היפר-מעגל (גאומטריה)

בגאומטריה היפרבולית, היפר-מעגל (באנגלית: Hypercircle) או עקום שווה-מרחק, הוא עקום אשר לכל נקודותיו יש אותו מרחק אורתוגונלי מישר נתון.

בהינתן קו ישר L ונקודה כלשהי P שאינה שייכת ל-L, ניתן לבנות היפר-מעגל כמקום הגאומטרי של כל הנקודות Q הנמצאות באותו צד של L כמו P, והנמצאות במרחק אורתוגונלי מ-L השווה לזה של P. הישר L מכונה הציר, או קו הבסיס של ההיפר-מעגל. הקווים המאונכים ל-L, אשר הם גם מאונכים להיפר-מעגל, נקראים הנורמלים של ההיפר-מעגל. מקטעי הנורמלים שבין L להיפר-מעגל מכונים רדיוסים, ואורכם הקבוע מכונה המרחק או רדיוס ההיפר-מעגל.^[1]

במרחב אוקלידי, כל הקווים בעלי עקמומיות קבועה הם קווים ישרים (גאודזות) או מעגלים, אבל במרחב היפרבולי בעל עקמומיות חתך קבועה $-1$ , עקומים בעלי עקמומיות קבועה מתחלקים לארבעה סוגים: גאודזות עם עקמומיות $\kappa =0$ , היפר-מעגלים עם עקמומיות $0<|\kappa |<1$ , "מעגלים גבוליים" (באנגלית: horocycles) עם עקמומיות $|\kappa |=1$ , ומעגלים עם עקמומיות $|\kappa |>1$ .

תכונות המשותפות להיפר-מעגלים וישרים אוקלידיים

להיפר-מעגלים בגאומטריה היפרבולית יש מספר תכונות הדומות לאלו של ישרים בגאומטריה אוקלידית:

במישור, בהינתן ישר ונקודה שאינה עליו, ישנו רק היפר-מעגל אחד העובר דרך הנקודה שצירו הוא הישר הנתון.
אף שלוש נקודות על ההיפר-מעגל אינן על מעגל.
היפר-מעגל הוא סימטרי ביחס לכל ישר המאונך לו (כלומר שיקוף ההיפר-מעגל ביחס לישר המאונך לו מניב אותו היפר-מעגל).

תכונות המשותפות להיפר-מעגלים ומעגלים אוקלידיים

להיפר-מעגלים בגאומטריה היפרבולית יש מספר תכונות הדומות לאלו של מעגלים בגאומטריה אוקלידית:

הציר והרדיוס (המרחק הקבוע) של כל היפר-מעגל נקבעים באופן יחידי.
קו ישר חותך היפר-מעגל לכל היותר בשתי נקודות.
שני היפר-מעגלים נחתכים לכל היותר בשתי נקודות.
אף שלוש נקודות של היפר-מעגל אינן נחות על ישר יחיד (אינן קולינאריות).

אורך קשת

במישור היפרבולי בעל עקמומיות קבועה 1-, אורך הקשת l של היפר-מעגל ניתן לחישוב מן הרדיוס r והמרחק d בין הנקודות שבהן חותכים הנורמלים מקצות קשת ההיפר-מעגל את הציר שלו באמצעות הנוסחה $l=d\mathbb {cosh} (r)$ .^[2]

בנייה במסגרת מודלים של גאומטריה היפרבולית

במודל הדיסק של פואנקרה של המישור ההיפרבולי, היפר-מעגלים מיוצגים על ידי ישרים וקשתות מעגליות שחותכים את מעגל השפה בזוויות לא ישרות.^[3] מנגד, ההצגה של הציר שלהם חותכת את מעגל השפה באותן נקודות, אך בזוויות ישרות.

במודל חצי המישור העליון של המישור ההיפרבולי, היפר-מעגלים מיוצגים על ידי ישרים וקשתות מעגליות שחותכים את ישר השפה (הציר הממשי) בזוויות לא ישרות. מנגד, ההצגה של הציר שלהם חותכת את ישר השפה באותן נקודות, אך בזוויות ישרות.

ראו גם

גאומטריה היפרבולית

הערות שוליים

^ Martin, George E. (1986). The foundations of geometry and the non-euclidean plane (1., corr. Springer ed.). New York: Springer-Verlag. p. 371. ISBN 3-540-90694-0.
^ Smogorzhevsky, A.S. (1982). Lobachevskian geometry. Moscow: Mir. p. 68.
^ אם כי ברור לפי עקרון הרציפות שמידת הסטייה של זווית זו מזווית ישרה תלויה ברדיוס ההיפר-מעגל; שכן עבור רדיוס אפס ההיפר-מעגל מתלכד עם הציר שלו, ולכן בהכרח חותך את מעגל השפה בזווית ישרה.

[1] Martin, George E. (1986). The foundations of geometry and the non-euclidean plane (1., corr. Springer ed.). New York: Springer-Verlag. p. 371. ISBN 3-540-90694-0.

[2] Smogorzhevsky, A.S. (1982). Lobachevskian geometry. Moscow: Mir. p. 68.

[3] אם כי ברור לפי עקרון הרציפות שמידת הסטייה של זווית זו מזווית ישרה תלויה ברדיוס ההיפר-מעגל; שכן עבור רדיוס אפס ההיפר-מעגל מתלכד עם הציר שלו, ולכן בהכרח חותך את מעגל השפה בזווית ישרה.

[1]

[2]

[3]