נתון:
1. ![{\displaystyle x\in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27bcc9b2afb295d4234bc294860cd0c63bcad2ca)
2.
.
צ"ל:
הוכחה:
יהי
שרירותי. נתון
ונניח
.
נתון
. אז מהגדרת הפרש סימטרי
, כלומר:
. אבל מהנחה
אז מהגדרת חיתוך
.
מהגדרת הפרש
או
וגם
. אבל נתון
אז מהגדרת העצמי
. לכן
וגם
. מהגדרת חיתוך
וגם
. מש"ל.
צ"ל:
הוכחה:
יהי
שרירותי. נניח
, אז מהגדרת קבוצת חזקה
. נפצל למקרים:
:
מהגדרת הכלה לכל
מתקיים
. אז מהגדרת הפרש
וגם
. אז מהגדרת הכלה
וגם
. אז מהגדרת קבוצת חזקה
וגם
. אז מהגדרת הפרש
. אז מהגדרת העצמי
. מש"ל.
:
אגף שמאל: הנחנו
וגם
אז
.
אגף ימין:
. ברור ש-
אז מהגדרת האיחוד
. מש"ל.
נתון:
1.
קבוצה של קבוצות.
2.
.
3. תהי
קבוצה.
צ"ל:
הוכחה:
: יהי
שרירותי. נניח
. לפי הגדרת הפרש
וגם
. אז לפי הגדרת חיתוך אונארי
. לכן, ומכך ש-
, אז קיים
כך ש-
ומהגדרת איחוד אונארי
. הראנו שלכל
מתקיים
. אז מהגדרת הכלה:
.
: יהי
שרירותי. נניח
. אז לפי הגדרת הפרש
וגם
. אז מהגדרת איחוד אונארי
. נפצל למקרים:
: אז מהגדרת חיתוך אונארי
אז מהגדרת הפרש
ומהנחה ש-
נובע
.
: הראנו קודם ש-
והנחנו
אזי,
, אז מהגדרת חיתוך אונארי
. הנחנו
אז מהגדרת הפרש
.
הראנו הכלה דו־כיוונית ולכן
. מש"ל.
צ"ל:
הוכחה:
נניח
. מהגדרת הכלה
אז
.
מהגדרת קבוצת חזקה
אז
.
לפיכך
.
מהגדרת הכלה
אז
.
יהי
שרירותי. נניח
.
מהגדרת איחוד אונארי
. אז מכך ש-
נובע
. אבל הראנו ש-
, אזי
. מש"ל.
נתון:
1.
ו-
קבוצות לא ריקות של קבוצות.
צ"ל:
הוכחה:
: יהי
שרירותי. נניח
. אז מהגדרת איחוד אונארי
. מהגדרת איחוד
או
. נפצל למקרים:
: הראנו
אז לפי הגדרת איחוד אונארי
. אז מהגדרת איחוד
.
: הראנו
אז לפי הגדרת איחוד אונארי
. אז מהגדרת איחוד
.
: יהי
שרירותי. נניח
. מהגדרת איחוד
או
. נפצל למקרים:
: אז מהגדרת איחוד אונארי
. אז מהגדרת איחוד
והראנו
אזי מהגדרת איחוד אונארי
.
אז מהגדרת איחוד אונארי
. אז מהגדרת איחוד
והראנו
אזי מהגדרת איחוד אונארי
.
הראנו הכלה דו-כיוונית ולכן הקבוצות שוות.
צ"ל:
הוכחה:
נראה שקיים
עבורו הטענה מתקיימת.
נניח
.
: יהי
שרירותי. נניח
. מהגדרת הפרש סימטרי
. מהגדרת הפרש
וגם
או
וגם
. הנחנו
אז מהגדרת הקבוצה הריקה
ולכן בהכרח
וגם
. אז מהגדרת "וגם"
.
: יהי
שרירותי. נניח
. הנחנו
, אז מהגדרת הפרש
וגם
. מהגדרת איחוד
. מהגדרת הפרש סימטרי
.
הראנו הכלה דו-כיוונית ולכן עבור
מתקיים
. כלומר הראנו שקיים
המקיים את הטענה. נותר להראות שלא קיים עוד
כזה.
נניח בשלילה ש-
. נפצל למקרים:
: הנחנו
אז מהגדרת הקבוצה הריקה
. אז מהגדרת האיחוד
. הנחנו
אז
זרה ל-
ולכן
או באופן שקול
. אז מכך ש-
נובע
. מהגדרת האיחוד
והנחנו
אז מהגדרת הפרש
אז מהגדרת הפרש סימטרי
. אבל הראנו ש-
. אזי
וזאת בסתירה להנחה.
: אז מהנחה
. מהגדרת חיתוך
וגם
אז מהגדרת איחוד
. אז מהגדרת הפרש
אז מהגדרת הפרש סימטרי
. אבל הראנו ש-
. אזי
וזאת בסתירה להנחה.
אזי
לכן
הוא היחיד המקיים את
. מש"ל.
נתון:
1. תהי
קבוצה ו-
קבוצה של קבוצות.
2.
צ"ל:
הוכחה:
נניח בשלילה
אז משלילת כמתים
אז מהגדרת קבוצה ריקה
.
נניח
מההנחה ש-
נובע
. אז מהגדרת איחוד אונארי
אזי
ולכן
.
מהגדרת קבוצה ריקה
. וזו בסתירה להנחה - לפיכך קיים
. נניח בשלילה שקיים
כך ש-
.
נסמן קבוצה
. עבור הקבוצה
מתקיים לפי הגדרת איחוד אונארי
.
מההנחה
אז
. אבל
וזו בסתירה להנחה - לפיכך
.
הראנו שקיים
ולכל
ולכן הוכחנו קיום יחידות. מש"ל.
צ"ל:
הוכחה:
יהי
זוג סדור שרירותי.
: נניח
. אז מהגדרת קבוצת חזקה
וגם
. אז מהגדרת הפרש
וגם
. אז מהגדרת מכפלה קרטזית
וגם
אז מהגדרת הפרש
.
:
אז מהגדרת הפרש
וגם
. אז מהגדרת מכפלה קרטזית
וגם
וגם
או
אבל הראנו ש-
אז בהכרח
. אז מהגדרת הפרש
. אז מהגדרת מכפלה קרטזית
.
הראנו הכלה דו-כיוונית ולכן הקבוצות שוות.
צ"ל:
נוכיח על דרך הקונטרה פוזיטיב:
. נפשט לפי זהויות לוגיות:
- רישא:
![{\displaystyle \neg ((A\cap C=\emptyset )\lor (B\cap D=\emptyset ))\equiv \ \neg (A\cap C=\emptyset )\land \neg (B\cap D=\emptyset )\equiv \ (A\cap C\neq \emptyset )\land (B\cap D\neq \emptyset )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaeb54252170baf84258a1e39c0024baee7e443f)
- סיפא:
![{\displaystyle \neg ((A\times B)\cap (C\times D)=\emptyset )\equiv (A\times B)\cap (C\times D)\neq \emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1373512427a38c0071e7d4a9579b732b5ae5544)
אזי, נוכיח
הוכחה:
נניח
אז מהגדרת חיתוך
וגם
.
אז לפי הגדרת מכפלה קרטזית קיים זוג סדור
כך ש-
וגם
.
אז לפי הגדרת חיתוך
ולכן
. מש"ל.
צ"ל:
דוגמה נגדית: