משפט הסה-מינקובסקי

בתורת המספרים, משפט הסה-מינקבסקי הוא משפט יסודי הנותן תנאים מספיקים והכרחיים לפתירות של משוואה ריבועית מעל שדות מספרים. חוץ מהמקרה (הקל יותר) של משוואות ממעלה 1, אין תוצאות כלליות דומות עבור משוואות מדרגות אחרות. המשפט הוכח על ידי הרמן מינקובסקי עבור שדה המספרים הרציונלים והוכלל לכל שדות המספרים על ידי הלמוט הסה.

ניסוח

המשפט עוסק בפתרונות למשוואה

(1) $q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0$

כאשר $q(x_{1},\ldots ,x_{n})$ היא תבנית ריבועית לא מנוונת מעל שדה מספרים F. למשוואה (1) יש תמיד את הפתרון שבו כל המשתנים הם אפס; כל פתרון אחר נקרא לא טריביאלי.

משפט הסה-מינקובסקי: התנאים הבאים שקולים:

1. למשוואה (1) יש פתרון לא טריביאלי בשדה F.
2. לכל הערכה v של F, למשוואה (1) יש פתרון לא טריביאלי בהשלמה $F_{v}$.

שימושים

במקרים רבים, בדיקת קיום פתרונות בשדה מקומי קלה יותר מבדיקת קיום פתרונות בשדה מספרים. לדוגמה, יש אלגוריתם פשוט שבודק האם קיימים פתרונות למשוואה ריבועית בשדה מקומי. מעובדה זו ומגרסה אפקטיבית של משפט הסה-מינקובסקי מקבלים שיש אלגוריתם שמחליט האם למשוואה ריבועית יש פתרון מעל שדה מספרים. קיום אלגוריתם דומה למשוואות מדרגות גבוהות יותר הוא בעיה פתוחה שקשורה לבעיה העשירית של הילברט.

שימוש אחר של משפט הסה-מינקובסקי הוא למיון תבניות ריבועיות מעל שדות מספרים. ממשפט הסה-מינקובסקי נובע ששתי תבניות הן שקולות מעל שדה מספרים אם ורק אם הן שקולות מעל כל השלמה שלו.

לקריאה נוספת

• J.P. Serre, A course in arithmetic, Springer-Verlag, 1973