משתמש:המכונה הירוקה/שיטות רונגה-קוטה

באנליזה נומרית , שיטות רונגה-קוטה , הן משפחה של שיטות לקירוב פתרון של מערכת דפרנציאלית רגילה מסדר ראשון. השיטות פותחו בערך ב 1900 על ידי המתמטיקאים הגרמניים רונגה וקוטה.

נתונות המשוואות:

$y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.$

האלגוריתמים ממשפחת רונגה-קוטה מעריכים את $\ f(t,y)$ מספר פעמים באינטרוול $\ [t,t+dt]$.

רונגה קוטה קלאסי מסדר רביעי

אחת השיטות הפופולריות ממשםת רונגה-קוטה היא מסדר 4 ואף נקראת לעתים RK4. שיטה מחשבת את $\ f(t,y)$ ארבע פעמים.

הקרוב לפתרון בצעד הזמן $t_{n+1}$ לפי RK4 הוא:

${\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+{h \over 6}\left(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\right)\\t_{n+1}&=t_{n}+h\\\end{aligned}}$

כאשר h הוא צעד זמן של האינטגרציה ו:

${\begin{aligned}k_{1}&=f\left(t_{n},y_{n}\right)\\k_{2}&=f\left(t_{n}+{h \over 2},y_{n}+{h \over 2}k_{1}\right)\\k_{3}&=f\left(t_{n}+{h \over 2},y_{n}+{h \over 2}k_{2}\right)\\k_{4}&=f\left(t_{n}+h,y_{n}+hk_{3}\right)\\\end{aligned}}$

מבחינה גאומטרית k1 הוא השיפוע בתחילת האינטרוול, k2 הוא השיפוע באמצע האינטרוול שחושב באמצעות k1 לפי שיטת אוילר. k3 הוא גם השיפוע באמצע האינטרוול אך הפעם מחושב לפי k2. k4 הוא השיפוע בסוף האינטרוול המחושב באמצעות k3.

לכן אפשר לראות את השיטה הזאת כשיטת אוילר עם חישוב קצב שינוי הפומקציה כממוצע משוקלל בארבע מקומות על פני האינטרוול.