קוד הוויקי של הדף החדש, אחרי העריכה ($1) (new_wikitext) | '{{להשלים|כל הערך=כן}}
[[קווטרניון|קווטרניוני]] יחידה, שידועים גם בשם [[ורסור]]ים, מספקים סימון מתמטי נוח לייצוג אוריינטציות וסיבובים של גופים במרחב תלת-ממדי. בהשוואה ל[[זוויות אוילר]] הם פשוטים יותר ל[[הרכבת פונקציות|הרכבה]] ומאפשרים להימנע מהבעיה של נעילת [[גימבל]]. בהשוואה ל[[מטריצת סיבוב|מטריצות סיבוב]] הם קומפקטיים יותר, יותר [[יציבות נומרית|יציבים נומרית]], ויותר יעילים. לקווטרניונים יש יישומים ב[[גרפיקה ממוחשבת]], [[ראייה ממוחשבת]], [[רובוטיקה]], [[ניווט]], [[דינמיקה מולקולרית]], [[בקרת טיסה]], מכניקה מסלולית של [[לווין|לווינים]] ועוד.
כאשר הם משמשים כדי לייצג סיבובים, קווטרניוני יחידה נקראים גם '''קווטרניוני סיבוב''' שכן הם מייצגים את [[חבורת הסיבוב (3)SO]]. כאשר הם משמשים כדי לייצג אוריינטציה (מנח מרחבי בהשוואה למערכת ייחוס של קואורדינטות) הם מכונים '''קווטרניוני אוריינטציה'''.
== שימוש בקווטרניונים כדי לממש סיבובים תלת-ממדיים ==
[[Image:Euler AxisAngle.png|thumb|left|ויזואליזציה של סיבוב באמצעות ציר וזווית סיבוב.]]
במרחב תלת-ממדי, לפי [[משפט הסיבובים של אוילר]], כל סיבוב או סדרת סיבובים של גוף קשיח או מערכת קואורדינטות דרך נקודה קבועה שקולה לסיבוב יחיד בזווית <math>\theta</math> ביחס לציר סיבוב כלשהו (המכונה ''ציר אוילר''). ציר אוילר מיוצג על ידי [[וקטור יחידה]] <math>\vec{u}</math>. לפיכך, כל סיבוב תלת-ממדי ניתן לייצוג באמצעות צירוף של וקטור <math>\vec{u}</math> וסקלר <math>\theta</math>. הקווטרניונים מספקים דרך נוחה לקודד את הצגת הציר-זווית הזאת ברביעיית מספרים, ומאפשרים לממש את הסיבוב המתאים על וקטור מיקום (המייצג נקודה ב-<math>R^3</math>).
וקטור אוקלידי כמו <math>(2,3,4)</math> או <math>(a_x,a_y,a_z)</math> ניתן לכתיבה כ-<math>2i + 3j + 4k</math> או <math>a_xi+a_yj+a_zk</math> כאשר
<math>i,j,k</math> מייצגים הן וקטורי יחידה ב[[קואורדינטות קרטזיות|מערכת קואורדינטות קרטזית]] והן קווטרניונים. סיבוב בזווית <math>\theta</math> מסביב לציר המוגדר על ידי וקטור היחידה
: <math>\vec{u} = (u_x, u_y, u_z) = u_x\mathbf{i} + u_y\mathbf{j} + u_z\mathbf{k}</math>
ניתן לייצוג כקווטרניון. ניתן לעשות זאת על ידי [[מטריצת פאולי|הרחבה]] של [[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר באנליזה מרוכבת]]:
: <math> \mathbf{q} = e^{\frac{\theta}{2}{(u_x\mathbf{i} + u_y\mathbf{j} + u_z\mathbf{k})}} = \cos \frac{\theta}{2} + (u_x\mathbf{i} + u_y\mathbf{j} + u_z\mathbf{k}) \sin \frac{\theta}{2}</math>
ניתן להראות שניתן להפעיל את הסיבוב הרצוי על וקטור נתון <math>\mathbf{p} = (p_x, p_y, p_z) = p_x\mathbf{i} + p_y\mathbf{j} + p_z\mathbf{k}</math> במרחב תלת-ממדי, אליו מתייחסים כאל קווטרניון "טהור" עם חלק ממשי אפס, באמצעות [[הצמדה (תורת החבורות)|הצמדה]] של ''p'' על ידי ''q'':
: <math>\mathbf{p'} = \mathbf{q} \mathbf{p} \mathbf{q}^{-1}</math>
באמצעות [[אלגברת הקווטרניונים של המילטון|מכפלת המילטון]], כאשר <math>\mathbf{p'} = (p'_x, p'_y, p'_z) </math> הוא וקטור המיקום החדש של הנקודה לאחר הסיבוב. במימוש תכניתי, ניתן להפעיל סיבוב רצוי על וקטור נתון באמצעות הגדרת קווטרניון שחלקו הוקטורי הוא '''p''' וחלקו הממשי הוא אפס ואז הכפלת הקווטרניונים. החלק הוקטורי של קווטרניון התוצאה מייצג את כיוון הוקטור החדש '''p'''′.
מתמטית, פעולה זאת מעתיקה את אוסף כל הקווטרניונים ה"טהורים" '''p''' (אלו שעם חלק ממשי אפס) - אשר מרכיבים מרחב תלת-ממדי בין הקווטרניונים- אל עצמו, באמצעות הסיבוב הרצוי מסביב לציר '''''u''''', בזווית θ.
באופן כללי יותר, פעולת ההרכבה של שני סיבובים לכדי סיבוב יחיד והפעלתו על וקטור נתון מתקבלת על ידי הצמדת הוקטור במכפלה של הקווטרניונים המייצגים את שני הסיבובים, וניתן להראות שפעולה זאת שקולה להצמדת הוקטור בקווטרניון הראשון ולאחר מכן בקווטרניון השני:
:<math>\mathbf{p q} \vec{v} (\mathbf{p q})^{-1} = \mathbf{p q} \vec{v} \mathbf{q}^{-1} \mathbf{p}^{-1} = \mathbf{p} (\mathbf{q} \vec{v} \mathbf{q}^{-1}) \mathbf{p}^{-1}</math>,
הרכיב הסקלרי (ממשי) של התוצאה הוא בהכרח אפס.
הקווטרניון ההופכי של סיבוב נתון הוא קווטרניון המייצג את הסיבוב הנגדי, מכיוון ש-<math>\mathbf{q}^{-1} (\mathbf{q} \vec{v} \mathbf{q}^{-1}) \mathbf{q} = \vec{v}</math>. העלאה בריבוע של קווטרניון נתון מייצגת סיבוב בזווית כפולה ביחס לאותו ציר.
=== דוגמה ===
==== פעולת ההצמדה ====
[[File:Diagonal rotation.png|250px|thumb|left|סיבוב של 120 מעלות ביחס לאלכסון הראשי של הקוביה מחליף באופן ציקלי בין ''i'',''j'',''k''.]]
נתייחס לסיבוב ''f'' מסביב לציר <math>\vec{v} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}</math>, עם זווית סיבוב של 120°, או <math>2\pi/3</math> רדיאנים:
:<math>\alpha = \dfrac{2 \pi}{3}</math>
האורך של <math>\vec{v}</math> הוא <math>\sqrt{3}</math>, וחצי זווית הסיבוב היא 60°. לפיכך אנו עוסקים בהצמדה על ידי קווטרניון היחידה:
:<math>\begin{array}{lll}
u
&=& \cos\dfrac{\alpha}{2} + \sin\dfrac{\alpha}{2}\cdot \dfrac{1}{\| \vec{v} \| }\vec{v}\\
&=& \cos \dfrac{\pi}{3} + \sin \dfrac{\pi}{3}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}}\vec{v}\\
&=& \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}}\vec{v}\\
&=& \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}}{\sqrt{3}}\\
&=& \dfrac{1 + \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}}{2}
\end{array}</math>
אם ''f'' היא פונקציית הסיבוב, אז
:<math>f(a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}) = u (a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}) u^{-1}</math>
ניתן להוכיח בקלות שההופכי של קווטרניון יחידה מתקבל מהפיכת הסימן של החלקים המדומים שלו. כתוצאה,
:<math>u^{-1} = \dfrac{1- \mathbf{i} - \mathbf{j} - \mathbf{k}}{2}</math>
ו-
:<math>f(a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}) = \dfrac{1 + \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}}{2}(a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}) \dfrac{1 - \mathbf{i} - \mathbf{j} - \mathbf{k}}{2}</math>
את ביטוי זה ניתן לפשט באמצעות הכללים הרגילים לאריתמטיקה של קווטרניונים ל-:
:<math>f(a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}) = c\mathbf{i} + a\mathbf{j} + b\mathbf{k}</math>
כצפוי, הסיבוב מייצג [[קוביה]] המקובעת בנקודה אחת ושמסתובבת ב-120° ביחס לאלכסון הראשי העובר דרך הנקודה הנתונה (שים לב כיצד שלושת הצירים ''i'',''j'',''k'' עוברים [[תמורה מעגלית]]).
== ראו גם ==
* [[אלגברת הקווטרניונים של המילטון]]
[[קטגוריה: אלגברה]]
[[en:Quaternions and spatial rotation]]' |
פלט unified diff של השינויים שבוצעו בעריכה ($1) (edit_diff) | '@@ -1,0 +1,75 @@
+{{להשלים|כל הערך=כן}}
+[[קווטרניון|קווטרניוני]] יחידה, שידועים גם בשם [[ורסור]]ים, מספקים סימון מתמטי נוח לייצוג אוריינטציות וסיבובים של גופים במרחב תלת-ממדי. בהשוואה ל[[זוויות אוילר]] הם פשוטים יותר ל[[הרכבת פונקציות|הרכבה]] ומאפשרים להימנע מהבעיה של נעילת [[גימבל]]. בהשוואה ל[[מטריצת סיבוב|מטריצות סיבוב]] הם קומפקטיים יותר, יותר [[יציבות נומרית|יציבים נומרית]], ויותר יעילים. לקווטרניונים יש יישומים ב[[גרפיקה ממוחשבת]], [[ראייה ממוחשבת]], [[רובוטיקה]], [[ניווט]], [[דינמיקה מולקולרית]], [[בקרת טיסה]], מכניקה מסלולית של [[לווין|לווינים]] ועוד.
+
+כאשר הם משמשים כדי לייצג סיבובים, קווטרניוני יחידה נקראים גם '''קווטרניוני סיבוב''' שכן הם מייצגים את [[חבורת הסיבוב (3)SO]]. כאשר הם משמשים כדי לייצג אוריינטציה (מנח מרחבי בהשוואה למערכת ייחוס של קואורדינטות) הם מכונים '''קווטרניוני אוריינטציה'''.
+
+== שימוש בקווטרניונים כדי לממש סיבובים תלת-ממדיים ==
+[[Image:Euler AxisAngle.png|thumb|left|ויזואליזציה של סיבוב באמצעות ציר וזווית סיבוב.]]
+במרחב תלת-ממדי, לפי [[משפט הסיבובים של אוילר]], כל סיבוב או סדרת סיבובים של גוף קשיח או מערכת קואורדינטות דרך נקודה קבועה שקולה לסיבוב יחיד בזווית <math>\theta</math> ביחס לציר סיבוב כלשהו (המכונה ''ציר אוילר''). ציר אוילר מיוצג על ידי [[וקטור יחידה]] <math>\vec{u}</math>. לפיכך, כל סיבוב תלת-ממדי ניתן לייצוג באמצעות צירוף של וקטור <math>\vec{u}</math> וסקלר <math>\theta</math>. הקווטרניונים מספקים דרך נוחה לקודד את הצגת הציר-זווית הזאת ברביעיית מספרים, ומאפשרים לממש את הסיבוב המתאים על וקטור מיקום (המייצג נקודה ב-<math>R^3</math>).
+
+וקטור אוקלידי כמו <math>(2,3,4)</math> או <math>(a_x,a_y,a_z)</math> ניתן לכתיבה כ-<math>2i + 3j + 4k</math> או <math>a_xi+a_yj+a_zk</math> כאשר
+<math>i,j,k</math> מייצגים הן וקטורי יחידה ב[[קואורדינטות קרטזיות|מערכת קואורדינטות קרטזית]] והן קווטרניונים. סיבוב בזווית <math>\theta</math> מסביב לציר המוגדר על ידי וקטור היחידה
+
+: <math>\vec{u} = (u_x, u_y, u_z) = u_x\mathbf{i} + u_y\mathbf{j} + u_z\mathbf{k}</math>
+
+ניתן לייצוג כקווטרניון. ניתן לעשות זאת על ידי [[מטריצת פאולי|הרחבה]] של [[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר באנליזה מרוכבת]]:
+
+: <math> \mathbf{q} = e^{\frac{\theta}{2}{(u_x\mathbf{i} + u_y\mathbf{j} + u_z\mathbf{k})}} = \cos \frac{\theta}{2} + (u_x\mathbf{i} + u_y\mathbf{j} + u_z\mathbf{k}) \sin \frac{\theta}{2}</math>
+
+ניתן להראות שניתן להפעיל את הסיבוב הרצוי על וקטור נתון <math>\mathbf{p} = (p_x, p_y, p_z) = p_x\mathbf{i} + p_y\mathbf{j} + p_z\mathbf{k}</math> במרחב תלת-ממדי, אליו מתייחסים כאל קווטרניון "טהור" עם חלק ממשי אפס, באמצעות [[הצמדה (תורת החבורות)|הצמדה]] של ''p'' על ידי ''q'':
+
+: <math>\mathbf{p'} = \mathbf{q} \mathbf{p} \mathbf{q}^{-1}</math>
+
+באמצעות [[אלגברת הקווטרניונים של המילטון|מכפלת המילטון]], כאשר <math>\mathbf{p'} = (p'_x, p'_y, p'_z) </math> הוא וקטור המיקום החדש של הנקודה לאחר הסיבוב. במימוש תכניתי, ניתן להפעיל סיבוב רצוי על וקטור נתון באמצעות הגדרת קווטרניון שחלקו הוקטורי הוא '''p''' וחלקו הממשי הוא אפס ואז הכפלת הקווטרניונים. החלק הוקטורי של קווטרניון התוצאה מייצג את כיוון הוקטור החדש '''p'''′.
+
+מתמטית, פעולה זאת מעתיקה את אוסף כל הקווטרניונים ה"טהורים" '''p''' (אלו שעם חלק ממשי אפס) - אשר מרכיבים מרחב תלת-ממדי בין הקווטרניונים- אל עצמו, באמצעות הסיבוב הרצוי מסביב לציר '''''u''''', בזווית θ.
+
+באופן כללי יותר, פעולת ההרכבה של שני סיבובים לכדי סיבוב יחיד והפעלתו על וקטור נתון מתקבלת על ידי הצמדת הוקטור במכפלה של הקווטרניונים המייצגים את שני הסיבובים, וניתן להראות שפעולה זאת שקולה להצמדת הוקטור בקווטרניון הראשון ולאחר מכן בקווטרניון השני:
+
+:<math>\mathbf{p q} \vec{v} (\mathbf{p q})^{-1} = \mathbf{p q} \vec{v} \mathbf{q}^{-1} \mathbf{p}^{-1} = \mathbf{p} (\mathbf{q} \vec{v} \mathbf{q}^{-1}) \mathbf{p}^{-1}</math>,
+
+הרכיב הסקלרי (ממשי) של התוצאה הוא בהכרח אפס.
+
+הקווטרניון ההופכי של סיבוב נתון הוא קווטרניון המייצג את הסיבוב הנגדי, מכיוון ש-<math>\mathbf{q}^{-1} (\mathbf{q} \vec{v} \mathbf{q}^{-1}) \mathbf{q} = \vec{v}</math>. העלאה בריבוע של קווטרניון נתון מייצגת סיבוב בזווית כפולה ביחס לאותו ציר.
+
+=== דוגמה ===
+==== פעולת ההצמדה ====
+[[File:Diagonal rotation.png|250px|thumb|left|סיבוב של 120 מעלות ביחס לאלכסון הראשי של הקוביה מחליף באופן ציקלי בין ''i'',''j'',''k''.]]
+נתייחס לסיבוב ''f'' מסביב לציר <math>\vec{v} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}</math>, עם זווית סיבוב של 120°, או <math>2\pi/3</math> רדיאנים:
+
+:<math>\alpha = \dfrac{2 \pi}{3}</math>
+
+האורך של <math>\vec{v}</math> הוא <math>\sqrt{3}</math>, וחצי זווית הסיבוב היא 60°. לפיכך אנו עוסקים בהצמדה על ידי קווטרניון היחידה:
+
+:<math>\begin{array}{lll}
+u
+&=& \cos\dfrac{\alpha}{2} + \sin\dfrac{\alpha}{2}\cdot \dfrac{1}{\| \vec{v} \| }\vec{v}\\
+&=& \cos \dfrac{\pi}{3} + \sin \dfrac{\pi}{3}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}}\vec{v}\\
+&=& \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}}\vec{v}\\
+&=& \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}}{\sqrt{3}}\\
+&=& \dfrac{1 + \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}}{2}
+\end{array}</math>
+
+אם ''f'' היא פונקציית הסיבוב, אז
+
+:<math>f(a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}) = u (a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}) u^{-1}</math>
+
+ניתן להוכיח בקלות שההופכי של קווטרניון יחידה מתקבל מהפיכת הסימן של החלקים המדומים שלו. כתוצאה,
+
+:<math>u^{-1} = \dfrac{1- \mathbf{i} - \mathbf{j} - \mathbf{k}}{2}</math>
+
+ו-
+
+:<math>f(a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}) = \dfrac{1 + \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}}{2}(a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}) \dfrac{1 - \mathbf{i} - \mathbf{j} - \mathbf{k}}{2}</math>
+
+את ביטוי זה ניתן לפשט באמצעות הכללים הרגילים לאריתמטיקה של קווטרניונים ל-:
+
+:<math>f(a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}) = c\mathbf{i} + a\mathbf{j} + b\mathbf{k}</math>
+
+כצפוי, הסיבוב מייצג [[קוביה]] המקובעת בנקודה אחת ושמסתובבת ב-120° ביחס לאלכסון הראשי העובר דרך הנקודה הנתונה (שים לב כיצד שלושת הצירים ''i'',''j'',''k'' עוברים [[תמורה מעגלית]]).
+
+== ראו גם ==
+* [[אלגברת הקווטרניונים של המילטון]]
+
+[[קטגוריה: אלגברה]]
+[[en:Quaternions and spatial rotation]]
' |
שורות שנוספו בעריכה ($1) (added_lines) | [
0 => '{{להשלים|כל הערך=כן}}',
1 => '[[קווטרניון|קווטרניוני]] יחידה, שידועים גם בשם [[ורסור]]ים, מספקים סימון מתמטי נוח לייצוג אוריינטציות וסיבובים של גופים במרחב תלת-ממדי. בהשוואה ל[[זוויות אוילר]] הם פשוטים יותר ל[[הרכבת פונקציות|הרכבה]] ומאפשרים להימנע מהבעיה של נעילת [[גימבל]]. בהשוואה ל[[מטריצת סיבוב|מטריצות סיבוב]] הם קומפקטיים יותר, יותר [[יציבות נומרית|יציבים נומרית]], ויותר יעילים. לקווטרניונים יש יישומים ב[[גרפיקה ממוחשבת]], [[ראייה ממוחשבת]], [[רובוטיקה]], [[ניווט]], [[דינמיקה מולקולרית]], [[בקרת טיסה]], מכניקה מסלולית של [[לווין|לווינים]] ועוד.',
2 => '',
3 => 'כאשר הם משמשים כדי לייצג סיבובים, קווטרניוני יחידה נקראים גם '''קווטרניוני סיבוב''' שכן הם מייצגים את [[חבורת הסיבוב (3)SO]]. כאשר הם משמשים כדי לייצג אוריינטציה (מנח מרחבי בהשוואה למערכת ייחוס של קואורדינטות) הם מכונים '''קווטרניוני אוריינטציה'''.',
4 => '',
5 => '== שימוש בקווטרניונים כדי לממש סיבובים תלת-ממדיים ==',
6 => '[[Image:Euler AxisAngle.png|thumb|left|ויזואליזציה של סיבוב באמצעות ציר וזווית סיבוב.]]',
7 => 'במרחב תלת-ממדי, לפי [[משפט הסיבובים של אוילר]], כל סיבוב או סדרת סיבובים של גוף קשיח או מערכת קואורדינטות דרך נקודה קבועה שקולה לסיבוב יחיד בזווית <math>\theta</math> ביחס לציר סיבוב כלשהו (המכונה ''ציר אוילר''). ציר אוילר מיוצג על ידי [[וקטור יחידה]] <math>\vec{u}</math>. לפיכך, כל סיבוב תלת-ממדי ניתן לייצוג באמצעות צירוף של וקטור <math>\vec{u}</math> וסקלר <math>\theta</math>. הקווטרניונים מספקים דרך נוחה לקודד את הצגת הציר-זווית הזאת ברביעיית מספרים, ומאפשרים לממש את הסיבוב המתאים על וקטור מיקום (המייצג נקודה ב-<math>R^3</math>).',
8 => '',
9 => 'וקטור אוקלידי כמו <math>(2,3,4)</math> או <math>(a_x,a_y,a_z)</math> ניתן לכתיבה כ-<math>2i + 3j + 4k</math> או <math>a_xi+a_yj+a_zk</math> כאשר ',
10 => '<math>i,j,k</math> מייצגים הן וקטורי יחידה ב[[קואורדינטות קרטזיות|מערכת קואורדינטות קרטזית]] והן קווטרניונים. סיבוב בזווית <math>\theta</math> מסביב לציר המוגדר על ידי וקטור היחידה ',
11 => '',
12 => ': <math>\vec{u} = (u_x, u_y, u_z) = u_x\mathbf{i} + u_y\mathbf{j} + u_z\mathbf{k}</math>',
13 => '',
14 => 'ניתן לייצוג כקווטרניון. ניתן לעשות זאת על ידי [[מטריצת פאולי|הרחבה]] של [[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר באנליזה מרוכבת]]:',
15 => '',
16 => ': <math> \mathbf{q} = e^{\frac{\theta}{2}{(u_x\mathbf{i} + u_y\mathbf{j} + u_z\mathbf{k})}} = \cos \frac{\theta}{2} + (u_x\mathbf{i} + u_y\mathbf{j} + u_z\mathbf{k}) \sin \frac{\theta}{2}</math>',
17 => '',
18 => 'ניתן להראות שניתן להפעיל את הסיבוב הרצוי על וקטור נתון <math>\mathbf{p} = (p_x, p_y, p_z) = p_x\mathbf{i} + p_y\mathbf{j} + p_z\mathbf{k}</math> במרחב תלת-ממדי, אליו מתייחסים כאל קווטרניון "טהור" עם חלק ממשי אפס, באמצעות [[הצמדה (תורת החבורות)|הצמדה]] של ''p'' על ידי ''q'':',
19 => '',
20 => ': <math>\mathbf{p'} = \mathbf{q} \mathbf{p} \mathbf{q}^{-1}</math>',
21 => '',
22 => 'באמצעות [[אלגברת הקווטרניונים של המילטון|מכפלת המילטון]], כאשר <math>\mathbf{p'} = (p'_x, p'_y, p'_z) </math> הוא וקטור המיקום החדש של הנקודה לאחר הסיבוב. במימוש תכניתי, ניתן להפעיל סיבוב רצוי על וקטור נתון באמצעות הגדרת קווטרניון שחלקו הוקטורי הוא '''p''' וחלקו הממשי הוא אפס ואז הכפלת הקווטרניונים. החלק הוקטורי של קווטרניון התוצאה מייצג את כיוון הוקטור החדש '''p'''′.',
23 => '',
24 => 'מתמטית, פעולה זאת מעתיקה את אוסף כל הקווטרניונים ה"טהורים" '''p''' (אלו שעם חלק ממשי אפס) - אשר מרכיבים מרחב תלת-ממדי בין הקווטרניונים- אל עצמו, באמצעות הסיבוב הרצוי מסביב לציר '''''u''''', בזווית θ.',
25 => '',
26 => 'באופן כללי יותר, פעולת ההרכבה של שני סיבובים לכדי סיבוב יחיד והפעלתו על וקטור נתון מתקבלת על ידי הצמדת הוקטור במכפלה של הקווטרניונים המייצגים את שני הסיבובים, וניתן להראות שפעולה זאת שקולה להצמדת הוקטור בקווטרניון הראשון ולאחר מכן בקווטרניון השני:',
27 => '',
28 => ':<math>\mathbf{p q} \vec{v} (\mathbf{p q})^{-1} = \mathbf{p q} \vec{v} \mathbf{q}^{-1} \mathbf{p}^{-1} = \mathbf{p} (\mathbf{q} \vec{v} \mathbf{q}^{-1}) \mathbf{p}^{-1}</math>,',
29 => '',
30 => 'הרכיב הסקלרי (ממשי) של התוצאה הוא בהכרח אפס.',
31 => '',
32 => 'הקווטרניון ההופכי של סיבוב נתון הוא קווטרניון המייצג את הסיבוב הנגדי, מכיוון ש-<math>\mathbf{q}^{-1} (\mathbf{q} \vec{v} \mathbf{q}^{-1}) \mathbf{q} = \vec{v}</math>. העלאה בריבוע של קווטרניון נתון מייצגת סיבוב בזווית כפולה ביחס לאותו ציר.',
33 => '',
34 => '=== דוגמה ===',
35 => '==== פעולת ההצמדה ====',
36 => '[[File:Diagonal rotation.png|250px|thumb|left|סיבוב של 120 מעלות ביחס לאלכסון הראשי של הקוביה מחליף באופן ציקלי בין ''i'',''j'',''k''.]]',
37 => 'נתייחס לסיבוב ''f'' מסביב לציר <math>\vec{v} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}</math>, עם זווית סיבוב של 120°, או <math>2\pi/3</math> רדיאנים:',
38 => '',
39 => ':<math>\alpha = \dfrac{2 \pi}{3}</math>',
40 => '',
41 => 'האורך של <math>\vec{v}</math> הוא <math>\sqrt{3}</math>, וחצי זווית הסיבוב היא 60°. לפיכך אנו עוסקים בהצמדה על ידי קווטרניון היחידה:',
42 => '',
43 => ':<math>\begin{array}{lll}',
44 => 'u',
45 => '&=& \cos\dfrac{\alpha}{2} + \sin\dfrac{\alpha}{2}\cdot \dfrac{1}{\| \vec{v} \| }\vec{v}\\',
46 => '&=& \cos \dfrac{\pi}{3} + \sin \dfrac{\pi}{3}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}}\vec{v}\\',
47 => '&=& \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}}\vec{v}\\',
48 => '&=& \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}}{\sqrt{3}}\\',
49 => '&=& \dfrac{1 + \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}}{2}',
50 => '\end{array}</math>',
51 => '',
52 => 'אם ''f'' היא פונקציית הסיבוב, אז ',
53 => '',
54 => ':<math>f(a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}) = u (a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}) u^{-1}</math>',
55 => '',
56 => 'ניתן להוכיח בקלות שההופכי של קווטרניון יחידה מתקבל מהפיכת הסימן של החלקים המדומים שלו. כתוצאה,',
57 => '',
58 => ':<math>u^{-1} = \dfrac{1- \mathbf{i} - \mathbf{j} - \mathbf{k}}{2}</math>',
59 => '',
60 => 'ו-',
61 => '',
62 => ':<math>f(a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}) = \dfrac{1 + \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}}{2}(a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}) \dfrac{1 - \mathbf{i} - \mathbf{j} - \mathbf{k}}{2}</math>',
63 => '',
64 => 'את ביטוי זה ניתן לפשט באמצעות הכללים הרגילים לאריתמטיקה של קווטרניונים ל-:',
65 => '',
66 => ':<math>f(a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}) = c\mathbf{i} + a\mathbf{j} + b\mathbf{k}</math>',
67 => '',
68 => 'כצפוי, הסיבוב מייצג [[קוביה]] המקובעת בנקודה אחת ושמסתובבת ב-120° ביחס לאלכסון הראשי העובר דרך הנקודה הנתונה (שים לב כיצד שלושת הצירים ''i'',''j'',''k'' עוברים [[תמורה מעגלית]]).',
69 => '',
70 => '== ראו גם ==',
71 => '* [[אלגברת הקווטרניונים של המילטון]]',
72 => '',
73 => '[[קטגוריה: אלגברה]]',
74 => '[[en:Quaternions and spatial rotation]]'
] |
קוד הוויקי של הדף החדש, עם התמרה לפני שמירה ($1) (new_pst) | '{{להשלים|כל הערך=כן}}
[[קווטרניון|קווטרניוני]] יחידה, שידועים גם בשם [[ורסור]]ים, מספקים סימון מתמטי נוח לייצוג אוריינטציות וסיבובים של גופים במרחב תלת-ממדי. בהשוואה ל[[זוויות אוילר]] הם פשוטים יותר ל[[הרכבת פונקציות|הרכבה]] ומאפשרים להימנע מהבעיה של נעילת [[גימבל]]. בהשוואה ל[[מטריצת סיבוב|מטריצות סיבוב]] הם קומפקטיים יותר, יותר [[יציבות נומרית|יציבים נומרית]], ויותר יעילים. לקווטרניונים יש יישומים ב[[גרפיקה ממוחשבת]], [[ראייה ממוחשבת]], [[רובוטיקה]], [[ניווט]], [[דינמיקה מולקולרית]], [[בקרת טיסה]], מכניקה מסלולית של [[לווין|לווינים]] ועוד.
כאשר הם משמשים כדי לייצג סיבובים, קווטרניוני יחידה נקראים גם '''קווטרניוני סיבוב''' שכן הם מייצגים את [[חבורת הסיבוב (3)SO]]. כאשר הם משמשים כדי לייצג אוריינטציה (מנח מרחבי בהשוואה למערכת ייחוס של קואורדינטות) הם מכונים '''קווטרניוני אוריינטציה'''.
== שימוש בקווטרניונים כדי לממש סיבובים תלת-ממדיים ==
[[Image:Euler AxisAngle.png|thumb|left|ויזואליזציה של סיבוב באמצעות ציר וזווית סיבוב.]]
במרחב תלת-ממדי, לפי [[משפט הסיבובים של אוילר]], כל סיבוב או סדרת סיבובים של גוף קשיח או מערכת קואורדינטות דרך נקודה קבועה שקולה לסיבוב יחיד בזווית <math>\theta</math> ביחס לציר סיבוב כלשהו (המכונה ''ציר אוילר''). ציר אוילר מיוצג על ידי [[וקטור יחידה]] <math>\vec{u}</math>. לפיכך, כל סיבוב תלת-ממדי ניתן לייצוג באמצעות צירוף של וקטור <math>\vec{u}</math> וסקלר <math>\theta</math>. הקווטרניונים מספקים דרך נוחה לקודד את הצגת הציר-זווית הזאת ברביעיית מספרים, ומאפשרים לממש את הסיבוב המתאים על וקטור מיקום (המייצג נקודה ב-<math>R^3</math>).
וקטור אוקלידי כמו <math>(2,3,4)</math> או <math>(a_x,a_y,a_z)</math> ניתן לכתיבה כ-<math>2i + 3j + 4k</math> או <math>a_xi+a_yj+a_zk</math> כאשר
<math>i,j,k</math> מייצגים הן וקטורי יחידה ב[[קואורדינטות קרטזיות|מערכת קואורדינטות קרטזית]] והן קווטרניונים. סיבוב בזווית <math>\theta</math> מסביב לציר המוגדר על ידי וקטור היחידה
: <math>\vec{u} = (u_x, u_y, u_z) = u_x\mathbf{i} + u_y\mathbf{j} + u_z\mathbf{k}</math>
ניתן לייצוג כקווטרניון. ניתן לעשות זאת על ידי [[מטריצת פאולי|הרחבה]] של [[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר באנליזה מרוכבת]]:
: <math> \mathbf{q} = e^{\frac{\theta}{2}{(u_x\mathbf{i} + u_y\mathbf{j} + u_z\mathbf{k})}} = \cos \frac{\theta}{2} + (u_x\mathbf{i} + u_y\mathbf{j} + u_z\mathbf{k}) \sin \frac{\theta}{2}</math>
ניתן להראות שניתן להפעיל את הסיבוב הרצוי על וקטור נתון <math>\mathbf{p} = (p_x, p_y, p_z) = p_x\mathbf{i} + p_y\mathbf{j} + p_z\mathbf{k}</math> במרחב תלת-ממדי, אליו מתייחסים כאל קווטרניון "טהור" עם חלק ממשי אפס, באמצעות [[הצמדה (תורת החבורות)|הצמדה]] של ''p'' על ידי ''q'':
: <math>\mathbf{p'} = \mathbf{q} \mathbf{p} \mathbf{q}^{-1}</math>
באמצעות [[אלגברת הקווטרניונים של המילטון|מכפלת המילטון]], כאשר <math>\mathbf{p'} = (p'_x, p'_y, p'_z) </math> הוא וקטור המיקום החדש של הנקודה לאחר הסיבוב. במימוש תכניתי, ניתן להפעיל סיבוב רצוי על וקטור נתון באמצעות הגדרת קווטרניון שחלקו הוקטורי הוא '''p''' וחלקו הממשי הוא אפס ואז הכפלת הקווטרניונים. החלק הוקטורי של קווטרניון התוצאה מייצג את כיוון הוקטור החדש '''p'''′.
מתמטית, פעולה זאת מעתיקה את אוסף כל הקווטרניונים ה"טהורים" '''p''' (אלו שעם חלק ממשי אפס) - אשר מרכיבים מרחב תלת-ממדי בין הקווטרניונים- אל עצמו, באמצעות הסיבוב הרצוי מסביב לציר '''''u''''', בזווית θ.
באופן כללי יותר, פעולת ההרכבה של שני סיבובים לכדי סיבוב יחיד והפעלתו על וקטור נתון מתקבלת על ידי הצמדת הוקטור במכפלה של הקווטרניונים המייצגים את שני הסיבובים, וניתן להראות שפעולה זאת שקולה להצמדת הוקטור בקווטרניון הראשון ולאחר מכן בקווטרניון השני:
:<math>\mathbf{p q} \vec{v} (\mathbf{p q})^{-1} = \mathbf{p q} \vec{v} \mathbf{q}^{-1} \mathbf{p}^{-1} = \mathbf{p} (\mathbf{q} \vec{v} \mathbf{q}^{-1}) \mathbf{p}^{-1}</math>,
הרכיב הסקלרי (ממשי) של התוצאה הוא בהכרח אפס.
הקווטרניון ההופכי של סיבוב נתון הוא קווטרניון המייצג את הסיבוב הנגדי, מכיוון ש-<math>\mathbf{q}^{-1} (\mathbf{q} \vec{v} \mathbf{q}^{-1}) \mathbf{q} = \vec{v}</math>. העלאה בריבוע של קווטרניון נתון מייצגת סיבוב בזווית כפולה ביחס לאותו ציר.
=== דוגמה ===
==== פעולת ההצמדה ====
[[File:Diagonal rotation.png|250px|thumb|left|סיבוב של 120 מעלות ביחס לאלכסון הראשי של הקוביה מחליף באופן ציקלי בין ''i'',''j'',''k''.]]
נתייחס לסיבוב ''f'' מסביב לציר <math>\vec{v} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}</math>, עם זווית סיבוב של 120°, או <math>2\pi/3</math> רדיאנים:
:<math>\alpha = \dfrac{2 \pi}{3}</math>
האורך של <math>\vec{v}</math> הוא <math>\sqrt{3}</math>, וחצי זווית הסיבוב היא 60°. לפיכך אנו עוסקים בהצמדה על ידי קווטרניון היחידה:
:<math>\begin{array}{lll}
u
&=& \cos\dfrac{\alpha}{2} + \sin\dfrac{\alpha}{2}\cdot \dfrac{1}{\| \vec{v} \| }\vec{v}\\
&=& \cos \dfrac{\pi}{3} + \sin \dfrac{\pi}{3}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}}\vec{v}\\
&=& \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}}\vec{v}\\
&=& \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}}{\sqrt{3}}\\
&=& \dfrac{1 + \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}}{2}
\end{array}</math>
אם ''f'' היא פונקציית הסיבוב, אז
:<math>f(a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}) = u (a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}) u^{-1}</math>
ניתן להוכיח בקלות שההופכי של קווטרניון יחידה מתקבל מהפיכת הסימן של החלקים המדומים שלו. כתוצאה,
:<math>u^{-1} = \dfrac{1- \mathbf{i} - \mathbf{j} - \mathbf{k}}{2}</math>
ו-
:<math>f(a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}) = \dfrac{1 + \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}}{2}(a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}) \dfrac{1 - \mathbf{i} - \mathbf{j} - \mathbf{k}}{2}</math>
את ביטוי זה ניתן לפשט באמצעות הכללים הרגילים לאריתמטיקה של קווטרניונים ל-:
:<math>f(a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}) = c\mathbf{i} + a\mathbf{j} + b\mathbf{k}</math>
כצפוי, הסיבוב מייצג [[קוביה]] המקובעת בנקודה אחת ושמסתובבת ב-120° ביחס לאלכסון הראשי העובר דרך הנקודה הנתונה (שים לב כיצד שלושת הצירים ''i'',''j'',''k'' עוברים [[תמורה מעגלית]]).
== ראו גם ==
* [[אלגברת הקווטרניונים של המילטון]]
[[קטגוריה: אלגברה]]
[[en:Quaternions and spatial rotation]]' |
