משתמש:Dtomarov/טיוטה

פונקצית מריחת כתם

פונקציית פיזור נקודות (באנגלית: Point Spread Function, או בקיצור PSF) מתארת את התגובה של מערכת הדמייה למקור אור נקודתי או לעצם נקודתי. הגדרה כללית יותר לפונקציית פיזור נקודות היא תגובת ההלם של המערכת הממוקדת(?). בהקשרים רבים, ניתן לחשוב על פונקציית פיזור נקודות כעל כתם מוארך על הדמות שמייצג עצם נקודתי. במונחי פונקציות, זוהי פונקציית התמסורת האופטית של מערכת ההדמיה במישור המרחב. פונקציית פיזור נקודות בעלת נמצאת בשימוש בתחומים רבים כגון: אופטיקת פורייה, הדמיות אסטרונומיות, הדמיות רפואיות, מיקרוסקופיה אלקטרונית וכן בשיטות הדמייה שונות כדוגמת מיקרוסקופיה תלת-מימדית (סריקה מיקרוסקופית באמצעות לייזר קונפוקלי) ומיקרוסקופיה פלואורוסצנטית.

מידת הפיזור (טשטוש) של העצם הנקודתי היא מדד לאיכות מערכת ההדמיה. במערכות הדמיה לא קוהרנטיות כדוגמת מיקרוסקופים פלואורסצנטים, טסלקופים או מיקרוסקופים אופטיים, תהליך יצירת הדמות ליניארי בעוצמת הדמות ומייוצג על ידי תאורית מערכות ליניאריות. כלומר, כאשר שני עצמים עוברים הדמייה בו זמנית, הדמות הנוצרת תהיה שווה לסכום הדמויות הנפרדות הנוצרות מכל עצם. במילים אחרות: ההדמיה של עצם א' לא מושפעת מההדמיה של עצם ב' ולהיפך, הודות לתכונת האי-אינטראקציה של פוטונים. במערכות בעלות תכונת אי תלות מרחבית, פונקציית פיזור נקודות שווה בכל מקום במרחב ההדמייה והדמות של עצם מרוכב תהיה שווה לקונבולוציה של העצם האמיתי ושל פונקציית פיזור הנקודות.

מבוא

הודות לתכונת הליניאריות של מערכת הדמיה אופטית לא קוהרנטית, כלומר:

הדמות של עצם תחת תצפית מיקרוסקופ או טלסקופ יכולה להיות מחושבת על ידי כך שנביע את השדה במישור העצם כסכום דו מימדי של פונקציות הלם ממושקלות, ולאחר מכן חישוב של העצם על ידי סכימה של התמונות הממושקלות שמתקבלות במישור העצם. זהו למעשה עקרון הסופר-פוזיציה, התקף למערכות ליניאריות. התמונות שמתקבלות במישור הדמות מתוך פונקציות ההלם שתוארו לעיל נקראות פונקציות פיזור נקודות, והן מסמלות את העובדה שמקורות אור נקודתיים (נקודה מתמטית של אור?) במישור העצם ימרחו על פני אזור סופי במישור הדמות הדמות (בתחומים מסויימים של מתמטיקה ופיזיקה פונקציות אלו נקראות פונקציות גרין או תגובה להלם).

כאשר העצם מתואר כאוסף בדיד של עצמי נקודה בעלי עוצמה משתנה, הדמות מחושבת על ידי סכימה של פונקציות פיזור הנקודה של עצם נקודתי. כיוון שפונקציית פיזור הנקודה נקבעת כמעט לחלוטין על ידי מערכת ההדמיה (כלומר המיקרוסקופ או הטלסקופ), ניתן לדעת כיצד תראה הדמות מתוך ידעת המאפיינים האופטיים של המערכת. תהליך ההדמיה לרוב מיוצג על ידי קונבולוציה. בתחום עיבוד תמונה של מיקרוסקופים ובאסטרונומיה, ידיעת פונקציית פיזור הנקודה של המערכת היא בעלת חשיבות רבה, והיא נחוצה לצורך שחזור תמונת העצם המקורית על ידי קונבולוציה הפוכה (דה-קונבולוציה?). במקרה של אלומות לייזרים, ניתן למדל מתמטית את פונקציית פיזור הנקודה בעזרת אלומות גאוסיות. לדוגמה, ביצוע קונבולוציה הפוכה (דה-קונבולוציה?) על פונקציית פיזור הנקודה והדמות משפר את היכולת להבחין בפרטים עדינים וכן מסלק את הרעש .

תאוריה ועקרון פעולה

פונקציית פיזור הנקודות עשויה להיות בלתי תלויה במיקום במישור (על מישור?) העצם, ובמקרה זה היא תקרא "(פונקציה?) בלתי תלויה בהזזה". בנוסף, אם אין עיוותים במערכת, אזי הקואורדינטות במישור הדמות יהיו תלויות באופן ליניארי בקואורדינטות של מישור העצם ע"י יחס ההגדלה M באופן הבא:

במידה ומערכת ההדמיה מייצרת דמות הפוכה, ניתן להתיחס לצירים של מישור הדמות כהפוכים בכיוונם לצירים של מישור העצם. אם נניח שפונקציית פיזור הנקודות אינה תלויה במיקום וכמו כן שאין עיוותים במערכת, נוכל להשתמש בקונבולוציה ולהביע באופן מתמטי את השדה שמתקבל במישור העצם באופן הבא:

ניתן לפרש את הביטוי הנ"ל כסכום של פונקציות הלם ממושקלות, או כשימוש בתכונת הדגימה של פונקציית ההלם הדו-מימדית. כתיבה מחדש של פונקציית התמסורת של העצם תאפשר לנו לחשב את השדה במישור הדמות כסופרפוזיציה של דמויות הנובעות מפונקציות הלם נפרדות. במילים אחרות, נוכל לרשום את שדה הדמות כסופרפוזיציה של פונקציות פיזור נקודה ממושקלות במישור הדמות, על ידי אותה פונקציית משקל  שהשתמשנו בה במישור העצם כדי להביע את העצם. ביטוי מתמטי לדמות:

.

נשים לב כי , היא הדמות של פונקציית ההלם המוזזת במישור העצם .

פונקציית ההלם הדו מימדית היא פונקציה בצורת "עמוד" עם צלעות בסיס באורך W, בגבול ש-W שואף ל-0. ניתן לחשוב על העצם כמרוצף בריבועים זעירים בגודל WxW שלכל אחד פונקציית "עמוד" משלו. אם הגובה של פונקציית העמוד היא , אז כאשר נשאיף את w לאפס, הגובה h ישאף לאינסוף, והנפח של פונקציית עמוד בודדת יהיה 1. הנ"ל מעניק לפונקציית ההלם הדו מימדית את תכונת הדגימה שבה השתמשנו קודם לכן. תכונת הדגימה אומרת שאם נבצע אינטגרציה של מכפלה בין כל פונקציה רציפה  לפונקציית ההלם , התוצאה תהיה ערכה של הפונקציה  בנקודה .

הרעיון של עצם שהוא מקור אור נקודתי מושלם הוא חיוני בכל הקשור לפונקציית פיזור הנקודה. אמנם מקור אור שכזה אינו פיזיקלי-לחלוטין ולכן לא קיים בטבע, אך הוא ממודל באופן מתמטי שעוזר להציג ולהסביר מערכות הדמיה אופטיות. החיוניות ברעיון של עצם דו מימדי שמתואר כמקור אור נקודתי היא שהוא ייצר גל כדורי מושלם בעל אמפליטודה (משרעת ) אחידה. לגל זה יהיו חזיתות גל כדוריות שוות פאזה ובעלות עוצמה אחידה (עקרון הויגנס-פרנל). ניתן לראות מקור שמיצר חזיתות גל כאלו באיור למטה. נשים לב כי לא רק שמקור אור נקודתי יוצר רצף אחיד של גלים מישוריים מתקדמים, אלא בנוסף רצף אחיד של גלים הדועכים בצורה מעריכית (גל דועך). אותם גלים דועכים הם אלו שמאפשרים רזולוציה הקטנה מאורך גל יחיד (ראה אופטיקת פוריה). הנ"ל נובע מהתמרת פוריה של פונקציית ההלם הדו-מימדית:

העדשה הריבועית(?) מעכבת חלק מהגל הכדורי, וממקדת אותו לנקודה מטושטשת במישור הדמות. עבור עדשה בודדת,מקור אור נקודתי הנמצא על הציר המרכזי(פרקסיאלי?) במישור העצם, יוצר פונקציית פיזור נקודות בצורת דיסק איירי(טבעות איירי?) במישור הדמות. ניתן להראות (ראה אופטיקת פוריה, עקרון הויגנס-פרנל, עקיפת פראונהופר) שהשדה הנוצר מעצם מישורי (או באופן שקול, השדה שמתכנס לדמות מישורית) קשור לפילוג השדה של מקור (דמות) על ידי התמרת פוריה. נוסף לכך, פונקציה אחידה בתוך תחום מעגלי במישור פוריה אחד, תתאים לפונקציית איירי  במישור פוריה שני, כאשר  היא פונקצית בסל מסדר ראשון(+מהסוג הראשון). כלומר הארה אחידה של מפתח עגול שמעביר גל כדורי אחיד ומתכנס, תייצר דמות בצורת פונקציית איירי במישור המוקד. איור של גרף מדגימה דו-מימדית של פונקציית איירי מוצג בתמונה הצמודה.

כלומר הגל הכדורי המתכנס (חלקית) שמוצג באיור למעלה מייצר דיסק איירי במישור הדמות. קיימת חשיבות לארגומנט של פונקציית איירי, כיוון שהוא קובע את מימדי הפונקציה במישור הדמות. אם  היא הזווית המקסימלית שהגלים המתכנסים יוצרים עם ציר העדשה, r הוא המרחק הרדיאלי במישור הדמות, ומספר הגל הוא  כאשר λ הוא אורך הגל, אז הארגומנט של פונקציית איירי תהיה: . אם  היא זווית קטנה (רק חלק מהגל הכדורי המתכנס יוצר את ההדמות), אז המרחק הרדיאלי r יקבל ערך גדול מאוד לפני לפני שנבחין בתזוזה של הארגומנט מהמרכז. במילים אחרות, אם  קטנה, אז דיסק איירי יהיה רחב (זהו ניסוח שקול לעקרון אי הוודאות של הייזנברג לצמד התמרת הפוריה(צמד?), כלומר תחום צר במישור אחד יוביל לתחום רחב במישור השני, והקשר ביניהם יהיה דרך המכפלת רוחב סרט-מרחב(Space-Bandwidth Product)). לאור זאת, הגדלה משמעותית של המערכת, אשר לרוב תהיה בעלת ערכי  קטנים (לפי תנאי הסינוס של Abbe(?)), עשויה להכיל טשטוש רב יותר בגלל פונקציית פיזור נקודות רחבה יותר. גודל פונקציית פיזור הנקודות פרופורציונאלית להגדלה של המערכת, כלומר הטשטוש אינו גרוע יותר במובן היחסי, אך הוא אכן גרוע יותר במובן המוחלט(?). האיר למעלה מתאר קטימה של הגל הכדורי הפוגע על ידי העדשה. על מנת למדוד את פונקציית פיזור הנקודות - או את תגובת ההלם – של העדשה, לא נדרש מקור אור נקודתי שישלח גל כדורי מושלם לכל הכיוונים במרחב. זאת מכיוון שהעדשה מעבירה רוחב סרט (זוויתי) מוגבל, או בעלת זווית עיכוב(?) סופית. כלומר מקור בעל רוחב סרט גדול מרוחב הסרט שמעבירה העדשה (ממשיך מעבר לזווית שנפרשת בין ציר העדשה לקצותיה), לא יתרום יותר ממקור בעל רוחב סרט השווה לזה שמעבירה העדשה, כיוון שהעדשה לא תוכל לעבד את המידע העודף(?). כתוצאה מכך, מקור נקודתי מושלם לא נדרש לצורך מדידה של פונקציית פיזור נקודות מדויקת. כל מה שנדרש הוא מקור אור עם רוחב סרט זוויתי בעל רוחב לפחות כמו זה שמעבירה העדשה שבוחנים (כמובן שהוא צריך להיות אחיד בתחום זה). במילים אחרות, נדרש מקור אור נקודתי הנוצר מגל כדורי (אחיד) מתכנס, שמחצית מהזווית המקסימלית תהיה גדולה מהזווית שנוצרת בין הציר המרכזי לקצה העדשה.

כתוצאה מרזולוציה אינטרינזית מוגבלת של מערכת ההדמיה, פונקציית פיזור הנקודות שנמדדת אינה נקיה מאי-וודאות. בהדמיה, רצוי להנחית את אונות הצד של אלומת הדמות על ידי שימוש באפודיזציה. במקרה של מערכת הדמיה שמעבירה אלומה גאוסית, פונקציית פיזור הנקודה ממודלת (מילה חלופית?) על ידי המשווה הבאה:

כאשר מקדם ה-k תלי ביחס הקטימה וברמת ההארה, NA היא ה-Numerical Apertue (בעברית?), c היא מהירות האור, f הוא תדר של פוטון במערכת ההדמיה,  היא העוצמה של אלומת הייחוס, a הוא מקדם התאמה והמיקום הרדיאלי מהמרכז של האלומה במישור עבור z מסויים.

היסטוריה ושיטות

תאורית הדיפרקציה נחקרה לראשונה על ידי איירי במאה ה-19. באותו זמן הוא פיתח ביטוי לאמפליטודה  והעוצמה של ה-PSF עבור מכשיר מדידה אידיאלי, נקי מאברציות (הנקרא דיסק איירי). את התאוריה ל-PSF הכולל אברציות שנמצא בקרבת המוקד האופטמלי חקרו זרניקה ו-Nijoboer בשנות ה-30 וה-40 של המאה העשרים. פולינומים מעגליים, אשר פותחו על ידי זרניקה, לקחו חלק מרכזי בניתוח שביצעו השניים. זאת מכיוון שפולינומים אלו אפשרו ייצוג יעיל של אברציות במערכות אופטיות בעלות סימטריה סיבובית (מעגלית?). תוצאות אנליטיות מהשנים האחרונות אפשרו להרחיב את הגישה של זרניקה ו-Nijboer להערכת ה-PSF לנפחים גדולים בסביבת המוקד האופטימלי. ההרחבה לניתוח של זרניקה ו-Nijboer, הנקראת גם תאורית ENZ (Extended Nijboer-Zernike Theory) מאפשרת את חקר ההדמיה הלא אידיאלית של עצמים תלת ממדיים במיקרוסקופיה קונפוקלית ובאסטרונומיה בתנאים לא אידיאליים. השימוש בתאורית ENZ נמצא בשימוש גם באפיון אברציות של מכשירים, על ידי מדידת הפילוג של העוצמה Through-focus ופתרון הבעיה ההופכית.

שימושים

מיקרוסקופיה

במיקרוסקופיה, האפיון הניסיוני של ה-PSF דורש עצמים קורנים בממדים הקטנים מסף הרזולוציה (עצמים דמויי נקודה). נקודות קוואנטיות וחרוזים פלורסנטיים לרוב נלקחים בחשבון למטרות אלו. לעומת זאת, מודלים תאורטיים כפי שתוארו לעיל מאפשרים חישובים מפורטים(מדויקים?) של ה-PSF תחת תנאי הדמיה רבים. לרוב רצויה PSF  בעלת הצורה הקומפקטית ביותר שהיא בגבול הדיפרקציה. על אף זאת, על ידי שימוש באלמנטים אופטיים (מודולטור אור מרחבי), ניתן להנדס את צורת ה-PSF לצורך צרכים אחרים.

אסטרונומיה

באסטרונומיה תצפיתית, האפיון הניסיוני של ה-PSF הוא לרוב פשוט, מאחר וקיימים מקורות אור נקודתיים רבים כגון כוכבים וקוואזורים(Quasars). צורתו ומקורו של ה-PSF עשוי להשתנות באופן ניכר, כתלות במכשיר המדידה ובמטרה שלשמה הוא נמצא בשימוש.

בטלסקופ רדיו ובטלסקופ חלל בגבול הדיפרקציה הגורם הדומיננטי של ה-PSF ניתן לזיהוי על ידי הקונפיגורציה של המפתח במישור פוריה. בפועל, עשויים להיות מספר גורמים שנוצרים מאלמנטים שונים במערכת אופטית מורכבת שישפיעו על ה-PSF. תאור מלא של ה-PSF יכלול בנוסף תופעות של דיפוזיה של האור (פוטו-אלקטרונים) בגלאי, בנוסף לטעויות עקיבה בטלסקופ או בכלי הטיס. בטלסקופים אופטיים המקובעים לפני הקרקע, מערבולות אטמוספריות (ראיה אסטרונומית) משפיעה באופן ניכר על ה-PSF. בהדמיה ברזולוציה גבוהה על פני האדמה, ה-PSF תשתנה עם המיקום על העצם (תופעה זו נקראת anisoplanatis). במערכות אופטיקה אדפטיבית המבוססות על הקרקע, ה-PSF תהיה שילוב של מפתח המערכת עם שאריות לא מתוקנות של גורמים אטמוספריים.

ליטוגרפיה

ה-PSF היא גבול בסיסי של הדמיה קונבנציונלית ממוקדת של חריר, עם גבול הדפסה מינימלי של 0.6-0.7 של יחס אורך הגל ל-NA של מערכת ההדמיה. לדוגמה במערכת EUV עם אורך גל של 13.5 ננומטרים ו-NA=0.33, ממדי החריר הקטנים ביותר שניתן לבצע להם הדמיה יהיו בטווח של 25-29 ננומטרים. מסכת הזזת(הסחת?) פאזה היא בעלת שוליים המוסיפים 180 מעלות לפאזה, ועל ידי כך מאפשרים רזולוציה עדינה יותר.

אופטלמולוגיה

בשנים האחרונות ה-PSF הפכה לכלי אבחון יעיל באופתלמולוגיה קלינית(רפואית?). המאובחנים נמדדים על ידי חיישן חזית גל Shack-Hartmann, ועל ידי תוכנות יעודיות מחשבות את ה-PSF לעין של המטופל. שיטה זו מאפשרת לרופא המטפל לדמות טיפולים אפשריים לעינו של המטופל, ולראות כיצד כל טיפול ישנה את ה-PSF של גלגל העין. בנוסף, לאחר חישוב ה-PSF ניתן למזער אותה על ידי מערכת אופטית אדפטיבית. שילוב של השניים האחרונים יחד עם מצלמת CCD יכול לשמש להדמיה של מבנים אנטומיים שאינם נראים ב-VIVO, כגון פוטורצפטורים קונוסיים.