משתמש:יחס הזהב/טיוטה20

סדרות

הגדרת הגבול: $\forall \varepsilon >0\;\exists N\in \mathbb {N} ,\forall n>N:\left|a_{n}-L\right|<\varepsilon \;$

משפט יחידות הגבול: אם קיים גבול אז הוא יחיד. (הוכחה)

משפט: אם קיים גבול (במובן הצר) אז הסדרה חסומה.

הוכחה שלא קיים גבול

• לפי הגדרה: $\exists \varepsilon >0\;\forall N\in \mathbb {N} ,\exists n>N:\left|a_{n}-L\right|\geq \varepsilon \;$
• לפי יחידות הגבול: להראות שאינסוף איברים בסדרה שואפים לגבולות שונים.

טענות טובות:

• $\lim _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|=\left|L\right|\Leftarrow \lim _{n\to \infty }a_{n}=L$
• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ וגם $b_{n}$ חסומה $\lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=0\Leftarrow$. נקרא גם: חסומה כפול אפיסה.
• $\ b_{n}\leq a_{n}\leq c_{n}$ וגם $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L\Leftarrow \lim _{n\to \infty }b_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=L$. נקרא גם: כלל הסנדוויץ'.
• $a_{n}$ מתכנסת וגם $b_{n}$ לא מתכנסת $a_{n}+b_{n}\Leftarrow$ לא מתכנסת.
• $a_{n}$ לא מתכנסת וגם $b_{n}$ לא מתכנסת $a_{n}+b_{n}\Leftarrow$ לא תמיד מתכנסת.
• $a_{n}$ מתכנסת וגם $b_{n}$ לא מתכנסת $a_{n}\cdot b_{n}\Leftarrow$ לא תמיד מתכנסת.

$a_{n}$ סדרת קושי אם לכל $\ \varepsilon >0$ קיים $N$ כך שלכל $\ n,m>N$ מתקיים $|a_{n}-a_{m}|<\varepsilon$. $a_{n}$ מתכנסת לגבול סופי (בלבד!) אם ורק אם $a_{n}$ סדרת קושי.

תתי סדרות

משפט בולצאנו-ויירשטראס - לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת.

משפט: לכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית.

משפט: סדרה מתכנסת (במובן הרחב) אם ורק אם כל הגבולות החלקיים שלה שווים.

הגדרת גבול חלקי - L נקרא גבול חלקי של $a_{n}$ אם יש תת סדרה $a_{k_{n}}\to L$. תמיד יש לפחות גבול חלקי אחד סופי או אינסופי.

סכום סדרה הנדסית:

• עבור המקרה הכללי: $S={\frac {q^{N_{1}}-q^{{N_{2}}+1}}{1-q}}$
• ועבור המקרה הפרטי:$S_{n}={\frac {a_{1}\cdot (q^{n}-1)}{q-1}}$.

טורים

טור

סס"ח

טור שווה לגבול של הססח

תנאי הכרחי להתכנסות טורים

מבחני התכנסת לסדרות

מבחני התכנסות לטורים

משפט: שינוי מספר סופי של איברים אינו משפיע על התכנסות הטור , אבל הוא כן משפיע על הסכום.

משפט: לכל טור חיובי סדרת הסכומים החלקיים היא סדרה מונוטונית עולה.

טור הנדסי מתכנס אמ"מ $|q|<1$

משפט התכנסות בהחלט: $\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ מתכנס $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\Leftarrow$ מתכנס.

משפט רימן: לכל טור המתכנס בתנאי ולכל מספר ממשי ניתן לשנות את סדר האיברים של הטור ולקבל טור המתכנס למספר. בנוסף ניתן לשנות את סדר איברים ולקבל טור המתבדר ל-${\displaystyle \,\pm \infty }$ או אפילו טור שאינו מתכנס גם במובן הרחב.

מבחני התכנסות לטורים

מבחן ההשוואה הראשון

יהיו $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n},\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ שני טורים אינסופיים. אם מתקיים החל ממקום מסוים $0\leq a_{n}\leq b_{n}$, אז:

• אם $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ מתכנס, גם $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס.
• אם $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתבדר, גם $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ מתבדר.

מבחן ההשוואה השני

יהיו $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n},\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ שני טורים חיוביים אינסופיים, שעבורם הגבול $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=L$ קיים. אז:

• אם $0<L<\infty$, הטורים מתכנסים או מתבדרים יחדיו.
• אם $\ L=0$, אם $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ מתכנס אז $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס ואם $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתבדר אז $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ מתבדר (אבל ההפך אינו בהכרח נכון).
• אם $L=\infty$ אם $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ מתבדר אז $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתבדר ואם $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס אז $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ מתכנס (אבל ההפך אינו בהכרח נכון).

מבחן השורש

יהי $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ טור חיובי אינסופי. נסמן $\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=q$.

1. אם $\!\,q<1$ הטור מתכנס.
2. אם $\!\,q>1$ הטור מתבדר.
3. אם $\!\,q=1$ המבחן אינו מספק מידע על התכנסות או התבדרות הטור.

(למעשה, קיים ניסוח כללי יותר : אם קיים $\!\,q<1$ כך שכמעט לכל האיברים בסדרה מתקיים $a_{n}\leq q^{n}$, אז הטור מתכנס).

מבחן המנה

יהי $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ טור אינסופי. נסמן $\lim _{n\rightarrow \infty }|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}|=q$.

1. אם $\!\,q<1$ הטור מתכנס.
2. אם $\!\,q>1$ הטור מתבדר.
3. אם $\!\,q=1$ או שגבול המנה אינו קיים, המבחן אינו מספק מידע על התכנסות או התבדרות הטור.

מבחן העיבוי

תהא$\!\,a_{n}$ סדרה חיובית שיורדת מונוטונית, אז הטור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס אם ורק אם $\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\cdot a_{2^{n}}$ מתכנס. בלשון ציורית: די להחליף כל קבוצה של $\,2^{n}$ איברים ב-$\,2^{n}$ מופעים של האיבר הראשון (או האחרון) בקבוצה. הטור שיתקבל מתכנס ומתבדר יחד עם הטור המקורי. לעיתים נקרא גם מבחן הדילול.

דוגמאות. נוכיח כי הטור $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot \ln(n)}}$ מתבדר. על פי מבחן העיבוי, טור זה מתכנס ומתבדר יחד עם הטור $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {2^{n}}{2^{n}\cdot \ln(2^{n})}}$, ולאחר צמצום נקבל את הטור $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot \ln 2}}$. כעת, באמצעות מבחן ההשוואה עם הטור $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ שידוע כי הוא מתבדר, נסיים את ההוכחה.

מבחן דיריכלה

תהי$\!\,a_{n}$ סדרה מונוטונית ושואפת לאפס ותהי $\!\,b_{n}$ סדרה שעבורה קיים מספר חיובי M כך שלכל N טבעי מתקיים $|\sum _{n=1}^{N}{b_{n}}|<M$ ( סדרת הסכומים החלקיים של הטור $\!\,b_{n}$ חסומה). בתנאים אלה הטור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cdot b_{n}$ מתכנס.

מבחן לייבניץ

תהי$\!\,a_{n}$ סדרה חיובית שיורדת מונוטונית לאפס. אזי הטור המתחלף שנוצר על ידה $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\cdot a_{n}$ מתכנס.

זנב הטור, $r_{m}=\sum _{n=m}^{\infty }(-1)^{n}\cdot a_{n}$, קטן תמיד בערכו המוחלט מגודל האיבר הראשון בו, כלומר: $|\sum _{n=m}^{\infty }(-1)^{n}\cdot a_{n}|\leq |a_{m}|$. כמו כן, מתקיים $(-1)^{m}\cdot r_{m}\geq 0$.

דוגמאות. נביט בטור ההרמוני המתחלף: $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\cdot {\frac {1}{n}}$. הסדרה $\!\,{\frac {1}{n}}$ היא סדרה חיובית מונוטונית יורדת לאפס, ולכן על פי מבחן לייבניץ, הטור מתכנס.

פונקציות

גבול בנקודה לפי קושי

לפונקציה $\,f$ יש גבול $\ L$ בנקודה $\ x_{0}$ אם לכל $\ \varepsilon >0$ (קטן ככל שתירצה) קיים $\ \delta >0$ מתאים כך שאם -$\ 0<|x-x_{0}|<\delta$ אזי $|f(x)-L|<\varepsilon$.

גבול בנקודה לפי היינה

לפונקציה $\,f$ יש גבול $\ L$ בנקודה $\ x_{0}$ אם לכל סדרה $\ \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ המקיימת $\ x_{n}\to x_{0}$ ו-$\ x_{n}\neq x_{0}$ (לכל $n\in \mathbb {N}$), מתקיים $\ f(x_{n})\to L$.

רציפות

זיהוי וסיווג נקודות חשודות לאי רציפות. חושדים בנקודות אי הגדרה ונקודות תפר של פונקציה מפוצלת. עבור כל נקודה חשודה נחשב גבול מימין, גבול משמאל וערך בנקודה.

מסווגים לארבעה מקרים:

1. אם הגבולות מימין ומשמאל סופיים ושווים גם לערך בנקודה, אזי זו נקודת רציפות.
2. אם הגבולות מימין ומשמאל סופיים ושווים אבל שוניםמהערך בנקודה או שהפונקציה כלל אינה מוגדרת בנקודה, אזי זו נקודת אי רציפות סליקה.
3. אם הגבולות מימין ומשמאל סופיים אבל שונים (הערך בנקודה לא רלוונטי), אזי זו נקודת אי רציפות מסוג ראשון.
4. כל מקרה אחר (אחד הגבולות לפחות לא קיים או אינסופי) אז זו נקודת אי רציפות מסוג שני.

גזירות

הגדרת הנגזרת: $\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

כלל לופיטל: $\lim _{x\to \infty }f\left(x\right)=0$ או $\lim _{x\to \infty }f\left(x\right)=\infty$ וגם אם הגבול $\,L=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ קיים, אז גם הגבול $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ קיים, ושווה ל $L$.

משפט: אם f גזירה אז f רציפה.

משפטים של פונקציות

• משפט ויירשטראס הראשון - אם $f$ רציפה בקטע סגור $[a,b]$ אז $f$ חסומה שם. (קיים $M$ כך ש-$|f|<M$)

• משפט ויירשטראס השני - מוסיף וקובע כי הפונקציה מקבלת בקטע ערכי מינימום ומקסימום.

• משפט ערך הביניים - אם $f$ רציפה בקטע סגור $[a,b]$ וקיים $t\in \mathbb {R}$ מספר ממשי בין $f(a)<t<f(b)$ אזי קיים $c\in [a,b]$ כך ש-$f(c)=t$.

• משפט רול - אם $f$ רציפה בקטע הסגור $\left[a,b\right]$ וגזירה בקטע הפתוח $\left(a,b\right)$ כך שמתקיים $\ f(a)=f(b)$. אז קיימת נקודה $\ c\in (a,b)$ כך שמתקיים $\ f'(c)=0$.

• משפט לגראנז' - אם $f$ רציפה בקטע הסגור $\left[a,b\right]$ וגזירה בקטע הפתוח $\left(a,b\right)$ אז קיימת נקודה $c\in (a,b)$ שעבורה $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$.

• משפט פרמה - אם $f$ גזירה ובעלת קיצון מקומי ב-$x_{0}$ אז $f'(x_{0})=0$.

• משפט קושי - אם $f$ ו-$g$ רציפות בקטע הסגור $[a,b]$ וגזירות בקטע הפתוח $(a,b)$ כך ש-$g'\neq 0$ בקטע הפתוח $(a,b)$. אזי קיימת נקודה $c$ בעבורה: ${\frac {\left(f'\left(c\right)\right)}{\left(g'\left(c\right)\right)}}={\frac {\left(f\left(b\right)-f\left(a\right)\right)}{\left(g\left(b\right)-g\left(a\right)\right)}}$

הערה: משפט לגראנז' הוא הכללה של משפט רול.

סתם כדאי לדעת

אי-שוויון המשולש: $|a+b|\leq |a|+|b|$ - גרסה נוספת - $|x-y|\geq {\bigg |}|x|-|y|{\bigg |}$.
אי-שוויון ברנולי: $\ (1+x)^{n}\geq 1+nx$לכל מספר שלם $\ n\geq 0$ ולכל מספר ממשי $\ x>-1$.

1) $f^{g}=1^{\infty }\to e^{(Limg(f-1))}$

2) $(f\circ g)_{(}x_{0})^{'}=f'(g(x_{0})*g^{'}(x_{0})$

3) $Sin(a+b)=Sin(a)Cos(b)+Sin(b)*Cos(a)$

4) $Cos(a+b)=Cos(a)*Cos(b)-Sin(a)*Sin(b)$