מיפוי קטבים ואפסים

שיטת ה-Z-transform matched, הנקראת גם מיפוי קטבים ואפסים^[1]^[2] או שיטת התאמת קטבים ואפסים,^[3] ובקיצור MPZ או MZT,^[4] היא טכניקה נפוצה להמרת עיצוב מסנן בזמן רציף לעיצוב מסנן בזמן דיסקרטי (מסנן דיגיטלי).

השיטה פועלת על ידי מיפוי כל הקטבים והאפסים של התמרת לפלס למיקומים במישור z $z=e^{sT}$ , עבור מרווח דגימה $T=1/f_{\mathrm {s} }$ .^[5] עבור מסנן אנלוגי עם פונקציית העברה:

H(s)=k_{\mathrm {a} }{\frac {\prod _{i=1}^{M}(s-\xi _{i})}{\prod _{i=1}^{N}(s-p_{i})}}

מותמר לפונקציית העברה

H(z)=k_{\mathrm {d} }{\frac {\prod _{i=1}^{M}(1-e^{\xi _{i}T}z^{-1})}{\prod _{i=1}^{N}(1-e^{p_{i}T}z^{-1})}}

מכיוון שהמיפוי כורך את מישור ה-s $j\omega$ ציר מסביב למעגל היחידה של מישור z שוב ושוב, כל אפסים (או קטבים) הגדולים מתדר Nyquist ימופו למיקום בעל אליאס.^[6]

במקרה (הנפוץ) של פונקציית ההעברה האנלוגית בעלת יותר קטבים מאפסים, האפסים ב $s=\infty$ ניתן להזיז באופן אופציונלי למטה לתדר Nyquist על ידי הצבתם ב $z=-1$ , מה שגורם לפונקציית ההעברה לרדת כ $z\rightarrow -1$ באופן כמעט זהה לטרנספורמציה הביליניארית (BLT).^[1]^[3]^[6]

בעוד שהטרנספורמציה הזו משמרת את היציבות ואת הפאזה המינימלי, היא לא שומרת על תגובת זמן או תחום תדר ולכן לא נעשה בה שימוש נרחב.^[7]^[6] שיטות נפוצות יותר כוללות את שיטות ה-BLT ו־impulse invariance.^[4] עם זאת, MZT מספק פחות שגיאת תגובה בתדר גבוה מאשר ה-BLT, מה שמקל על התיקון על ידי הוספת אפסים נוספים, הנקרא MZTi (עבור "משופר").^[8]

יישום ספציפי של שיטת ה-Z-transform המותאמת בתחום הבקרה הדיגיטלית הוא עם הנוסחה של Ackermann, אשר משנה את הקטבים של המערכת הניתנת לשליטה ; באופן כללי ממיקום לא יציב (או קרוב) למקום יציב.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

^ ¹ ² Won Young Yang (2009). Signals and Systems with MATLAB. Springer. p. 292. ISBN 978-3-540-92953-6.
^ Bong Wie (1998). Space vehicle dynamics and control. AIAA. p. 151. ISBN 978-1-56347-261-9.
^ ¹ ² Arthur G. O. Mutambara (1999). Design and analysis of control systems. CRC Press. p. 652. ISBN 978-0-8493-1898-6.
^ ¹ ² Al-Alaoui, M. A. (בפברואר 2007). "Novel Approach to Analog-to-Digital Transforms". IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers. 54 (2): 338–350. doi:10.1109/tcsi.2006.885982. ISSN 1549-8328. {{cite journal}}: (עזרה)
^ S. V. Narasimhan and S. Veena (2005). Signal processing: principles and implementation. Alpha Science Int'l Ltd. p. 260. ISBN 978-1-84265-199-5.
^ ¹ ² ³ Rabiner, Lawrence R; Gold, Bernard (1975). Theory and application of digital signal processing (באנגלית). Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall. pp. 224–226. ISBN 0139141014. The expediency of artificially adding zeros at z = —1 to the digital system has been suggested ... but this ad hoc technique is at best only a stopgap measure. ... In general, use of impulse invariant or bilinear transformation is to be preferred over the matched z transformation.
^ Jackson, Leland B. (1996). Digital Filters and Signal Processing (באנגלית). Springer Science & Business Media. p. 262. ISBN 9780792395591. although perfectly usable filters can be designed in this way, no special time - or frequency-domain properties are preserved by this transformation, and it is not widely used.
^ Ojas, Chauhan; David, Gunness (2007-09-01). "Optimizing the Magnitude Response of Matched Z-Transform Filters ("MZTi") for Loudspeaker Equalization". Audio Engineering Society (באנגלית). אורכב מ-המקור ב-27 ביולי 2019. {{cite journal}}: (עזרה) Alt URL

[:3-1] ¹ ² Won Young Yang (2009). Signals and Systems with MATLAB. Springer. p. 292. ISBN 978-3-540-92953-6.

[2] Bong Wie (1998). Space vehicle dynamics and control. AIAA. p. 151. ISBN 978-1-56347-261-9.

[:1-3] ¹ ² Arthur G. O. Mutambara (1999). Design and analysis of control systems. CRC Press. p. 652. ISBN 978-0-8493-1898-6.

[:4-4] ¹ ² Al-Alaoui, M. A. (בפברואר 2007). "Novel Approach to Analog-to-Digital Transforms". IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers. 54 (2): 338–350. doi:10.1109/tcsi.2006.885982. ISSN 1549-8328. {{cite journal}}: (עזרה)

[5] S. V. Narasimhan and S. Veena (2005). Signal processing: principles and implementation. Alpha Science Int'l Ltd. p. 260. ISBN 978-1-84265-199-5.

[:0-6] ¹ ² ³ Rabiner, Lawrence R; Gold, Bernard (1975). Theory and application of digital signal processing (באנגלית). Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall. pp. 224–226. ISBN 0139141014. The expediency of artificially adding zeros at z = —1 to the digital system has been suggested ... but this ad hoc technique is at best only a stopgap measure. ... In general, use of impulse invariant or bilinear transformation is to be preferred over the matched z transformation.

[7] Jackson, Leland B. (1996). Digital Filters and Signal Processing (באנגלית). Springer Science & Business Media. p. 262. ISBN 9780792395591. although perfectly usable filters can be designed in this way, no special time - or frequency-domain properties are preserved by this transformation, and it is not widely used.

[8] Ojas, Chauhan; David, Gunness (2007-09-01). "Optimizing the Magnitude Response of Matched Z-Transform Filters ("MZTi") for Loudspeaker Equalization". Audio Engineering Society (באנגלית). אורכב מ-המקור ב-27 ביולי 2019. {{cite journal}}: (עזרה) Alt URL

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]