון שדמי 12:15, 12 באוקטובר 2006 (IST)

דורון, לאור טענתך "n+1 אינה איבר של N (בכפוף להגדרה, שבה קבעת כי n ב-N בתנאי ש-n לא_שווה ל- n+1)" אני סבור שכדאי לך לגשת לאוניברסיטה, ללמוד בצורה מסודרת מתמטיקה למשך מספר שנים ולאחר מכן לשוב לכאן, פשוט כי השפה המתמטית שאתה מדבר אינה קשורה לשפה המתמטית של יאיר, או של כל אחד אחר כאן לצורך הדיון. גדי אלכסנדרוביץ' 13:07, 12 באוקטובר 2006 (IST)

גדי, יאיר כתב כי התנאי להיותו של n איבר ב-N הוא אם לכל n , n לא_שווה ל- n+1.

נובע מכך ש- n+1 אינו איבר של N (וזאת בסתירה לאקסיומת האינסוף, האומרת ש:"אם n ב-N, אז n+1 ב-N). לכן הקבוצה שהגדיר יאיר איננה N.

אם אינך מסכים איתי, השתמש נא במה שלמדת באוניברסיטה, כדי להראות שעל פי הגדרתו של יאיר, n+1 הינו איבר ב-N.

אפשר, דרך אגב, להחליף את הביטוי n+1 (בהגדרתו של יאיר לתכולת N) במילה "מללפון", ואז לומר: n ב-N בתנאי ש-n איננו מללפון. ומכאן אפשר להסיק בקלות כי מלפפון אינו איבר ב-N . דורון שדמי 13:31, 12 באוקטובר 2006 (IST)

אנסה לדבר על מקרה פרטי. אני מגדיר קבוצה בצורה הבאה: היא תכיל את המספר 1 בתנאי ש-1 אינו "מלפפון", ואת "מלפפון" בתנאי ש"מלפפון" אינו 1. כעת, נניח שאני יודע ש-1 ומלפפון אינם אותו דבר. מה יש בקבוצה שלי? גדי אלכסנדרוביץ' 13:46, 12 באוקטובר 2006 (IST)

שאלתך אינה קשורה כלל ועיקר להגדרתו של יאיר את תוכן N.

הראה נא כי בהגדרתו של יאיר יש את המקבילה ל: מלפפון הוא איבר בקבוצה, בתנאי שהוא לא 1.

במילים אחרות, הראה נא כי הגדרתו של יאיר שקולה לאקסיומת האינסוף דורון שדמי 10:03, 12 באוקטובר 2006 (IST)

ויתרתי (ואני חוזר שוב על המלצתי הקודמת). גדי אלכסנדרוביץ' 14:20, 12 באוקטובר 2006 (IST)

תודה גדי, אני מודה לך על ההמלצה, אך תוהה מדוע אינך יכול להשתמש בהכשרתך באוניברסיטה, כדי להדגים כי הגדרתו של יאיר שקולה לאקסיומת האינסוף? דורון שדמי 14:36, 12 באוקטובר 2006 (IST)

לפי מה שאתה טוען המשפט "עבור כל n טבעי יש n מספרים טבעיים הקטנים מ-n" לא גורר (במסגרת אקסיומות האריתמטיקה הרגילות) את המשפט "עבור כל n טבעי יש n+1 מספרים טבעיים הקטנים מ-n+1". למרות שיש גרירה בלי אינדוקציה אלא פשוט על ידי הצבה של הביטוי "n+1" במקום n, ושימוש העובדה שאם n טבעי אז n+1 טבעי (וזה המקום היחיד בו יש אינדוקציה בגרירה). ודאי שאני לא מדבר על תנאי שאומר מתי משהו אמורפי משתייך ל-N אלא על התנאי שאומר מתי מספר טבעי משתייך ל-A, והוא - מתי שהוא שונה מהעוקב שלו (כלומר תמיד). גם אם כך, עבור כל קבוצה אם תשתמש בפונקציה שמעבירה את x ליחידון שמכיל את x (נדמה לי שכתבתי אותה מתי שהוא), תקבל ש-A הוא בדיוק הקבוצה הריקה, ככה שגם אין שום בעיה עם עוצמות וירקות אחרים. יאיר ח. 15:25, 12 באוקטובר 2006 (IST)

אם n+1 אינו ב-N (כנובע במדוייק מהגדרתך לעיל הכתובה בקוד LaTeX) אז n+1 גם לא ב-A (אלא אם תראה כי הגדרתך את תוכן N, שקולה להגדרת אקסיומת האינסוף). דורון שדמי 14:36, 12 באוקטובר 2006 (IST)

הקבוצה שלך אכן ריקה, אך אין היא A המוגדרת כתוצאה מעיסוק במיפויים בין קבוצות אינסופיות, ולכן אין היא רלוונטית לעיניננו (כבר ציינתי, כי כל הדוגמאות שהבאת עד כה, שייכות רק לטיפול בקבוצות סופיות, שבהן קיום A הינו טריוויאלי). דורון שדמי 15:55, 12 באוקטובר 2006 (IST)

(פתאום שמתי לב שיש משפט בתגובה שכתבתי שהוא לא נכון תחבירית אז שיניתי אותו קלות, אם זה הטריד אותך, ולענייננו:) מה זה משנה אם קיום A הוא טריוויאלי או לא? אני רואה שהדיון פה מתבדר ולכן אני אמקד אותו מחדש. נראה לי שנקודת המחלוקת העיקרית היא הטענה שלך לגבי משפט קנטור היא שאי-קיומה של A לא קשור לתכונה מסויימת של f אלא לעצם ההגדרה שלה על ידי פסוק שהוא פסול. אני לא מסכים עם האמירה שיש פסוק שלא ניתן להכיל עליו את אקסיומת ההפרדה, כיוון שטענה כזו לא נמצאת באקסיומה כמו שהיא מנוסחת שם. כמובן שאם אתה טוען שניתן לבנות מכאן דוגמא שמראה ש-ZF לא עקבי, אז זה דיון אחר לגמרי, אם כי חופף במקצת. אם אני טועה בהבנת דבריך, אנא תקן אותי. יאיר ח. 17:08, 12 באוקטובר 2006 (IST)

הינה ההגדרה לאקסיומת ההפרדה, כפי שמופיעה בקישור שהפנת אליו:

אקסיומת ההפרדה: לכל קבוצה והצהרה P(x)‎ קיימת תת קבוצה של הקבוצה המקורית אשר מכילה בדיוק את אותם האיברים x בקבוצה המקורית המקיימים P(x)‎.

בדיוק = לא-פחות ולא-יותר = כל האיברים (ללא יוצא מן הכלל) בקבוצה המקורית, המקיימים את (P(x .

הצהרה (P(x: איבר X שאינו שייך לתת-קבוצה של X הממופה איתו.

בקיצור, קבוצה A הינה תת-קבוצה של X , המכילה את כל איברי X, שאינם שייכים לתת-קבוצות של X הממופות איתם.

אם X קבוצה סופית, אז קיום A הינו טריוויאלי.

אקסיומה המנוסחת היטב, אסור לגזור ממנה דבר והיפוכו, כי אז, כפי שטענת, אין לנו תורה עיקבית, וכידוע ניתן להוכיח כל דבר במסגרת תורה לא עיקבית, אשר למעשה מרוקנת את מושג ההוכחה עצמו מתוכנו.

אתה נשאלת השאלה, האם ניתן לגזור דבר והיפוכו מאקסיומת ההפרדה?

התשובה שלי היא: כן, ואף פרטתי את תוכנה בדיאלוג שלי עם גדי. אפרט אותה שוב כפי שנכתבה בדיאלוג (שיניתי מעט את הנוסח המקורי, כדי לשפר את בהירות הכתוב):

גדי, הצעת לי למצוא הוכחה לאי-עיקביות ZF , ללא הנחת קיומה של f כחח"ע ועל,

אך כבר נתתי הוכחה זו, אשר אינה מחייבת את הנחת קיומה של f כחח"ע ועל, והיא:

קבוצה A קיימת ב-ZF עפ"י אקסיומת ההפרדה

אקסיומת ההפרדה:

לכל תכונה P וקבוצה S , קיימת קבוצת כל האיברים ב-S, המקיימים את תכונה P

לפי אקסיומה זו, קיימת קבוצה A המכילה את כל האיברים בעלי תכונה P כאשר תכונה P במקרה דנן היא "איברי X , שאינם שייכים לתת-הקבוצות של X איתן הם ממופים".

(במקרה זה, קבוצת המקור X היא אינסופית ו-A הינה מחוץ לטווח המיפוי של כל איברי X, לדוגמא: אם הקרדינל של קבוצת החזקה של X גדול מהקרדינל של X , הרי שיש איברים בקבוצת החזקה של X , אשר יהיו תמיד מעבר ליכולת למפות להם איבר X . להבנת הנ"ל עיין נא בערך האלכסון של קנטור).

קבוצה A אינה קיימת ב-ZF עפ"י אקסיומת ההפרדה

אקסיומת ההפרדה:

לכל תכונה P וקבוצה S , קיימת קבוצת כל האיברים ב-S, המקיימים את תכונה P

לפי אקסיומה זו, קיימת קבוצה A המכילה את כל האיברים בעלי תכונה P כאשר תכונה P במקרה דנן היא "איברי X , שאינם שייכים לתת-הקבוצות של X איתן הם ממופים".

היות וקבוצה A (כאשר קבוצת המקור X היא אינסופית) איננה מכילה (מעצם הגדרתה) את כל איברי X , שאינם שייכים לתת-הקבוצות של X איתן הם ממופים , הרי שקבוצה A אינה ברת-קיום עפ"י אקסיומת ההפרדה.

שים נא לב, שבשני המקרים לא מניחים את קיומה של f כחח"ע ועל.

יש הבדל בין הוכחת עיקביות של ZF במסגרת ZF , לבין הוכחת אי-עקביות של ZF במסגרת ZF. הוכחת העיקביות של ZF במסגרת ZF, אליבא דגדל, אינה אפשרית (אם הבנתי אותו נכון), אך לשם הוכחת אי-עיקביות של ZF, כל שצריך להראות הוא, שניתן להגיע לדבר והיפוכו (ובמקרה דנן, A קיימת ולא-קיימת במסגרת ZF, מכוחה של אקסיומת ההפרדה) במסגרת ZF. האין זאת? דורון שדמי 00:34, 2 באוקטובר 2006 (IST)

דרך אגב, יש דרך "להציל" את ZF מאי-עקביות והיא, לקבוע קטגורית מכוח אקסיומת ההפרדה, כי A היא מחוץ לטווח המיפוי של איברי X, ובכך מתקיימת שקילות בין אקסיומת ההפרדה למשפט קנטור לקבוצת החזקה.

ומכאן נובע שכל תהליך ההוכחה של משפט קנטור לקבוצת החזקה, הינו מיותר לחלוטין במסגרת ZF.

דרך נוספת "להציל" את ZF מאי-עקביות היא: לקבוע קטגורית כי קבוצה A אינה ברת-קיימה עפ"י אקסיומת ההפרדה. אך אז לא ניתן להגיע לפרדוקס המאפשר את הוכחת משפט קנטור לקבוצת החזקה, והמכסימום שאנו יכולים להוכיח בנושא זה הוא האלכסון של קנטור.

אני מניח שרוב המתמטיקאים היו בוחרים "באפשרות ההצלה" הראשונה, כי במסגרתה (והפעם מכוחה הישיר של אקסיומת ההפרדה, וללא משפט קנטור לקבוצת החזקה) ממשיכות להתקיים אינסוף עוצמות של אינסוף.

יש היבט נוסף לסוגייה הנ"ל, הקשור לפירוש מציאות עפ"י מכניקת הקוואנטים.

על פי מכניקת הקוואנטים, יכולים להתקיים דבר והיפוכו במצב של סופרפוזיציה (ובמקרה דנן גרסת ZF המקיימת את קבוצה A + גרסת ZF אשר אינה מקיימת את קבוצה A).

עתה קיימות שתי גישות שונות והן:

א. קריסת הסופרפוזיציה למציאות אחת ואחת בלבד (צרמלו-פרנקל עם A או (xor) צרמלו-פרנקל ללא A)

ב. פיצול לשתי מציאויות (אין קריסה של הסופרפוזיציה), שבאחת מתקיימת צרמלו-פרנקל עם A ובשנייה מתקיימת צרמלו-פרנקל ללא A.

גם א. וגם ב. מבוססות על מסורת החשיבה המערבית, המונעת קיומם של דבר והיפוכו באותה מציאות. דורון שדמי 12:19, 2 באוקטובר 2006 (IST)

אני אתעלם, ברשותך, מאפשרויות ההצלה, כי לא מעניין אותי כרגע לבדוק האם גרסאות אחרות של ZF הן עקביות, אלא רק אם זו הישנה והטובה עקבית.

לדעתי, יש לך טעות באמירה ש-A אינה מקיימת את ההגדרה של עצמה (כלומר קבוצת כל האיברים שממופים...). כדי להשלים את הטענה שלך עליך למצוא דוגמא בה A מוגדרת כנ"ל, f קיימת, וקיים איבר אותו A מכילה וגם לא מכילה (כלומר A לא קיימת). נראה לי שכתבת את זה במשפט:

"היות וקבוצה A איננה מכילה (מעצם הגדרתה) את כל איברי X , שאינם שייכים לתת-הקבוצות של X איתן הם ממופים , הרי שקבוצה A אינה ברת-קיום עפ"י אקסיומת ההפרדה."

אז תאלץ להסביר לי למה A לא מכילה, ועוד מעצם הגדרתה, חלק מאותם איברים. במיוחד אם זה "מעצם הגדרתה", לא נראה שיש הבדל בין המצב הסופי והאינסופי. יאיר ח. 18:38, 12 באוקטובר 2006 (IST)

אם קבוצה A קיימת עפ"י אקסיומת ההפרדה, הרי שכל דבר קיים אפשר להתמפות אליו, לכן אם A קיימת אז ניתן לבדוק את המיפוי שלה עם איבר x השייך לקבוצת המקור X, ולכן אנו בודקים את המיפוי x <--> A.

עפ"י אקסיומת ההפרדה, חייבת A להכיל כל איבר X, שאינו שייך לתת-הקבוצה של X איתה הוא ממופה.

אך אנו רואים כי הגדרת A אינה מאפשרת לאיבר X הממופה איתה, להכלל בתוכה (וגם לא לא_להכלל בתוכה, בעת ובעונה אחת). הסיבה שאיבר X חייב להכלל ב-A, היא כדלקמן: כל איבר X ממופה רק פעם אחת עם תת-קבוצה של X, ולכן ברור לחלוטין כי איבר X הממופה עם A אינו קיים ב-A (וזאת בגלל תכונה P של איברי A), ולכן חייב, לפי הגדרת A להכלל ב-A, אך הדבר אינו אפשרי וזאת שוב לפי הגדרת A , והתוצאה היא: איבר x של קבוצת המקור X , שייך ולא שייך ל-A .

לכן A איננה קבוצת כל האיברים המקיימים את תכונה P , כמתבקש מאקסיומת ההפרדה, ולכן קבוצה A אינה ברת-קיום במסגרת ZF. דורון שדמי 18:54, 12 באוקטובר 2006 (IST)

מצאתי טעות בדבריך- שים לב שיש לך שתי פונקציות. הפונקציה הראשונה היא פונקציה מסויימת מ-X לקבוצת החזקה, ועל פיה בונים את A המקורית. בפונקציה הזו לא יהיה איבר שממופה עם A, כמו שהיטבת להסביר. עכשיו, בנית פונקציה חדשה, שיש בה מיפוי אל הקבוצה A המקורית. פונקציה כזו יכולה להתקיים בוודאי, אך בה הקבוצה A היא בהכרח אחרת, ולכן אין סתירה. יאיר ח. 19:09, 12 באוקטובר 2006 (IST)

א. הסברי עסק בתוכן קבוצה A, והסביר כי x הממופה עם A חייב להיות ב-A בהתאם להגדרת A אך מנוע מלהיות מוכל ב-A וזאת שוב בהתאם להגדרת A (כאשר אנו עוסקים בדיוק באותה פונקציה). בקיצור לא הבנת אותי.

ב. אפילו אם נקבל את דברך, בפונקציה הזו לא יהיה איבר שממופה עם A, בתנאי ש-X קבוצה סופית. הדבר אינו ברור כלל וכלל אם X קבוצה אינסופית. שים לב שלתת-קבוצה ממש של קבוצה אינסופית יש את אותו קרדינל של הקבוצה האינסופית.

אם תסתמך בשלב זה על האלכסון של קנטור, הרי שאתה מחסל את ההוכחה כי יש אינסוף דרגות של אינסוף (כנובע ממשפט קנטור לקבוצת החזקה) או אף גרוע מכך: אתה מניח את המבוקש. דורון שדמי 19:21, 12 באוקטובר 2006 (IST)

לא נעים לענות במקוטעין אבל ראשון ראשון:

א. אתה צודק שאם נניח שקיים x שממופה עם A נקבל סתירה. זוהי בדיוק הוכחה על דרך השלילה לעובדה שלא קיים אחד כזה. קיום איבר הממופה ל-A לא נובע מ-ZF, או לפחות לא הראית שנובע מ-ZF, וכל מה שהראנו (שזה בכלל לא מעט) הוא שקיומו הוא בלתי אפשרי. אם תראה שקיום איבר כזה נובע מ-ZF תוכיח את אי העקביות המיוחלת. אגב, היות והוא לא קיים אפשר כמובן לשחק כמה שנרצה עם ההנחה שהוא קיים (שהיא פשוט טענה שקרית ב-ZF) וממנה לקבל כל תוצאה שתרצה- אם נתאמץ מספיק נוכל להוכיח ממנה גם את השערת הרצף וגם את שלילתה.

ב. בדברי לא היה שום תנאי לגבי הסופיות של X, אני לא מבין למה אתה מתעקש להפריד בין המקרה הסופי והאינסופי כשבבירור הטענות תופסות לגבי שניהם במידה שווה. פונקציות ניתן לבנות גם בין קבוצות אינסופיות (אם לזה התכוונת) יאיר ח. 20:44, 12 באוקטובר 2006 (IST)

פונקציה, לעיניננו, היא מיפוי בין איברים, כאשר במקרה הנדון אנו עוסקים במיפוי 1-1 בלבד.

ניתן לראות בבירור, כי כאשר אנו עוסקים במיפוי של 1-1 אז יש הבדל ברור בין מיפויים בקבוצה סופית , למיפויים בקבוצה אינסופית. כפי שכבר כתבתי, נסה להגדיר מיפוי חח"ע ועל בין תת-קבוצה ממש של קבוצה סופית, לקבוצה הסופית, וראה תראה כי הדבר אינו אפשרי.

לעומת זאת, ניתן להגדיר מיפוי חח"ע ועל בין תת-קבוצה ממש של קבוצה אינסופית, לקבוצה האינסופית שלה (כגון, מיפוי חח"ע ועל בין כל המספרים הזוגיים, שהם תת-קבוצה ממש של N, לכל איברי N). לכן יש לנהוג בזהירות יתר, כדי לא להסיק מסקנות לגבי קבוצות אינסופיות, הנובעות ממסקנות הקשורות לקבוצות סופיות.

לגבי החלק הראשון, לא קיים x הממופה עם A , כי A אינה קיימת וזאת מפני שהיא אינה מקיימת את אקסיומת ההפרדה(הדורשת להכיל ב-A את כל איברי X אשר אינם שייכים לתת-קבוצות של X,איתם הם ממופים), כאשר X הינה קבוצה אינסופית, ובאותה נשימה כן קיימת קבוצה A מעבר לטווח המיפוי של כל איברי X , כאשר X הינה קבוצה אינסופית (ראה את האלכסון של קנטור, שלפיו מוכח כי קבוצת החזקה של X - כאשר X הינה אינסופית - מכילה איברים הנמצאים מעבר לטווח המיפוי של כל איברי X).

וכך אנו חושפים חוסר עיקביות באקסיומת ההפרדה של ZF , כי היא מאפשרת דבר והיפוכו במסגרת ZF.

חוסר עקביות נוסף ניתן להדגים באקסיומת הקבוצה הריקה:

יהי x שום-דבר

אקסיומת הקיום: קיימת קבוצה A כך שלא קיים x עבורו $x\in A$.

לפי הנ"ל A קבוצה לא-ריקה.

יהי x איזה-דבר

אקסיומת הקיום: קיימת קבוצה A כך שלא קיים x עבורו $x\in A$.

לפי הנ"ל A קבוצה ריקה.

דורון שדמי 00:36, 13 באוקטובר 2006 (IST)

אז זה העניין... פשוט היה פה בלבול מושגים קל - אני חשבתי שבמושג "מיפוי" הכוונה לכל פונקציה, לאו דווקא חח"ע או על. בטיעון הראשון שלך אתה משתמש ב"עובדה" ש-A אינה קיימת - עובדה זו מתבססת על כך ש-f חח"ע ועל (כלומר על משפט קנטור לקבוצת החזקה). התשובה הברורה היא שכיוון שהתחלת בהנחה שגויה, אין שום בעיה עם כך שהגעת לסתירה- כך הוכחת שההנחה עמה התחלת היא שגויה. באופן דומה אתה לא יכול להתחיל עם ההנחה "יהי x שום דבר" כיוון שהיא סותרת את עצמה (מצד אחד "יהי" מצד שני "שום דבר") ואין תימא בכך שאתה מקבל ממנה תוצאה אבסורדית. (הקבוצה הריקה היא לא "שום דבר" כיוון שיש בה שני סוגריים).

בכל מקרה, באופן מפורט יותר- כתבת "יהי x שום-דבר ... לפי הנ"ל A קבוצה לא-ריקה." כיוון ש-x שייך ל-A? והרי x לא קיים, ולכן הוא בפרט לא שייך ל-A (למרות שעצם הדיון האם הוא שייך ל-A או לא הוא כלל לא רלוונטי כיוון שאובייקט שמכיל בתוכו סתירה פשוט לא קיים). אגב, אני עדיין לא מבין איך הסקת מכך ש-x הוא "שום דבר" (או במילים אחרות - לא קיים) שהוא מוכל בקבוצה הריקה, אבל אני מאמין לך, כיוון שההסקה הזו נכונה באופן לוגי, אם כי ריקה ממשמעות. אין להתרגש מכך שכאשר יוצאים מהנחה שגויה מגיעים להנחה שגויה. יאיר ח. 11:25, 13 באוקטובר 2006 (IST)

אתה כותב: "בטיעון הראשון שלך אתה משתמש ב"עובדה" ש-A אינה קיימת - עובדה זו מתבססת על כך ש-f חח"ע ועל".

תשובתי: העובדה ש-A אינה קיימת היא מכיוון שבמקרה של קבוצה אינסופית, A אינה מכילה בדיוק את כל האלמנטים של קבוצה אינסופית X, העונים לתכונה P. קיום המיפוי כ- חח"ע ועל בין קבוצה X לתת-קבוצה ממש שלה, הינו עובדה המבוססת על קביעה-קטגורית המגדירה קבוצה כלשהי כקבוצה אינסופית במסגרת ZF , כך שאנו מדברים פה על עובדות המבוססות על קביעות-קטגוריות, וכל קביעה-קטגורית יש לה מעמד של אקסיומה ב-ZF, או בכל מערכת אקסיומות אחרת.

יאיר, כאשר אתה משתמש באקסיומה, אינך מניח הנחות אלא קובע קטגורית עובדות. אם אתה מניח הנחות לגבי אקסיומה, באותו רגע, אינך עוסק באקסיומה, אלה במשפט הנגזר מאקסיומה. בלבול המושגים הקל נובע מאי-הבחנתך בין משפט לאקסיומה. מה שהראיתי הוא, שלפי אקסיומת ההפרדה קבוצה A חייבת להכיל בדיוק את כל האיברים בעלי תכונה P. במקרה של קבוצה סופית, הפתרון הוא טריוויאלי, אך במקרה של קבוצה אינסופית אינך יכול להשתמש בפתרון שמצאת בקבוצה סופית. כאשר אני כותב 1-1 אני מתכוון, במקרה הנדון, למיפוי בין איבר יחיד מקבוצה אינסופית X לאיבר יחיד מקבוצת החזקה של קבוצה X,כאשר מיפוי זה הינו המינימום ההכרחי לקיומו של מיפוי בין שתי קבוצות (פחות מזה, הינו מיפוי-עצמי אך אין הוא קשור לדיוננו). בקיצור אין מדובר פה בשום אופן על הנחה של מיפוי חח"ע ועל (שוב, מיפוי חח"ע ועל הינו תנאי או קביעה קטגורית לקיומה של X כקבוצה אינסופית) אלא על המינימום ההכרחי הנדרש לקיום מיפוי בין שתי קבוצות.

לגבי x מה שאתה מדגים פה הוא הגבלה מותנית מראש לרמת המופשטות של שימוש במושגים, כאשר מושג ההכלה מוגבל אצלך, רק ואך ורק לאיזה-דבר (something).

אני מסכים איתך שנכשלתי בהגדרת x ע"י שימוש מקדים במילה יהי (מילה זו מסגירה בדיוק את הקביעה הקטגורית המקובלת בין מתמטיקאים, אשר למעשה קובעת באופן שרירותי כי סימן יכול לייצג רק איזה-דבר (something) ) ולכן אני מתקן את שכתבתי לעיל:

x משמש כמחזיק-מקום (placeholder) לכל מושג שניתן להעלות על הדעת.

אי-עיקביות באקסיומה (שהיא קביעה קטגורית, ומושג ההנחה אינו קשור אליה קטגורית) היא קביעה קטגורית של דבר והיפוכו.

x = שום-דבר (nothing)

אקסיומת הקיום: קיימת קבוצה A כך שלכל x $x\notin A$.

לפי הנ"ל A קבוצה לא-ריקה.

x = איזה-דבר (something)

אקסיומת הקיום: קיימת קבוצה A כך שלכל x $x\notin A$.

לפי הנ"ל A קבוצה ריקה.

ההתיחסות המקובלת אל שום-דבר (nothing) כאל מושג שלא ניתן לסמנו ישירות (שלא בתיווכה של קבוצה) במסגרת המתמטיקה , דומה ליחס ש"זכו" לו המספרים השליליים והמספרים הדמיוניים, כאשר הוצעו לראשונה. איני מצפה שגישתי למושג שום-דבר (nothing) תזכה ליחס שונה, ויעבור זמן לא-מועט עד שהמושג שום-דבר (nothing) יקבל את היחס שזוכה לו מספר שלילי או מספר דמיוני, בתחום המתמטיקה.

אוסיף עוד דבר בקשר לאלכסון של קנטור. דרך הוכחה זו של קנטור, שבה הראה כי יש יותר מספרים אי-רציונליים מאשר מספרים טבעיים, היא לחלוטין תלוית צורת חשיבה-סדרתית, אשר במקרה דנן אף מגבילה עצמה לסדר-חשיבה מסויים, הנמנע במפורש מלבחון הנחות ומסקנות מזווית-ראיה אחרת.

אציג כאן זווית-ראיה אחרת, המבוססת על חשיבה-מקבילית, המבינה את האובייקטים הנחקרים "במכה אחת" (לא בתהליך של צעד-אחר-צעד).

לפי החשיבה-המקבילית, כל מספר (במובנו המקובל) מובחן בבירור מכל מספר אחר, ואין זה משנה אם הוא אי-רציונלי, טבעי, רציונלי וכו'.

כאשר אנו מבינים תכונה משותפת זו, אין זה משנה כלל באיזה צורה אנו מארגנים את המספרים במרחב החקירה. אנו יכולים לארגן אותם בצורת טורים, מטריצות, שכבות של מטריצות וכו', אך בכל צורות הארגון, כל מספר נושא את ערכו היחודי, המאפשר לנו להבחין בינו לבין יתר המספרים.

כאשר אנו ממפים בין המספרים האי-רציונליים למספרים הטבעיים, אנו ממפים את מספר 1 עם מספר האלכסון של קנטור (אשר כמובן מציית לחוק היחודיות של המספרים) ומשם ממשיכים וממפים את מספר 2 עם המספר האי-רציונלי האקראי, המופיע בראש טור המספרים האי-רציונליים האקראיים שיצרנו, לאחר מכן ממפים את מספר 3 עם המספר האי-רציונלי האקראי השני המופיע בטור, וכן הלאה, וכן הלאה לאינסוף.

וראה זה פלא, יש לנו פונקציה חח"ע ועל בין N ל-R.

צורת החשיבה-המקבילית "איננה מתרגשת" מסדר הדברים, אלא מתבססת על המכנה המשותף הפשוט ביותר העומד בבסיס המספרים והוא, מובחנותם זה מזה. על בסיס הבנה פשוטה זו, אנו מבינים מייד (במכה אחת) כי הקרדינל של R חייב להיות שווה לקרדינל של N, וזאת מתוקף מובחנותם של מספרים זה מזה (כאשר סדר מחייב מובחנות בין עצמים, אך מובחנות אינה מחייבת סדר בין עצמים).

דורון שדמי 12:38, 13 באוקטובר 2006 (IST)

אשמח לדון איתך בהמשך על הרעיון שהצגת- אבל בינתיים אני מעדיף לעבוד נושא נושא, ולכן קודם כל אחזור לנושא של משפט קנטור לקבוצת החזקה. לטענתך אי הקיום של A בקבוצות אינסופיות נובע מכך שהיא לא יכולה להכיל את כל האיברים שהיא אמורה להכיל. והרי בפונקציות כדוגמת $f(x)=\left\{x\right\}$, בה הקבוצה המתקבלת היא הקבוצה הריקה (ואני מתעלם מהטיעון שכתבת, פשוט כי אדון בו מאוחר יותר, בינתיים אני פועל בתוך ZF בה יש אקסיומה לגבי קיום הקבוצה הריקה), או הפונקציה עם הטבעיים (בראש החלק הזה), בה A היא כל הטבעיים (תסתכל בפונקציה שוב ותראה שמה שאני טוען הוא טריוויאלי). אפשר להחליף את הטבעיים בממשיים באותה דוגמא, לצורך העניין, ולקבל עוד דוגמא מעוצמה שונה.

עברתי על הדיון ונראה לי שלמעשה שנינו מסכימים שההוכחה של משפט קנטור נכונה ב-ZF, פשוט אנו נחלקים לגבי העקביות של ZF עצמה. נכון?

יאיר, קודם כל עלי להתוודות כי טעיתי בכל הקשור למספר האלכסון של קנטור, מן הטעם הבא:

כאשר ממפים את מספר האלכסון של קנטור עם מספר טבעי, הרי שבאותו רגע אין הוא יותר מספר אלכסון אלא מספר השייך לטור המספרים האי-רציונלים, אך בכך מתקיים מייד מספר אלכסון חדש, המדגים כי טור המספרים האי-רציונליים אינו מכיל אף פעם את כל המספרים האי-רציונליים, ומכאן נובע כי כל המספרים האי-רציונליים אינם ניתנים למיפוי חח"ע ועל עם המספרים הטבעיים, או במילים אחרות, יש יותר מספרים אי-רציונליים מאשר מספרים טבעיים.

במילים אחרות, |N| < |R| במסגרת ZF.

1. עתה, אנו מבחינים בין מספרים בני מניה, ומספרים שאינם בני מניה (במסגרת ZF) ולכן הקביעה הקטגורית, שלפיה קבוצה אינסופית הינה קבוצה הניתנת למיפוי חח"ע ועל עם תת-קבוצה ממש שלה, קביעה קטגורית זו אינה תקיפה יותר כאשר אנו בוחנים את המיפוי בין N ל-R.

2. במילים אחרות, A (שהיא איבר בקבוצת החזקה של X) מתקיימת מחוץ לטווח המיפוי של כל איברי X, ולכן אין מיפוי חח"ע ועל בין X לקבוצת החזקה של X, אך הוכחה זו שקולה להוכחת האלכסון של קנטור, ואינה ניתנת להרחבה מעבר לשתיי עוצמות של אינסוף.

3. קנטור ניסה להוכיח ע"י ידי משפטו לקבוצת החזקה, כי ניתן להרחיב את הוכחת האלכסון לאינסוף קבוצות של אינסוף, אך, לדעתי, אין הוא יכול לטעון כך, כי כאשר יש כבר בידיו את הוכחת האלכסון, אין הוא יכול יותר לצאת מנקודת הנחה שיש מיפוי חח"ע ועל אפילו בין קבוצות אינסופיות, וכי A פשוט קיימת מחוץ לטווח המיפוי של כל איברי X (כפי שידוע במקרה הטריוויאלי כאשר X קבוצה סופית, או כאשר X הינה קבוצת המספרים הטבעיים (או הרציונליים)).

4. מסקנה: ZF עיקבית בכל הקשור לאקסיומת ההפרדה ואי-היכולת לקיים מיפוי חח"ע ועל בין קבוצה לקבוצת החזקה שלה, כאשר X קבוצה סופית, או כאשר X הינה קבוצת המספרים הטבעיים (או הרציונליים) במסגרת ZF.

5. אך אני עדיין טוען כי משפט קנטור לקבוצת החזקה אינו יכול להתבסס על ההנחה כי יש מיפוי חח"ע ועל בין קבוצה X וקבוצת החזקה של X, כי הנחה זו הינה שיקרית מתוקף הוכחת האלכסון של קנטור לאי קיומו של מיפוי חח"ע ועל בין המספרים האי-רציונליים למספרים הטבעיים. ולכן משפט קנטור לקבוצת החזקה, אינו תקף במסגרת ZF.

6. מסקנה: מכיוון שאנו יודעים כי אין מיפוי חח"ע ועל בין N ל-R (שהינן קבוצות אינסופיות), לא ניתן יותר להניח כי יש מיפוי חח"ע ועל בין X לקבוצת החזקה של X (וללא הנחה זו, אין הוכחה).

(בעניין איזה-דבר ושום-דבר, כדאי, כהצעתך, לדון בנפרד) דורון שדמי 21:33, 14 באוקטובר 2006 (IST)

שבירה לצורך עריכה

אני מתנצל על המספור שביצעתי לדבריך. הוא נועד רק למעט בציטוטים מפורשים.

1. הקביעה הקטגורית (שהיא בעצם הגדרה) היא שקיימת איזושהי תת קבוצה ממש ששקולה לקבוצה האינסופית, ולא שכל קבוצה היא כזו. הרי הגדרה שקבוצה היא מסריחה מבצל אם כל תת קבוצה ממש שלה שקולה לה לא מתקיימת אף פעם (הקבוצה צריכה להיות שקולה לקבוצה הריקה, וזה בלי אפשרי), ולכן אין בה ערך.
2. כאן אמרת דבר חדש ולא ביססת אותו (לגבי הקשר עם האלכסון של קנטור, ראה גם בהמשך). "מעבר לטווח המיפוי" זו לא תכונה כללית של A אלא רק תוצאה, שעבור פונקציה f מסויימת מ-X אל קבוצת החזקה, A_f נמצאת מחוץ לתמונה של f. זה לא שלא קיימת פונקציה g, שמעבירה איבר מסויים ל-A_f, היא פשוט תהיה פונקציה שונה.
3. האלכסון של קנטור ומשפט קנטור לקבוצת החזקה הם שונים לגמרי. העובדה שקבוצת החזקה של הטבעיים שקולה לקבוצת המספרים הממשיים היא בכלל לא טריוויאלית - הרי מלכתחילה, איזה קשר יש בין שני המבנים האלו? האלכסון של קנטור מתאים רק להשוואה בין קבוצה בת מניה לקבוצה אחרת, ובמילא אין לו משמעות כשדנים בקבוצות כלליות. משפט קנטור לקבוצת החזקה הוא לא הרחבה של האלכסון של קנטור.
5. מותר להניח הנחה כלשהי (אפילו שידוע שהיא שגויה), ועל ידי הגעה לסתירה להסיק כי ההנחה המקורית היתה שגויה - זוהי הוכחה על דרך השלילה. אם ההנחה לא היתה שגויה לא היתה אפשרות להגיע לסתירה.
6. בכל מקרה, יש עוצמות רבות חוץ מהעוצמות בנות המנייה ועוצמת הרצף, או לפחות לא הוכחנו אחרת, ולכן השאלה האם קיימת איזושהי פונקציה על מקבוצת לקבוצת החזקה שלה לא מוגבלת רק לדיון בעוצמות הללו אלא היא כללית יותר, ולכן יש בה טעם, והוכחה בשלילה אולי משמעותית. יאיר ח. 22:21, 14 באוקטובר 2006 (IST)

לדבריך, אם הוכחה על דרך השלילה מבוססת על הנחה שידוע כי היא שגויה, על מנת להגיע לפרדוקס,

מה מונע מהנ"ל להקרא פשוט, הנחת המבוקש? דורון שדמי 22:51, 14 באוקטובר 2006 (IST)

בקשרשהלוואי וירבו כמוך ל"מעבר לטווח המיפוי" וכלליות A , A הינה תת-קבוצה של X , "האוספת לקרבה" את כל האיברים אשר אין להם תמונות בתת-הקבוצות של X איתם הם ממופים, וזוהי תכונתה הכללית שהיא: להיות בדיוק אוסף כל האיברים הללו. מה מונע מאיתנו מלהסיק כי A היא תמיד מחוץ לטווח המיפוי של איבריה (ואז A קיימת בהכרח)? דורון שדמי 22:51, 14 באוקטובר 2006 (IST)

באמירה "שבירה", התכוונתי לכך שכבר לוקח לי יותר מדי זמן לגלול את הדף מהכותרת של החלק ועד למטה במצב עריכה, ולכן אני שובר את החלק לשני חלקים, ולא ח"ו שאני שובר אותך או להיפך. אגב, אני ממליץ לך להעביר את החלקים השונים בדף השיחה שלך לדפי משנה כמו משתמש:דורון שדמי/הוכחה על דרך השלילה, ככה יהיה לך יותר נוח לטפל בהם ולערוך אותם, וככה דף השיחה שלך לא ישקול 250 KB...

למה הכוונה ב"מחוץ לטווח המיפוי" (הגירסא דינקותא שלי, כלומר מה שלמדתי לפי איזה שנתיים, משתמשת במילים "פונקציה" ו"תמונה", ולפעמים נראה לי ש"מיפוי" לא לגמרי חופף למושג "פונקציה")? יאיר ח. 09:35, 15 באוקטובר 2006 (IST)

תודה יאיר, איתך הסליחה בקשר לעניין "השבירה".

כאשר כתבתי "מיפוי", התכוונתי ל"פונקציה" במובן המקובל (אנא ראה ב-http://en.wikipedia.org/wiki/Map_%28mathematics%29).

אם אתה מסכים שלפי הנ"ל, "מיפוי" ו"פונקציה" חד-הם (לפחות במקרה של 1-1) אז ענה נא לשאלה לעיל, תודה. דורון שדמי 10:10, 15 באוקטובר 2006 (IST)

בהינתן פונקציה f מ-X ל-(P(X, קיימת קבוצה A_f שהיא קבוצת כל ה-x-ים ב-X שאינם איברים של תמונתם שהיא (f(x. באמת, לא יתכן שיהיה קיים z ב-X כך ש- f(z)=A_f, כי אז ניתקל בסתירה. לעומת זאת עבור פונקציה נתונה f ניתן לבנות (עד כדי אקסיומת הבחירה...) פונקציה g מ-X ל-(P(X שעבורה יהיה קיים איבר x שיעבור תחת f ל-A_f, כלומר אין ל-A_f איזו תכונה "אוניברסלית" של התחמקות מכל הפונקציות, אלא לכל f קיימת A_f שמתחמקת ממנה. תראה בדוגמאות דלעיל בהן הקבוצה A היא ממש טריוויאלית ואין שום בעיה ליצור פונקציה שתשליך איזשהו איבר לקבוצה A. אני מקווה שעניתי לשאלתך הראשונה, את ההסקה (כלומר ש-A תמיד קיימת) לא הבנתי, וממילא אין בכך צורך. ברגע ש-f קיימת ברור (לפי האקסיומה) שגם A קיימת. אם התברר לנו שיש פתאום בעיות עם A נסתכל אחורה ל-f - כי הבעיות הן בה. מתוקף שורשי הייקים ארצה לסיים את הדיון הזה, לפני שאכנס לדיון החדש. יאיר ח. 16:17, 15 באוקטובר 2006 (IST)

כוונתי היא ש-A אינה קבוצה מסויימת אלא כלל-בניה לקבוצה A המאפשר קיום גרסאות של A מחוץ לטווח המיפוי עם איברי קבוצה X (לעולם לא מתקיים מיפוי בין איבר כלשהו מ-X עם גרסה כלשהי של A, שהיא איבר בקבוצת החזקה של X (אינני מדבר על המיפויים המכניסים איברים מ-X לגרסה של A, כאשר מיפויים אלה הם תמיד עם תת-קבוצות של X, שאף אחת מהן איננה גרסה של קבוצה A)) לכן קיימת קבוצת כל הגרסאות של קבוצה A.

קבוצת כל הגרסאות של A היא, לא תאמין, קבוצת החזקה של X בכבודה ובעצמה.

מסקנה: הוכחת קנטור לאי-קיום פונקציה חח"ע ועל בין X לקבוצת החזקה של X , מבוססת על כלל בניה לקיום קבוצת החזקה של X, כאשר כלל זה הוא בהכרח אי-קיומה של פונקציה חח"ע ועל, ולכן יש לנו כאן מקרה ברור של הנחת-המבוקש, המסתתר מאחורי האיצטלה של הוכחה על דרך השלילה. דורון שדמי 03:12, 16 באוקטובר 2006 (IST)

קצת סדר: עבור כל f [פונקציה מ-X לקבוצת החזקה של X] קיימת A_f [שמוגדרת כך וכך... ומקיימת ש]עבור כל $x\in X$ [מתקיים ש-] $f(x)\neq A_{f}$. על זה שנינו מסכימים (אני חושב). האמירה הזו שונה לחלוטין מהאמירה: קיימת A כך שלכל f ולכל $x\in X$ מתקיים $f(x)\neq A$. שים לב שההבדל בין שתי הגרסאות הוא החלפת סדר הכמתים הכוונה היא שתכתוב את הערך, אני בטוח שהמונח מוכר לך, שמשנה לחלוטין את המשמעות. בוודאי שאי אפשר להסיק שקיימת מחלקה של קבוצות כאלו (שעבור כל פונקציה f ולכל x, מתקיים $f(x)\neq A$ ).

זו טענה מעניינת, שהאוסף A_f הוא קבוצת החזקה, היא נשמעת הגיונית - אל תגלה לי את ההוכחה (בינתיים) אני אנסה לפתור את החידה הזו לבד. יאיר ח. 17:05, 16 באוקטובר 2006 (IST)

ניתן להוכיח את הטענה הזו באופן טריוויאלי (מאכזב אבל לא נורא)... יאיר ח. 17:49, 17 באוקטובר 2006 (IST)

ולכן משפט קנטור לקבוצה החזקה הינו הנחת-המבוקש. דורון שדמי 18:10, 17 באוקטובר 2006 (IST)

חס ושלום! התכונה שעבור כל x מתקיים $\ f(x)\neq A_{f}$ היא לא הגדרה אלא נובעת מהגדרת A, באופן שהוא הוא הוכחת משפט קנטור. אין הנחה שקיימת שלכל f קיימת קבוצה A_f, כך שלכל x מתקיים ש-f(x) שונה מ-A_f, אז זו היתה באמת הנחת המבוקש, אלא בהינתן f אנו בונים קבוצה שמקיימת את אותה תכונה. אנו לא מניחים את קיומה של הקבוצה שמקיימת את התכונה אלא בונים את אותה קבוצה במפורש, ומראים שהיא מקיימת את התכונה (אני די הסתרבלתי עם הניסוחים, כי לא רציתי להכביד עוד יותר על הדף הזה, מבחינת KB-ים, עם נוסחאות למיניהן). יאיר ח. 19:23, 17 באוקטובר 2006 (IST)

אמור נא לי יאיר, מה ערכה של הוכחה אשר מגדירה במסגרתה את התנאים למה שהיא תמצא (ומקרה זה מדובר בשיטת לבניית קבוצת החזקה של X, כאשר שיטה זו מונעת מראש את קיומה של פונקציה חח"ע ועל, או באנלוגיה: אני משתמש בשיטה לייצור צבע אדום, ומוכיח כי הקיר שנצבע בעזרתו, צבוע באדום)? דורון שדמי 18:15, 17 באוקטובר 2006 (IST).

ההוכחה לא מגדירה מה היא תמצא, אלא בונה (במפורש) עבור פונקציה מסויימת, קבוצה שלא מוכלת בטווח של אותה פונקציה. אנו לא בונים את קבוצת החזקה, אלא קבוצה מסויימת בתוכה. האנלוגיה מדוייקת - אתה מערבב חומרים ומקבל צבע שאתה מוכיח שהוא אדום, מה הבעיה?

לא נכון, אתה מערבב חומרים שתוצאתם היא בהכרח צבע אדום, ואז אתה מוכיח שקבלת צבע אדום, או בקיצור, הנחת את המבוקש. דורון שדמי 08:59, 18 באוקטובר 2006 (IST).

בהינתן פונקציה f מ-X לקבוצת החזקה שלה אנו בונים את הקבוצה $\ A_{f}=\left\{x\in X|\ x\not \in f(x)\right\}$ עבור קבוצה זו מתקיים $\ f(z)\neq A_{f}$ לכל z ב-X.

העובדה שכך מתקיים באמת מוכחת על דרך השלילה - נניח כי קיים z כזה ונקבל שהוא לא מוכל ב-A_f וגם לא לא מוכל בה. לא הגדרנו אותה מראש כקבוצה שמקיימת את התכונה, אלא באופן אחר (שאפשריותו נובעת מהאקסיומה). יאיר ח. 00:05, 18 באוקטובר 2006 (IST)

לא נכון, מה שמתקיים באמת הינה גרסת A (שהיא איבר בקבוצת החזקה של X) הנמצאת מחוץ לטווח המיפוי של כל איברי קבוצה X, וקבוצת כל גרסאות A (שהיא קבוצת החזקה של X) היא בהכרח מעבר למיפוי כל איברי X , כי הראנו כי קיום A שריר וקיים מחוץ לטווח איברי X בכל המקרים, ללא יוצא מן הכלל. לכן ניתן להסיק באופן טריוויאלי כי היות ויצרנו תנאים (או באנלוגיה, ערבבנו חומרים), אשר בהם תמיד מתקיים איבר של קבוצת החזקה של X מחוץ לטווח כל איברי X, אז התוצאה תהיה בהכרח אי-קיומה של פונקציה חח"ע ועל בין הקבוצה שיצרנו (שהיא קבוצת החזקה של X) לבין קבוצה X (או כמו שאומרים: "אי-מודעות לחוק, אינה פוטרת מעונש", ובמקרה זה זו אי-מודעות לחוק שיצרת במו ידך).

תוצאת הפרדוקס, הינו בדיוק קיומה של קבוצה A מחוץ לטווח המיפוי של כל איברי X , ולכן כל מה שמוביל לפרדוקס, למעשה מייצר בפועל את קבוצה כל גרסאות A, שהיא בדיוק קבוצת החזקה של X.

אם אמצעי מסויים הינו משתתף פעיל בבניית האלמנטים הנחקרים (ובמקרה זה, קבוצת החזקה של X), הרי שהוא פסול מכל וכל לשמש בהוכחה למשהו הקשור לאלמנט שהוא מעורב ביצירתו (אחרת אנו משחקים במשחק שתוצאותיו ידועות מראש, או מה שנקרא בלשון עממית משחק-מכור).

אפשר לטעון כי אנו נכפים בהכרח להסיק כי אין מיפוי חח"ע ועל בין X לקבוצת החזקה שלה (וזהו בדיוק הנוסח המסיים את משפט קנטור לקבוצת החזקה) כתוצאה מכך שהראנו כי אין גרסת A המתקיימת בטווח איברי קבוצה X, אך במו ידינו הגדרנו את התנאים המובילים בהכרח למסקנה זו, כאשר בדרך אנו מוסיפים "חטא על פשע", ע"י יצירה ממש של קבוצת החזקה של X , על-פי אותם תנאים.דורון שדמי 09:20, 18 באוקטובר 2006 (IST).

מאיפה הסקת "וקבוצת כל גרסאות A (שהיא קבוצת החזקה של X) היא בהכרח מעבר למיפוי כל איברי X "? יאיר ח. 15:06, 18 באוקטובר 2006 (IST)

אתה צודק, הניסוח שלי אינו חד משמעי, כוונתי היא שתמיד יש לפחות איבר אחד בקבוצת החזקה של X, אשר הינו מעבר למיפוי כל איברי X. דורון שדמי 18:17, 18 באוקטובר 2006 (IST).

בדיוק. עבור כל f קיים איבר בקבוצת החזקה אליו שום איבר מ-X לא מתמפה. מ.ש.ל. יאיר ח. 18:37, 18 באוקטובר 2006 (IST)

אין פה מ.ש.ל אלא אלגוריתם לבניית קבוצת החזקה של X מאיברי X. אינך צריך להניח שום הנחות ומהם להגיע למסקנות ביחס למצב המיפוי בין X לקבוצת החזקה שלו.

האלגוריתם אוסף את כל איברי X שאין להם תמונה באיבר מקבוצת החזקה, איתו הם ממופים.

כל איבר X ממופה רק פעם אחת עם תת-קבוצה של X, ולכן ברור לחלוטין כי איברי A שונים מכל איבר X הממופה עם גרסת A, ולכן (עידכון:איבר) X חייב להיות ב-A, אך אז זו איננה קבוצה A, ולכן גרסה כלשהי של A יכולה להתקיים אם ורק אם אין איבר מ-X הממופה איתה. תכונה ההתחמקות של כל גרסת A נשמרת בהכרח גם בעת שאנו משווים בין קבוצת כל גרסאות A (שהיא קבוצת החזקה של X) לבין קבוצה X. שים נא לב שלא היה כאן שום תהליך של הנחה ומסקנה, אלא תהליך מכני לחלוטין של שימוש באלגוריתם, אשר חוקיו מקיימים בהכרח קבוצה (קבוצת החזקה של X) אשר יש לה לפחות איבר אחד (שהוא תוצר האלגוריתם) המתחמק תמידית מכל איבר X.

בקיצור, כל "הוכחה" של אלגוריתם המותנה מראש להשגת תוצאה רצויה, הינה הנחת-המבוקש. דורון שדמי 19:44, 18 באוקטובר 2006 (IST)

פרה פרה:

"האלגוריתם..." השימוש המילה אלגוריתם הוא מוזר, אבל מילא (כלל היה עדיף)...

"כל איבר מ-X ממופה רק פעם אחת עם תת-קבוצה של X, 'ולכן' ברור לחלוטין כי איברי A שונים מכל איבר X הממופה עם גרסת A" - ה"ולכן" לא קשור, זוהי ההגדרה של A, ואם אין שימוש בהגדרה - הגרירה הלוגית חסרת בסיס.

"ולכן X חייב להיות ב-A" מה משמעות המשפט בכלל? A היא תת קבוצה של X, ואין סיבה ש-X יהיה איבר של A. אולי התכוונת לכך ש-X היא תת קבוצה של A (כלומר שהן שוות) ואז ההסקה סתם לא ברורה- מאיפה הסקת את זה? בוודאי לא מהמשפט הקודם.

"תכונה ההתחמקות של כל גרסת A נשמרת בהכרח גם בעת שאנו משווים בין קבוצת כל גרסאות A (שהיא קבוצת החזקה של X) לבין קבוצה X. " אין שום ייחוד בכך שקבוצה מסויימת ניתנת להצגה כ-A_f עבור f מתאים. פשוט, בהינתן תת קבוצה B כלשהי, הפונקציה f שמוגדרת f(x)=X עבור x שאינו ב-B, ושמחזירה את הקבוצה הריקה עבור כל x ב-B, הקבוצה A המתאימה תהיה בדיוק B. כלומר "תכונת ההתחמקות" כלשוני, היא לא משהו מיוחד, אלא רק הקשר בין A לפונקציה שממנה הוא הוגדר. שאר המשפט לא מובן (לאיזו השוואה אתה מתכוון - מיפוי?).

לגבי המכניות של ההוכחה - זה עניין של טעם...

"בקיצור, כל "הוכחה" של אלגוריתם המותנה מראש להשגת תוצאה רצויה, הינה הנחת-המבוקש." זה, לדעתי, שורש העניין. הוכחה לא צריכה להיות מקרית. בדרך כלל אנו חותרים לקראת איזושהי פואנטה בהוכחה, ובונים אותה בהתאם. ברור שכאשר נציג את העובדות, נציג רק את אותן שרלוונטיות לגבינו ולא נזרוק באקראי רעיונות עד שיצא משהו. אם כל הוכחה מתוכננת היתה הנחת המבוקש - כל הוכחה היתה הנחה המבוקש.

כל הזמן אתה מספר לנו שההוכחה היא הנחת המבוקש - אז מה? הנחת המבוקש היא אמנם כשל רטורי, אבל ממש לא כשל לוגי (בניגוד למה שרדלר חושב). אם אני מניח א' ומגיע למסקנה א', אז ביצעתי מעבר לוגי כשר. בנוסף, אין במשפט כמעט שום הנחה התחלתית. ההנחה היחידה היא קיום האקסיומות וקיום הקבוצה X, אם בעיניך זוהי הנחת המבוקש, שיבוסם לך. כלומר, אמנם ההוכחה היא כל כך קצרה שהיא נראית כמו הנחת המבוקש - אבל אין שום הנחה! בסופו של דבר, היות והכל כלול באקסיומות, כל הוכחה ריגורוזית היא ברמה מסויימת הנחת המבוקש, ולכן אין שקר במה שאתה אומר... מילא כשאמרת שהנחת השלילה היא הנחת המבוקש, אז היה בזה איזשהו היגיון, אבל עכשיו- איזו הנחה הנחנו בכלל? יאיר ח. 01:43, 19 באוקטובר 2006 (IST)

הוכחת קנטור הינה הוכחה על דרך השלילה, זאת אומרת, אתה מניח כי קיימת פונקציה חח"ע ועל, מראה כי הנחה זו מובילה לפרדוקס, ואז אתה נכפה להסיק את המסקנה ההפוכה, כדי להמנע מהפרדוקס.

מה שהראיתי הוא שהכלל (כלשונך) לקיום קבוצת החזקה של X , בנוי בהכרח על אי-קיומה של פונקציה חח"ע ועל בין X לקבוצת החזקה של X, וכל שיטת ההוכחה על דרך השלילה אינה אלא סרח עודף המבוסס על התפתלות לשונית מיותרת בתכלית.

לצערי, פספתי מילה קריטית (המילה איבר) בתשובתי הקודמת ולכן אכתוב שוב קטע מדברי הקודמים, תוך הדגשת המילה שהחסרתי קודם, והפעם אני מקווה שדברי יובנו (אשנה את "אלגוריתם" ל-"כלל").

הנה הקטע שוב:

כל איבר X ממופה רק פעם אחת עם תת-קבוצה של X, ולכן ברור לחלוטין כי איברי כל גרסת A שונים מכל איבר X הממופה עם גרסת A, ולכן איבר X חייב להיות ב-A (לפי הגדרת A), אך אז זו איננה קבוצה A, ולכן גרסה כלשהי של A יכולה להתקיים אם ורק אם אין איבר מ-X הממופה איתה. תכונה ההתחמקות של כל גרסת A נשמרת בהכרח גם בעת שאנו משווים בין קבוצת כל גרסאות A (שהיא קבוצת החזקה של X) לבין קבוצה X. שים נא לב שלא היה כאן שום תהליך של הנחה ומסקנה, אלא שימוש בכלל, אשר חוקיו מקיימים בהכרח קבוצה (קבוצת החזקה של X) אשר יש לה לפחות איבר אחד (שהוא תוצר הכלל שקבענו) המתחמק תמידית מכל איבר X.

כל הוכחה של כלל-בניה המותנה מראש להשגת יחס מסוים בין אלמנטים (כאשר כלל זה הינו שותף פעיל בבניית אחד האלמנטים(כאשר במקרה זה אנו בונים את קבוצת החזקה של X תוך שימוש בכלל)) הינה בהכרח הנחת-המבוקש. דורון שדמי 09:35, 19 באוקטובר 2006 (IST)

כתבת "ולכן ברור לחלוטין כי איברי כל גרסת A שונים מכל איבר X הממופה עם גרסת A" זה לא נכון. עבור המיפוי $\ f(x)=\emptyset$, מתקבל A_f=X. לעומת זאת קיים גם המיפוי $\ f(x)=X$, בו איברי אותה גרסת A הם בדיוק אותם איברים שמתמפים עם אותה גרסת A. יאיר ח. 12:07, 19 באוקטובר 2006 (IST)

אתה צודק. צריך לכתוב "מה שמחוץ לגרסת A תמיד שונה ממה שבגרסה A" , ולכן אם גרסה A מכילה את כל אברי X, הרי זה טריוויאלי שלא נותר שום איבר X להתמפות איתה.

הנ"ל תקף גם כאשר כל איברי X הם מחוץ לגרסה הריקה של A, אשר קיימת מפני שאין אף תמונה של איבר X בתוכה.

בכל מקרה, אין זה משנה את טענתי, כי ברור שאם קבענו קיומו של איזה-דבר עפ"י כלל מסויים, ובאותה נשימה אנו טוענים כי הדבר אינו קיים, הרי זה ברור כי אנו באים לידי פרדוקס.

לכן הוכחת קנטור לקבוצת החזקה, הינה התפתלות מיותרת בתכלית. דורון שדמי 13:46, 19 באוקטובר 2006 (IST)

שוב ציטוט: "כי ברור שאם קבענו קיומו של איזה-דבר עפ"י כלל מסויים, ובאותה נשימה אנו טוענים כי הדבר אינו קיים, הרי זה ברור כי אנו באים לידי פרדוקס", אני מניח שאתה מדבר על הקבוצה A, יחד עם הנחת השלילה ש-f היא על. זוהי בדיוק הוכחת על דרך השלילה - קיום A מובטח תמיד מהאקסיומה, הנחנו הנחה מסויימת וקיבלנו סתירה, ומכאן שההנחה שהנחנו היא בהכרח שגויה, אחרת לא היינו מקבלים סתירה. ההנחה שהנחנו היא ש-f היא על - ולכן F איננה על. מ.ש.ל.

שים לב שלא הנחנו שתי הנחות סותרות (לדוגמא, ש-f היא על ושהיא לא על) אלא רק הנחה אחת. אם אתה מניח הנחה מסויימת ומגיע ממנה לסתירה, אז בהכרח ההנחה שהנחת היא שגויה (במסגרת האקסיומות וכו'). זוהי בדיוק הוכחה על דרך השלילה. יאיר ח. 13:52, 19 באוקטובר 2006 (IST)

כתבת:" אני מניח שאתה מדבר על הקבוצה A, יחד עם הנחת השלילה ש-f היא על."

לא, f לא על אינה הנחה, אלא תוצאה הכרחית של כלל הבניה שהגדרנו, או במילים אחרות הוכחת קנטור שקולה להוכחה שבה הולכים צעד אחורה, צעד קדימה ומוכיחים שצעדנו קדימה. במילים אחרות, אפשר ישר ללכת צעד קדימה ולקבל ישירות את שחפצנו, ללא כל הנחות מקדימות, אלא מכוחם הישיר של כללי הבניה שקבענו (שוב: ההנחה כי f היא על, סותרת מיידית את כללי הבנייה של קבוצת החזקה של X, וסתירה זו הינה תוצאה טריוויאלית, ברגע שאנו מודעים לכללי הבנייה שלנו, המקיימים בהכרח את קבוצת החזקה של X). דורון שדמי 14:37, 19 באוקטובר 2006 (IST)

נניח f פונקציה מ-X לקבוצת החזקה שלה. אני מניח ש-f היא על. הראה לי בבקשה את הסתירה שנובעת מדברי (בלי להתבסס על משפט קנטור). יאיר ח. 14:48, 19 באוקטובר 2006 (IST)

אינך יכול להניח ש-f היא על עם כלל הבניה שלך מבטיח שמה שמחוץ לגרסת A תמיד שונה ממה שבגרסה A, או במילים אחרות, הקבוצה הניבנת מקבוצה X לפי כלל זה, היא בהכרח לא חח"ע ועל, ולכן (באנלוגיה) עם אני צובע קיר בצבע לבן (כאשר אני הוא זה שבחרתי לקבל תוצאה של קיר הצבוע בלבן) איני צריך להניח שהקיר שחור, ולהוכיח לך שהקיר אינו שחור (זוהי בפירוש התפתלות מיותרת).

אומר זאת שוב, משפט קנטור אינו מוכיח דבר, אלא בונה באופן ישיר את התוצאה הרצויה. דורון שדמי 14:58, 19 באוקטובר 2006 (IST)

איזה כלל בניה? בסה"כ מה שאתה אומר זה - הנה מצאתי (בניתי) תת קבוצה של X שאליה בוודאי f לא מעבירה שום איבר כי אם כן, אז היתה מתקבלת סתירה (הדגשתי את מה שאתה מתעלם ממנו משום מה). וזוהי בדיוק ההוכחה של משפט קנטור. פרוש את כל המשפטים המצומצמים (איזה כלל בניה, מה הסתירה שהתקבלה) ותקבל בדיוק את ההוכחה. אין כאן התפתלות לשונית, להיפך - כל מילה בהוכחה רלוונטית ואי אפשר בלעדיה.

זה שיש כלל בניה זו בעיה? להיפך - הנה בנינו במפורש את מה שהיה צריך ולא הוכחנו את קיומו באופן מעורפל. זה לא שהגדרנו "תהי A הקבוצה אליה f לא ממפה שום איבר" אז אולי לא היינו מוצאים שם שום קבוצה שמקיימת את התנאי הזה, אלא הגדרנו "תהיה A תת הקבוצה של X הכוללת את כל איברי X שאינם נכללים בתמונתם" - קיום קבוצה זו מובטח מאקסיומות ZF. עכשיו, עבור כל פונקציה שתתן לי אני אוכל למצוא במפורש תת-קבוצה אליה היא לא מעבירה אף איבר מ-X - זה כוחה של הבניה המפורשת. בלי קשר, אני ממליץ לך להשתמש בלחצן ה"תצוגה מקדימה", כך נמנע מהתנגשויות למיניהן. יאיר ח. 15:07, 19 באוקטובר 2006 (IST)

שאלת איזה כלל בניה, ותשובתי היא:

"תהיה A תת הקבוצה של X הכוללת את כל איברי X שאינם נכללים בתמונתם"

עכשיו אחזור בפעם השלישית או הרביעית על מה שעדיין לא הבנת והוא:

מושג הקבוצה מבוסס על מובחנותם של איברים זה מזה, ולכן לא יכולים להתקיים איברים זהים באותה קבוצה.

כל איבר X ממופה רק פעם אחת עם תת-קבוצה של X, ולכן ברור לחלוטין כי איברי כל גרסת A שונים מכל הממופה עם גרסת A (ובהגדרה זו אני כולל גם את מקרי הקיצון של גרסה A עם כל איברי X ואת הגרסה הריקה של A) , ולכן איבר X חייב להיות בגרסה לא-ריקה שאיננה מקרה קיצון של A ( וזאת לפי הגדרת A ולפי מושג הקבוצה הכתוב לעיל), אך אז זו איננה קבוצה A, ולכן גרסה כלשהי של A יכולה להתקיים אם ורק אם אין איבר מ-X הממופה איתה.

איננו צריכים פה שום הנחות מוקדמות ופרדוקסים למיניהם, אלא משתמשים בידע הנובע ישירות מעצם הגדרת מושג הקבוצה (כפי שתואר לעיל) ובכלל לקיום A (כאשר אוסף כל גרסאות A הינו בדיוק קבוצת החזקה של X).

תכונה ההתחמקות של כל גרסת A נשמרת בהכרח גם בעת שאנו משווים בין קבוצת כל גרסאות A (שהיא קבוצת החזקה של X) לבין קבוצה X.

שים נא לב שלא היה כאן שום תהליך של הנחה ומסקנה, אלא שימוש בכלל, אשר חוקיו מקיימים בהכרח קבוצה (קבוצת החזקה של X) אשר יש לה לפחות איבר אחד (שהוא תוצר הכלל שקבענו) המתחמק תמידית מכל איבר X. דורון שדמי 18:37, 19 באוקטובר 2006 (IST)

כשאתה נתקל במישהו סתום כמוני, לחזור על אותם משפטים בדרך כלל לא יעזור. עדיף לנסות לנסח את אותם הדברים בצורה מעט שונה.
"כל איבר X ממופה רק פעם אחת עם תת-קבוצה של X, ולכן ברור לחלוטין כי איברי כל גרסת A שונים מכל הממופה עם גרסת A" - תרגום שלי: בהינתן פונקציה f קיימת גרסה של A, כך שהקבוצות A וקבוצת כל איברי X שממופים ל-A הן קבוצות זרות. כאן ניצבות שתי אפשרויות:

1. אותם איברים ממופים על ידי f. במקרה הזה ה"ולכן" לא מובן, כלומר ההסקה לא מובנת (רמז: להעתיק אותה שוב לא יעזור. כדאי לפרט את המהלך הלוגי). ובכל מקרה, על ידי מהלך שזהה להוכחה של קנטור ברור שקבוצת איברי X שממופים ל-A היא קבוצה ריקה (כי אם נניח בשלילה שיש איבר כזה אז הוא לא ישתייך ל-A וכן גם לא לא ישתייך ל-A, לפי הגדרת A).
2. אותם איברים ממופים על ידי כל פונקציה g. במקרה כזה המשפט פשוט שגוי, כמו שהראתי בדוגמא דלעיל.

מכאן שכל האפשרויות היו שגויות (והטענה שלך כמובן עקבית), אני נאלץ לאמר שהתרגום שלי שגוי, ואני מזמין אותך לתרגם במקומי. יאיר ח. 19:34, 19 באוקטובר 2006 (IST)

יאיר אל נא "תחמיא" לעצמך, אתה אדם חכם להפליא ואני מוצא עונג רב בדיאלוג איתך, ומאחל לעצמי שהלוואי ויתמזל מזלי לפגוש עוד אנשים כמוך.

הדברים פשוטים בתכלית מבחינה לוגית. גרסת A קיימת רק אם אין שום איבר של X הממופה איתה, כי לפי אקסיומת ההפרדה, כל המיפויים המזינים את תכולת גרסה A חייבים להתקיים ללא יוצא מן הכלל כדי שגרסת A תעמוד בדרישת אקסיומת ההפרדה והיא להכיל את כל האיברים בעלי תכונה P. ולכן לא נשאר אף איבר X היכול להתמפות עם גרסת A כלשהי.

הדבר נכון גם כאשר גרסת A אינה מכילה אף איבר X (וזהו המקרה שבו כל איבר X ממופה תמיד עם תת-קבוצה של X המכילה את תמונתו) והדבר נכון גם במקרה שבו גרסת A מכילה את כל איברי X (וזהו המקרה שבו כל איבר X ממופה תמיד עם תת-קבוצה של X אשר איננה מכילה את תמונתו). כל שאר האפשרויות מתקיימות כקומבינציה בין מקרי-הקיצון, אך תמיד כל האיברים האפשריים כבר מוכלים ללא יוצא מן הכלל בגרסת A כלשהי, ולא נותר איבר להתמפות עם גרסת A, אשר מעצם הגדרתה לפי אקסימת ההפרדה, חייבת להכיל את כל איברי X בעלי תכונה P, וזאת, כאמור, ללא יוצא מן הכלל, אם חפיצת קיום היא.

אי היציאה מן הכלל המחייבת כל גרסת A להכיל את כל איברי X של מצב מיפוי מסויים, עד כדי אי-קיומו של איבר X "הממופה" איתה (כאשר יציאה מן הכלל היא הפרה של אקסיומת ההפרדה), מונעת את אפשרות קיומו של הפרדוקס המופיע במשפט קנטור.

במילים אחרות, הוכחה על דרך השלילה, במקרה זה, כמוה כניסיון להפר אקסיומה במערכת דדוקטיבית, המובילה בהכרח לפרדוקס, המוביל אותנו למסקנה כי לא ניתן להפר אקסיומה במערכת דדוקטיבית (שזוהי, מן הסתם, מסקנה טריוויאלית).

כפי שאתה רואה יאיר, בעזרתך האדיבה הבנתי כי A קיימת בהכרח מכוחה של אקסיומת ההפרדה, וכוח קיום זה (ולא הניסיון להפר אותו, המוביל בהכרח לפרדוקס) הינו אפריורי, ומכיוון שאף איבר מ-X אינו ממופה אם אף גרסת A, נכון הדבר גם לגבי קבוצת כל גרסאות A, הלו היא קבוצת החזקה של X (ואין לנו צורך בהנחת מסקנה הסותרת את אקסיומת ההפרדה, המובילה אותנו בהכרח למסקנה ההפוכה מההנחה, ולכן כל המהלך הזה מיותר אפריורית).

יכול להיות שאם נפשפש בקרביהן של הוכחות על דרך השלילה, נמצא כי הפרדוקס הטמון בהן נובע בבסיסו מסתירת אקסיומה של המערכת הדדוקטיבית, בה אותן הוכחות מנוסחות.

כמו-כן נדמה לי כי אקסיומת ההפרדה + כלל הבניה של קבוצת החזקה X המופיע במשפט קנטור, מאפשר לנו לוותר על שרותיה של אקסיומת החזקה ב-ZF. דורון שדמי 22:02, 19 באוקטובר 2006 (IST)

אתה צודק. כל הנחת שלילה היא ניסיון להפר אקסיומה או צירוף של כאלו, והסתירה המתקבלת בסוף היא היא ההוכחה שהנחת השלילה באמת היתה שגויה. לעומת זאת, אם תנסה להסיק מהאקסיומות ישירות משפטים שמוכחים על דרך השלילה - יהיה לך מאוד קשה, ואולי אפילו בלתי אפשרי, כלומר הוכחה על דרך השלילה היא כלי חשוב, ולא ניתן לוותר עליו. שים לב לכך שהוכחה על דרך השלילה היא שונה באופן מהותי משאר צורות ההוכחות, ולכן אולי קשה לפעמים לקבל אותה. אני לא אהיה פה בזמן הקרוב, אך כשאחזור נוכל לדבר על הרעיונות הנוספים שלך. ביי, יאיר ח. 15:47, 20 באוקטובר 2006 (IST)

התובנה הטמונה בגישה ישירה, עדיפה אלף מונים על הוכחה על דרך השלילה, כי הנה כתוצאה מהוכחת משפט קנטור לקבוצת החזקה, הפסדנו את התובנה כי קבוצת כל גרסאות A הינה למעשה קבוצת החזקה של X, וכמו-כן הפסדנו את האפשרות לפשט את ZF ע"י ביטול אקסיומת החזקה (כפי שהראיתי לעיל). לכן צריך להמנע עד כמה שניתן מהסתפקות בתוצאותיה של הוכחה על דרך השלילה, ולנסות תמיד לחתור להבנה המבוססת על גישה ישירה (בגישה ישירה ניתן להגיע להכללה ללא התעלמות מהפרטים קרי, ההכללה מושגת ללא התעלמות מהמבנה).

צאתך לשלום ושובך בשלום יאיר היקר. דורון שדמי 17:59, 20 באוקטובר 2006 (IST)