עקביות (לוגיקה) – הבדלי גרסאות
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
| שורה 4: | שורה 4: | ||
כדי להוכיח שמערכת היא עקבית מספיק למצוא [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודל]] שמקיים את כל האקסיומות של המערכת. מודל עבור תורה A הנבנה במסגרת של תורה B מוכיח '''עקביות יחסית''' - אם B עקבית, אז גם A כזו. מודלים כאלו ידועים עבור [[גאומטריה|גאומטריות]] שונות (למשל, שתי הגרסאות ה[[גאומטריה לא אוקלידית|לא אוקלידיות]] של גאומטרית המישור הן עקביות ביחס לגאומטרית המישור האוקלידית), וגם עבור מערכות אקסיומטיות שונות ל[[תורת הקבוצות האקסיומטית|תורת הקבוצות]]. |
כדי להוכיח שמערכת היא עקבית מספיק למצוא [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודל]] שמקיים את כל האקסיומות של המערכת. מודל עבור תורה A הנבנה במסגרת של תורה B מוכיח '''עקביות יחסית''' - אם B עקבית, אז גם A כזו. מודלים כאלו ידועים עבור [[גאומטריה|גאומטריות]] שונות (למשל, שתי הגרסאות ה[[גאומטריה לא אוקלידית|לא אוקלידיות]] של גאומטרית המישור הן עקביות ביחס לגאומטרית המישור האוקלידית), וגם עבור מערכות אקסיומטיות שונות ל[[תורת הקבוצות האקסיומטית|תורת הקבוצות]]. |
||
לכל מערכת אקסיומות עקבית יש מודל (משפט השלמות של |
לכל מערכת אקסיומות עקבית יש מודל (משפט השלמות של גדל 1930). עם זאת, ישנן מודלים שבמסגרתם לא ניתן להראות עקביות. דוגמא לכך היא תורת המספרים ( המילה תורה כאן שונה במשמעותו מתורה של לוגיקה מתמטית והכוונה היא למודל ולא למערכת אקסיומות ). כדי להוכיח עקביות של מערכות כאלה יש להפעיל כלים מתמטיים סבוכים יותר. [[משפטי אי השלמות של גדל|משפט אי השלמות השני של גדל]] קובע שלא ניתן להוכיח את העקביות של תורה [[אריתמטיקה|אריתמטית]] ואפקטיבית (שהיא עקבית), במסגרת התורה עצמה. |
||
== ראו גם == |
== ראו גם == |
||
גרסה מ־10:38, 26 באוגוסט 2008
עקביות (או קונסיסטנטיות, קוהרנטיות) הוא מושג בלוגיקה ובמתמטיקה המציין שמערכת מסוימת היא נטולת סתירות. בלוגיקה מתמטית, תורה עקבית היא כזו שלא ניתן להוכיח במסגרתה טענה והיפוכה. בתורות לא עקביות אפשר להוכיח כל טענה (משום שמהנחות שקריות נובעת כל מסקנה שהיא), ולכן נחשבת עקביות למעלה הכרחית בכל תורה המכבדת את עצמה.
כדי להוכיח שמערכת היא עקבית מספיק למצוא מודל שמקיים את כל האקסיומות של המערכת. מודל עבור תורה A הנבנה במסגרת של תורה B מוכיח עקביות יחסית - אם B עקבית, אז גם A כזו. מודלים כאלו ידועים עבור גאומטריות שונות (למשל, שתי הגרסאות הלא אוקלידיות של גאומטרית המישור הן עקביות ביחס לגאומטרית המישור האוקלידית), וגם עבור מערכות אקסיומטיות שונות לתורת הקבוצות.
לכל מערכת אקסיומות עקבית יש מודל (משפט השלמות של גדל 1930). עם זאת, ישנן מודלים שבמסגרתם לא ניתן להראות עקביות. דוגמא לכך היא תורת המספרים ( המילה תורה כאן שונה במשמעותו מתורה של לוגיקה מתמטית והכוונה היא למודל ולא למערכת אקסיומות ). כדי להוכיח עקביות של מערכות כאלה יש להפעיל כלים מתמטיים סבוכים יותר. משפט אי השלמות השני של גדל קובע שלא ניתן להוכיח את העקביות של תורה אריתמטית ואפקטיבית (שהיא עקבית), במסגרת התורה עצמה.