מרחב דואלי

הגדרת המרחב הדואלי

יהי $\ V$ מרחב וקטורי מעל השדה $\ F$.

המרחב הדואלי של $\ V$ שיסומן ב-$\ V^{*}$ הוא המרחב הוקטורי שאיבריו הם הפונקציות הלינאריות $\ V\to F$. החיבור והכפל בסקלר מוגדרים בצורה הטריויאלית.

איבר ב-$\ V^{*}$ נקרא פונקציונאל לינארי.

הבסיס הדואלי

נניח כי$\ V$ ממימד סופי ויהי $\ \left\{v_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ בסיס עבורו.

נסמן ב-$\ v_{i}^{*}$ את הפונקציונאל הלינארי המקבל 1 על $\ v_{i}$ ו-0 על שאר אברי הבסיס (כמובן שיש פונקציונאל לינארי יחיד כנ"ל).

הקבוצה $\ \left\{v_{i}^{*}\right\}_{i=1}^{n}$ מהווה בסיס ל-$\ V^{*}$ שיקרא הבסיס הדואלי.

ההעתקה הדואלית

תהי $\ T:V\to W$ העתקה לינארית. ההעתקה $\ T^{*}:W^{*}\to V^{*}$ המוגדרת ע"י $\ T^{*}(w^{*})(v)=w^{*}(T(v))$ תקרא ההעתקה הדואלית של $\ T$.

אם $\ A$ היא המטריצה המייצגת של $\ T$ ביחס לבסיסים כלשהם של $\ V$ ו-$\ W$ אז המטריצה $\ A^{t}$ תייצג את $\ T^{*}$ בבסיסים הדואליים המתאימים.