משתמש:יחס הזהב/טיוטה5
מראה
נתון:
1. קבוצה.
צ"ל:
הוכחה:
נראה שקיים עבורו הטענה מתקיימת.
נניח .
: יהי שרירותי. נניח . מהגדרת הפרש סימטרי . מהגדרת הפרש וגם או וגם . הנחנו אז מהגדרת הקבוצה הריקה ולכן בהכרח וגם . אז מהגדרת "וגם" .
: יהי שרירותי. נניח . הנחנו , אז מהגדרת הפרש וגם . מהגדרת איחוד . מהגדרת הפרש סימטרי .
הראנו הכלה דו-כיוונית ולכן עבור מתקיים . כלומר הראנו שקיים המקיים את הטענה. נותר להראות שלא קיים עוד כזה.
נניח בשלילה ש-. נפצל למקרים:
- : הנחנו אז מהגדרת הקבוצה הריקה . אז מהגדרת האיחוד . הנחנו אז זרה ל- ולכן או באופן שקול . אז מכך ש- נובע . מהגדרת האיחוד והנחנו אז מהגדרת הפרש אז מהגדרת הפרש סימטרי . אבל הראנו ש-. אזי וזאת בסתירה להנחה.
- : אז מהנחה . מהגדרת חיתוך וגם אז מהגדרת איחוד . אז מהגדרת הפרש אז מהגדרת הפרש סימטרי . אבל הראנו ש-. אזי וזאת בסתירה להנחה.
אזי לכן הוא היחיד המקיים את . מש"ל.