משתמש:Gimto1/קומפלקס משולשים

במתמטיקה בכלל ובאלגברה טופולוגית בפרט, קומפלקס משולשים או קומפלקס סימפליציאלי (באנגלית: Simplicial Complex) הוא סט של צמתים, קשתות, פאות וההכללות למימדים גבוהים של אלה, המקיים מספר תנאים.

סימפלקס יקרא קומפלקס משולשים אם הוא מקיים את התנאים הבאים:

1. כל ${\mathcal {K}}'\subseteq {\mathcal {K}}$ הוא סימפלקס בעצמו.
2. אם $\sigma _{1},\sigma _{2}\subseteq {\mathcal {K}}$ הן פאות של הסימפלקס ${\mathcal {K}}$, אזי $\sigma _{1}\cap \sigma _{2}$ הוא סימפלקס.

דוגמה של קומפלקס משולשים

הצורה הקומבינטורית של קומפלקס המשולשים נקראת קומפלקס משולשים אבסטרקטי (באנגלית: Abstract Simplicial Complex) והיא אינה מתחשבת בגיאומטריה של הסימפלקס בכלל.

הגדרות

קומפלקס משולשים יקרא $\kappa$-קומפלקס אם המימד הגבוה ביותר של סימפלקס כלשהו השייך לו הוא $\kappa$. לדוגמה: הסימפלקס {{a,b,c},{a,b},{a,c},{a},{b},{c}} הוא קומפלקס משולשים כי הוא מקיים את 2 התנאים העליונים, והוא 2-קומפלקס מכיוון שהסימפלקס במימד הגבוה ביותר בו: {a,b,c} הוא ממימד 2.

• 0-קומפלקס יכיל רק צמתים: {{a},{b}}
• 1-קומפלקס יכיל גם קשתות: {{a},{b},{a,b}}
• 2-קומפלקס יכיל גם פאות: {{a},{b},{c},{a,b},{a,b,c}} וכן הלאה.

יש לשים לב שכל חיתוך של תתי-סימפלקסים הוא סימפלקס בעצמו ומוכל בקומפלקס המקורי.

קומפלקס משולשים יקרא $\kappa$-קומפלקס הומוגני אם כל סימפלקס $\sigma _{d}\subset {\mathcal {K}}$ במימד ${\mathcal {d}}<\kappa$ הוא פאה של סימפלקס אחר ממימד גבוה יותר $\sigma \subseteq {\mathcal {K}}$.

הסגוֹר (באנגלית: Closure) של קומפלקס ${\mathcal {K}}$ הוא קומפלקס המשולשים הקטן ביותר שמכיל את כל תתי הסימפלקסים $\sigma \subseteq {\mathcal {K}}$. מסומן: ${\mathcal {Cl(K)}}$

סימפלקס והסגׂור שלו

צומת והכׂוכב שלו

הכׂוכב (באנגלית: Star) של קומפלקס ${\mathcal {K}}$ הוא סט המכיל את כל הסימפלקסים ש${\mathcal {K}}$ הוא פאה שלהם. מסומן: ${\mathcal {St(K)}}$. יש לשים לב שהכוכב של ${\mathcal {K}}$ אינו דווקא קומפלקס משולשים.הקישוּר (באנגלית: Link) של קומפלקס ${\mathcal {K}}$ הוא הסגור של הכוכב של ${\mathcal {K}}$ פחות הכוכב של ${\mathcal {K}}$. מסומן: ${\mathcal {Lk(K)}}={\mathcal {Cl(St(K))}}-{\mathcal {St(K)}}$.

צומת והקישור שלה