משתמש:יחס הזהב/טיוטה

הסתברות מותנית של מאורע A בהינתן מאורע B: $\ P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$.

חוק בייס: $P(B|A)={\frac {P(A|B)\cdot P(B)}{P(A)}}$

נוסחת ההסתברות השלמה: ${\displaystyle \ P(B)=P(B|A)\cdot P(A)+P(B|A^{c})\cdot P(A^{c})}$ (המקרה הפרטי)

מאורעות בלתי תלויים: $\mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} (B)$

• אם 3 מאורעות בלתי תלויים בזוגות, וגם $\mathbb {P} (A\cap B\cap C)=\mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} (B)\cdot \mathbb {P} (C)$ אז הם בלתי תלויים.

תוחלת ושונות

תוחלת

תוחלת: $\operatorname {E} [X]=\sum _{i}x_{i}P(X=x_{i})$

תכונות תוחלת:

• $\operatorname {E} (a)=a$
• $\operatorname {E} (aX+b)=a\operatorname {E} (X)+b$
• $\operatorname {E} (aX+bY)=a\operatorname {E} (X)+b\operatorname {E} (Y)$

תוחלת של פונקציה: $\operatorname {E} [g(X)]=\sum _{i}g(X_{i})\cdot P(X_{i})$

משפט התוחלת השלמה: $\operatorname {E} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X|Y))$

תוחלת מותנית: $\operatorname {E} [X]=E[X|A]\cdot P(A)+E[X|A^{c}]\cdot P(A^{c})$

שונות

שונות: $\operatorname {Var} (X)=\sum _{i}p_{i}\cdot (x_{i}-\mathbb {E} [X])^{2}=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}$

תכונות השונות:

• $\operatorname {Var} (X)\geq 0$
• $\operatorname {Var} (X)=0$ אם ורק אם המשתנה המקרי מקבל ערך קבוע בהסתברות 1
• $\operatorname {Var} (aX+b)=a^{2}\operatorname {Var} (X)$

• $\operatorname {Var} (X+Y)=\operatorname {Var} (X)+2\operatorname {cov} (X,Y)+\operatorname {Var} (Y)$

שונות משותפת ומתאם

שונות משותפת: ${\displaystyle {cov}(X,Y)=\operatorname {E} \left[XY\right]-\operatorname {E} \left[X\right]E[Y]}$

תכונות השונות המשותפת:

• $\operatorname {Var} (X)=\operatorname {Cov} (X,X)$
• $\operatorname {cov} (aX+bY,Z)=a\cdot \operatorname {cov} (X,Z)+b\cdot \operatorname {cov} (Y,Z)$

מתאם: $\rho _{X,Y}={\mathrm {cov} (X,Y) \over \sigma _{X}\sigma _{Y}}$

אינדיקטורים

חישוב תוחלת ע"י אינדיקטורים: $\ E[X]=E[\sum _{i=1}^{n}X_{i}]=\sum _{i=1}^{n}E[X_{i}]=n\cdot E[X_{i}]=n\cdot P(X_{i})$

חישוב שונות ע"י אינדיקטורים: $\ V[X]=V[\sum _{i=1}^{n}X_{i}]=\sum _{i=1}^{n}V[X_{i}]+2\cdot \sum _{i<j}COV(X_{i},X_{j})$

משתנה רציף

תוחלת - $E[X]=\int x\,f(x)\,dx\,$

שונות - $\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}=\int (x-\mu )^{2}\,f(x)\,dx\,=\int x^{2}\,f(x)\,dx\,-\mu ^{2}$