משתמש:בת-7 אילני/טיוטה

"יחס" ו"פרופורציה" - היבט מתמטי ‏ 1. "יחס"

למושג "יחס" שימושים רבים במתמטיקה ויש לו חשיבות רבה גם בתחומי דעת אחרים. במתמטיקה המושג "יחס" משולב בנושאים רבים והילדים נתקלים בו כבר בכיתות הנמוכות של בית הספר היסודי, אם כי לא בשמו המפורש. עם המושג "יחס", הם נפגשים לראשונה בכיתה ו'. למעשה לסעיפים רבים בתוכנית הלימודים במתמטיקה של בית הספר היסודי יש נגיעה ישירה או עקיפה במושג "יחס". לדוגמא, מחירים, שברים, אחוזים, הסתברות, בעיות תנועה ובהנדסה - מדידות, הגדלות והקטנות של צורות וגופים,  כיחס בין היקף המעגל לקוטרו וכו'. בבית הספר העל יסודי חלק מהתופעות הנלמדות מוגדרות כיחס בין שני גדלים. לדוגמא, בגיאוגרפיה המושג "צפיפות אוכלוסייה" מוגדר כיחס בין מספר הפרטים ליחידת שטח והמושג "קנה-מידה" המשמש לשרטוט מפות מוגדר כיחס בין יחידת אורך במפה לאורך היחידה במציאות. במקצועות המדעיים כגון פיסיקה, כימיה, ביולוגיה משמש היחס לתיאור תופעות כגון, "מהירות", "הספק", "משקל סגולי", "ריכוז תמיסות", "תאוצה". בסטטיסטיקה וכלכלה משתמשים ביחס לחישובי רווח והפסד ולחישובי הסתברות ובמקצועות הטכנולוגיים לחישובים בהנדסה, מכאניקה, רובוטיקה, מדעי המחשב וכו'. כאשר היחס מופיע בצורה מפורשת, אפשר לעשות בו שימושים רבים לדוגמא:  היחס בין מספר הבנים למספר הבנות בכיתה הוא 3:4 כלומר, על כל 7 תלמידים בכיתה 3 מהם בנים ו- 4 מהם בנות, או 3/7 מתלמידי הכיתה הם בנים ו- 4/7 הן בנות. אם לדוגמא, בכיתה זו יש 18 בנים, אז סך כל התלמידים בכיתה 42, מתוכם 24 בנות.  תוצאת משחק כדורגל 2:3 מציגה את היחס בין מספר הגולים שהבקיעה קבוצה אחת (2 גולים) לבין מספר הגולים שהבקיעה קבוצה שנייה (3 גולים) כלומר, 40% מכלל הגולים (2/5) הבקיעה הקבוצה הראשונה ו- 60% מכלל הגולים (3/5) הבקיעה הקבוצה השנייה.  היחס בין כמות הקמח לכמות הסוכר במתכון לעוגה הוא 2:1 כלומר, לכל 2 כוסות קמח יש להוסיף כוס אחת של סוכר.  היחס בין אורך מלבן לבין רוחבו הוא 2:1 כלומר, אורך המלבן גדול פי 2 מרוחבו, או לחילופין רוחב המלבן קטן פי 2 מאורכו.  היחס בין מספר הפיצות למספר האנשים בשולחן במסעדה הוא 8:10 כלומר, אם בשולחן זה יושבים 10 ילדים, אזי הם מתחלקים ביניהם ב- 8 פיצות וכל אחד מהם יקבל 4/5 של אחת הפיצות או 80% של אחת הפיצות.  בזר פרחים היחס בין מספר הצבעונים למספר הורדים הוא 1:3 כלומר, מכל 4 פרחים בזר יש צבעוני אחד ו- 3 ורדים, או מתוך כל הפרחים בזר 1/4 הם צבעונים ו- 3/4 הם ורדים. אם בזר יש 3 צבעונים אז יהיו בזר זה 9 ורדים. קיימים מקרים בהם היחס מופיע בצורה לא מפורשת, בצורת מושג המתאר תופעה ויש צורך בידע קודם, כדי לזהות שהגדרת המושג מבוססת על יחס בין שני גדלים לדוגמא:  "מהירות" מתארת יחס בין מרחק שעוברת מכונית לבין הזמן שעברה מרחק זה.  "קנה מידה" מוגדר כיחס בין אורך קטע של 1 ס"מ (או יחידת מידה אחרת) במפה לבין אורך הקטע במציאות (באותה יחידת מידה).  "צפיפות" אוכלוסין מתארת יחס בין מספר הפרטים ליחידת שטח.  "שיווי משקל" במאזניים בעלי זרועות נוצר כאשר מתקיימת פרופורציה של יחס הפוך בין אורך זרוע המשקל לבין המשקולת בקצהו כלומר, מתקיימת מכפלה קבועה ביניהם.  "צריכת דלק" נמדדת על ידי היחס בין מספר הקילומטרים שמכונית עוברת לבין מספר הליטרים שהמכונית צרכה באותו זמן (ק"מ/ליטר) ; לחילופין ניתן להביע את צריכת הדלק על ידי ליטר/ק"מ. מבחינה מתמטית "יחס" הוא כימות של קשר כיפלי, הנקבע על ידי השוואה כיפלית (חילוק) בין שני גדלים. קשר כיפלי הוא קשר של חילוק (או כפל) בין גדלים לדוגמא, אם בקורס מתקדם יש פי 2 שעות לימוד מאשר בקורס מבוא, אפשר לעשות השוואה כיפלית בין מספר השעות בקורס המתקדם לבין מספר השעות בקורס המבוא. במקרה זה היחס 2:1 הוא כימות הקשר הכיפלי בין שני הגדלים. במתמטיקה אנו יכולים למצוא קשרים אחרים, שאינם כיפליים לדוגמא, קשר חיבורי (הפרש) בין גדלים המתקבל כאשר גודל אחד גדול או קטן ב- k מגודל אחר, קשר לוגריתמי, קשר טריגונומטרי וכו'.

ההגדרה המתמטית (1989)Collins Dictionary of Mathematics: המושג "יחס" מוגדר במתמטיקה, כמנה - המתקבלת בעזרת פעולת החילוק - בין שני מספרים, גדלים, כמויות או ביטויים. בסימנים מתמטיים: a : b או כאשר 0  b. אפשר להרחיב את ההגדרה גם ליותר משני גדלים/כמויות כגון: בסימנים מתמטיים: a : b : c : d : e …. או ... a / b / c / d / e ( ... 0,e 0 d, 0 c, 0 b). א. יחס מסוג Rate יחס מסוג Rate נוצר בקטגוריה הראשונה לפי פרוידנטל , שבה קיימות השוואות בין גדלים או כמויות בעלי כינויים שונים. זהו יחס בין שני גדלים או כמויות, הנוצר בדרך כלל מקשר כפלי המתאר תופעות פיסיקליות הקיימות בטבע או כאשר אנחנו יוצרים מושגים חדשים באופן שרירותי למטרה פונקציונאלית. יחס מסוג זה יוצר מושג חדש - בעל ישות עצמית ובדרך כלל המושג החדש לא נקרא יחס אלא הספק/קצב או צפיפות. דוגמאות א': הדוגמאות בקבוצה זו מייצגות יחס המתאר גדלים פיסיקליות.  היחס בין הדרך שעוברת מכונית לבין הזמן שלוקח להלעבור את אותה דרך ( ), יחס זה מתאר תנועה ויוצר את המושג מהירות.  היחס בין משקלו של גוף לנפחו, מתאר את צפיפות החומר ויוצר את המושג משקל סגולי.  במשקל מאזניים בעל זרועות באורך שונה נוצר שיווי משקל כאשר קיימת פרופורציה של יחס הפוך בין אורך הזרוע למשקולת שבקצהו, כלומר, מתקיים יחס קבוע בין אורך הזרוע והמשקל, בשתי הזרועות. בדוגמאות אלו מוצגים יחסים הנקראים גם גדלים אינטנסיביים. גודל אינטנסיבי הוא יחס בין שני גדלים משתנים (גדלים אקסטנסיביים), שאינו משתנה כאשר המרחב בו פועלים שני הגדלים משתנה. לדוגמא, המשקל הסגולי של גוף אינו משתנה כאשר מגדילים או מקטינים את הגוף. גם המהירות (בכל אחד מהקטעים של דרך) אינה משתנה, כאשר נתונה מהירות קבועה לאורך כל הדרך. דוגמאות ב': הדוגמאות בקבוצה זו מייצגות יחס המתאר מושג חדש שנוצר למטרה פונקציונאלית.  מחיר ליחידה הוא מושג חדש הנוצר כדי לאפשר השוואה בין מחירים של מוצרים והוא מייצג את היחס שבין המחיר הכולל לבין מספר היחידות שקנינו.  קילומטר לליטר דלק הוא מושג חדש הנוצר כדי לבדוק יעילות/חסכוניות של מכונית והוא מייצג את היחס שבין מספר הקילומטרים שהמכונית נסעה לבין מספר הליטרים של הדלק שהיא צרכה.  מספר פרטים ליחידת שטח הוא מושג חדש הנוצר כדי למדוד צפיפות אוכלוסייה והוא מייצג את היחס בין מספר הפריטים לשטח נתון לדוגמא, מספר האיילים בקמ"ר. ב. יחס מסוג Ratio יחס מסוג Ratio נוצר בקטגוריה השנייה והשלישית (לפי פרוידנטל), שבהן קיימות השוואות בין גדלים או כמויות (המונה ובמכנה) בעלי אותו כינוי. במקרה זה נוצר יחס חסר כינוי, בדומה לשבר או למספר חסר כינוי. השוואות אלו יכולות להיות השוואות בין שני חלקים של שלם מסוים או השוואות בין גדלים של שתי כמויות הקשורות קונספטואלית, אבל לא נחשבות באופן טבעי כחלקים של שלם משותף. הייצוג של היחס כשבר מאפשר להחיל את תכונות הצמצום וההרחבה של שברים למצבי היחס השונים. דוגמאות:  בכיתה א1 היחס בין מספר הבנים (מונה) לבין מספר הבנות (מכנה) הוא 15/20 (או 3/4). היחס במקרה זה מקבל ביטוי כמותי בצורת שבר, ללא כינוי. זוהי השוואה בין שני חלקים של אותו שלם.  קנה מידה של 1:200,000 הוא יחס בין 1 ס"מ במפה לבין 200,000 ס"מ (שהם 2 ק"מ) במציאות. במקרה זה מתקבל שבר 1/200,000 (ללא כינוי).  התוצאה של היחס בין היקף המעגל לבין קוטרו ( ) הוא . לשני הגדלים אותו כינוי, (מידת אורך) ולמרות זאת היחס שנוצר איננו מספר רציונאלי כלומר, אינו ניתן לכתיבה כמנה של שני מספרים שלמים. מכאן, ניתן להסיק שקיימים יחסים שאינם ניתנים להבעה על ידי שבר או מספר רציונאלי, אלא על ידי מספר אי-רציונאלי. נזכיר, כי בטריגונומטריה, הפונקציות הטריגונומטריות מתארות יחסים בין אורכים של צלעות ובמספר גדול מאוד של מקרים, עבור הרבה זוויות היחס או ערך הפונקציה הטריגונומטרית המסויימת אינו רציונאלי.  היחס בין אורך צלע במשולש ישר זווית לבין אורך היתר במשולש זה הוא 2/3. במקרה זה היחס מיוצג על ידי שבר ללא כינוי. זוהי השוואה בין גדלים של שתי כמויות הקשוריםקונספטואלית (באותו משולש), אבל לא נחשבות באופן טבעי כחלקים של שלם משותף.  הגדלה/הקטנה - נתונה תמונה ברוחב 2 ס"מ ובאורך 2.4 ס"מ. שרה מתבקשת להגדיל את התמונה לאורך של 7.2 ס"מ. מה יהיה רוחבה של התמונה מבלי שיהיה עיוות? במקרה זה אנו היחס בין הרוחב והאורך של התמונה לאחר ההגדלה לא ישתנה, הוא יישאר 2:2.4. זהו יחס המיוצג על ידי שבר ואפשר להרחיבו ולצמצמו כרצוננו – צמצום פי 2 ייתן 1:1.2 והרחבה פי 6 תיתן את הפתרון 6:7.2 (אפשר כמובן גם להגיע ליחס של מספרים שלמים - 10:12 או 5:6). הערה (מתיחסת ל Rate ול (ratio: בשפה העברית אין מונח שונה לכל אחד מסוגי היחס, אך לפעמים משתמשים לתיאור היחס מסוג Rate בכינויים קצב, שיעור והספק. המורכבות של מושג היחס והקושי בהבחנה בין סוגיו מתבטאת בקטע הבא: ההבדל בין ratio ל- rate הוא לא שהם שני מצבים שונים, אלא היבטים שונים לאותו מצב. שניהם תוצרים של אופרציות מנטליות הנבנות ומיושמות על ידי האדם, כאשר הוא נתקל במצב מסוים. התשובה לשאלה האם כמות מסוימת היא ratio אוrate- תלויה בצורת החשיבה של האדם והאם הוא מסוגל לבצע פעולה מנטלית שתבדיל ביניהם. כלומר, אם אדם נמצא בשלב שהוא לא מסוגל להבין את היחס כגודל אינטנסיבי, אזי הוא יתייחס אליו כאל גודל אקסטנסיבי והמושג הנתפס על ידו יהיה כזה כמו ratio ואילו בשלב מאוחר יותר, כאשר האדם מסוגל להבין את היחס כגודל אינטנסיבי אז הוא יוכל לזהות את הגודל כrate.

2. "פרופורציה"

המושג "פרופורציה" משמש בעיקר לפתרון בעיות במתמטיקה ובתחומי דעת רבים נוספים. בעיות פרופורציונליות כוללות מצבים בהם יחסים מתמטיים שהם כפליים מטבעם )לעומת מצבים חיבוריים), המאפשרים ליצור שני יחסים השווים ביניהם. היכולת לפתור בעיות אלו מהווה אינדיקציה לשְכִילָה פרופורציונלית ((Proportional Reasoning המובילה לחשיבה מופשטת.

הגדרה מתמטית (2003 ,Oxford English Dictionary): פרופורציה נוצרת כאשר מתקיים שוויון בין שני יחסים. כלומר, הקשר הכיפלי (כפל או חילוק) שיוצר את היחס הראשון, נשמר קבוע ושווה לקשר הכיפלי, שיוצר את היחס השני. בסימנים מתמטיים : ארבעה מספרים, גדלים או כמויות a, b, c, d (0 d, 0 c ,0 b, 0 a) יוצרים פרופורציה באחד משני מצבים הבאים: א. כאשר מתקיים a / b = c / d במקרה זה נוצרת מנה קבועה המאפיינת פרופורציה של "יחס ישר" - Direct Proportion. ב. כאשר מתקיים c a / b = d / במקרה זה נוצרת מכפלה קבועה המאפיינת פרופורציה של "יחס הפוך" - Inverse Proportion .

3. שְכִילָה פרופורציונלית - Proportional Reasoning הנה היכולת האנושית להשתמש בצורה יעילה בסכמת הפרופורציה. ליכולת זו תפקיד מרכזי בהתפתחות החשיבה המתמטית ולעיתים קרובות היא מתוארת כמושג, שמחד הוא משמש אבן פינה למתמטיקה הגבוהה ומאידך הוא משמש כגולת הכותרת של מושגי היסוד. לשְכִילָה פרופורציונלית תפקיד מעשי חשוב, כתוכנית פעולה המסייעת לפתרון בעיות בתחומי דעת מגוונים, המתארות סיטואציות בהן קיימים קשרים של פרופורציה בין גדלים. שימוש בפרופורציה נעשה במתמטיקה (בגיאומטריה, בטריגונומטריה, בסטטיסטיקה ובהסתברות ועוד), בפיסיקה (במכניקה, בחשמל, ועוד) בכימיה (בחישובי ריכוזים, איזון משוואות כימיות, ועוד), בכלכלה ובמספר תחומי דעת נוספים. פתרון לבעיית "יחס ופרופורציה", כמו כל פעולה מתמטית אחרת, כולל שלושה מרכיבי ידע מרכזיים (1993 ,Fischbeinפישביין) : 1. ידע אינטואיטיבי – כולל את הרעיונות והאמונות לגבי ישויות מתמטיות ואת המודלים השכליים שבהם אנו משתמשים לייצוג מושגים מתמטיים. בהקשר לפרופורציה, כולל ידע זה את היכולת לזהות את הקשר הפרופורציונלי, הישר וההפוך, בין הגורמים בבעיה. 2. ידע פורמאלי – כולל את האכסיומות, המושגים הראשוניים, ההגדרות, המשפטים וההוכחות הקשורים למושג הרלבנטי. בהקשר לפרופורציה, ידע זה כולל את היכולת לבטא את הקשרים הכיפליים של הפרופורציה באמצעות מודלים מתמטיים. יכולת זו מקבלת ביטוי בכימות-quantify הקשר הראשון ליחס והשוואתו ליחס השני ולפי סוג הפרופורציה הנוצרת בסיטואציה שבבעיה, הצבה מתאימה של ארבעת הגדלים הפרופורציוניים, בנוסחת הפרופורציה. 3. ידע אלגוריתמי – כולל את הפרוצדורות, החוקים והתהליכים שבהם משתמשים בעיקר לצורכי חישוב. בהקשר לפרופורציה, כולל ידע זה את היכולת להשתמש באלגוריתמים ופרוצדורות מתמטיות למציאת פתרון מתמטי-כמותי לבעיה פרופורציונלית. שליטה בשלושת מרכיבי הידע ויכולת לשלב ביניהם תביא להמשגת המושגים יחס ופרופורציה וקרוב לוודאי תאפשר לאדם לפתור נכון בעיות אלו. לעומת זאת, חוסר ההתאמה בין הידע האינטואיטיבי לבין הידע הפורמאלי יכול להביא לתפיסות מוטעות, לקונפליקטים קוגניטיביים, לשימוש לא נכון באלגוריתמים.

מקורות בן חיים ד., קרת י., אילני ב. (2007). יחס ופרופורציה -מחקר והוראה בהכשרת מורים למתמטיקהטקסט נטוי. הוצאת מכון מופת והוצאת אח בע"מ.