משפט שפלי שוביק

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף משפט שפלי-שוביק)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

משפט שפלי שוביק הוא משפט מתחום תורת המשחקים, הקובע כי הליבה של משחק שוק אינה ריקה.

הערה: המשפט מסתמך על כך שמשחק שוק נגזר משוק שבו פונקציות הייצור הן רציפות וקעורות.

המשפט ההפוך אינו נכון.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחת המשפט משתמשת במשפט בונדרבה-שפלי. נוכיח כי משחק שוק הוא משחק מאוזן, כלומר, תנאי בונדרבה-שפלי מתקיים.

במהלך ההוכחה נשתמש בסימונים המופיעים בערך משחק שוק.

נסמן ב- את קבוצת כל ההקצאות עבור קואליציה :



כאשר הוא סך המצרכים העומד לרשות הקואליציה .

נגדיר את התשלום לקואליציה בצורה הבאה: , כאשר היא פונקציית הייצור.
לכל קואליציה נבחר הקצאה שבה מתקבל המקסימום בהגדרת .

מתקיים:

(i) לכל שחקן i.

(ii) , כאשר הוא הסל ההתחלתי של שחקן i.

(iii)

נראה כעת כי המשחק הוא משחק מאוזן.

יהי , כאשר הוא אוסף כל הקואליציות הלא ריקות ב-, ו- היא קבוצת כל וקטורי המקדמים המאזנים חלש את .

צריך להראות כי .
נגדיר:

.

נראה כי הוא הקצאה אפשרית:

כי הוא ממוצע של וקטורים ב-. נותר להראות כי :


מכיוון ש- ועל ידי שינוי סדר סכימה, נקבל:



הוא וקטור מקדמים מאזנים, כלומר -


לכן -


כלומר הוא אכן הקצאה אפשרית. לכן, מהגדרת ומהגדרת נקבל:



אי השוויון האחרון נובע מקעירות הפונקציות . על ידי שינוי סדר סכימה, נקבל:

.

כיון ש- הוא וקטור מקדמים מאזנים חלש כלשהו, נובע מכאן כי תנאי בונדרבה-שפלי מתקיים, ולכן הליבה של המשחק אינה ריקה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]


לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]