חלקיק חופשי – הבדלי גרסאות
מ בוט החלפות: פתרון; |
מ ←פתרון במכניקה קלאסית: עריכה (לא תזיק עוד) |
||
שורה 2: | שורה 2: | ||
== פתרון במכניקה קלאסית == |
== פתרון במכניקה קלאסית == |
||
ה[[לגרנז'יאן]] של חלקיק חופשי חד-ממדי הוא |
ה[[לגרנז'יאן]] של חלקיק חופשי חד-ממדי הוא |
||
: <math>\ L = \frac{1}{2} m \dot{x}^2</math> |
: <math>\ L = \frac{1}{2} m \dot{x}^2</math> |
||
משוואת התנועה |
משוואת התנועה המתקבלת מ[[משוואות אוילר-לגראנז']] או ישירות מ[[חוקי ניוטון]] היא <math>\ m \ddot{x} = 0</math>. |
||
פתרון במשוואה הוא: |
|||
: <math>\ m \ddot{x} = 0</math> |
|||
שפיתרונה הוא |
|||
: <math>\ x(t) = x_0 + v_0 t</math> |
: <math>\ x(t) = x_0 + v_0 t</math> |
||
כאשר |
כאשר <math>\ x_0 , v_0</math> הם קבועים שנקבעים לפי [[תנאי התחלה|תנאי ההתחלה]]. |
||
מן הפתרון ניתן לראות שחלקיק חופשי מבצע תנועה במהירות קבועה ב[[קו ישר]]. |
|||
ניתן להכליל בקלות את הבעיה עבור חלקיק חופשי רב-ממדי. במקרה זה <math>\vec{x}</math> יהיה וקטור d-[[מימד|ממד]]י, ואז |
ניתן להכליל בקלות את הבעיה עבור חלקיק חופשי רב-ממדי. במקרה זה <math>\vec{x}</math> יהיה וקטור d-[[מימד|ממד]]י, ואז |
גרסה מ־13:05, 13 במאי 2008
חלקיק חופשי זוהי בעיה יסודית בפיזיקה בה חלקיק נע באופן חופשי ולא תחת השפעה של שום פוטנציאל או כוח.
פתרון במכניקה קלאסית
הלגרנז'יאן של חלקיק חופשי חד-ממדי הוא
משוואת התנועה המתקבלת ממשוואות אוילר-לגראנז' או ישירות מחוקי ניוטון היא . פתרון במשוואה הוא:
כאשר הם קבועים שנקבעים לפי תנאי ההתחלה.
מן הפתרון ניתן לראות שחלקיק חופשי מבצע תנועה במהירות קבועה בקו ישר.
ניתן להכליל בקלות את הבעיה עבור חלקיק חופשי רב-ממדי. במקרה זה יהיה וקטור d-ממדי, ואז
והפתרון
ההמילטוניאן של חלקיק חופשי חד-ממדי הוא
כאשר p הוא התנע של החלקיק.
פתרון במכניקת הקוונטים
במכניקת הקוונטים החלקיק החופשי מתואר על ידי פונקציית גל שפותרת את משוואת שרדינגר
כאשר
הוא ההמילטוניאן של חלקיק חופשי.
הפונקציות העצמיות הן גלים מישוריים
ומתאימים למצב בו לחלקיק יש תנע מוגדר. האנרגיות שלהם הן
הפתרון הכללי הוא סופרפוזיציה של גלים מישוריים:
אינטגרל מסלול של חלקיק חופשי הוא: